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1、 数学建模案例选讲 有毒气体扩散问题 竞赛练习题 一 有毒气体扩散问题当发生有毒气体突发性泄露事故时 有关部门需要快速对泄漏源进行定位和识别 并科学预测有毒气体的蔓延及影响范围 其中 分析有毒气体在大气中的扩散是泄露事故后果分析的重要内容 其目的在于定量地描述泄漏事故对人员和环境造成伤害的程度 并预测危害后果 2010年 一辆装载环氧乙烷的运输车辆在某国道上侧翻 造成有毒气体外泄 虽经消防人员紧急处置 在等待救援和处置过程中 仍有大约1000个单位质量的环氧乙烷气体扩散到周边区域 为了分析泄露事故可能引发的后果 在以事发点为中心东西南北各3公里 高度150米范围的空域中 如图所示 监测部门对毒
2、物的浓度进行了抽样测量 由于公路北侧是农田而南侧是绿化林带 可能导致公路南北两侧的污染程度有一定差异 因此抽样测量分为两个部分进行 附件observation 1是公路北侧区域的测量数据 附件observation 2是公路南侧区域的测量数据 其中前3列为取样点的坐标 第4列为取样点处毒物的浓度 问题 请建立数学模型研究 监测部门检测时环氧乙烷的分布情况 二 问题的分析题目要求讨论监测部门检测时环氧乙烷的分布情况 也即要求给出某时刻某处毒物的含量表达式 本问题可以看做是一个污染源为点源 且污染物为气态或准气态的空气污染问题 有毒气体扩散问题 案例 我们知道 凡与反映扩散有关的现象 大都能由线性
3、或非线性抛物型偏微分方程作为数学模型来定量或定性地加以表达 因此本问题应该通过建立偏微分方程模型来解决 基于偏微分方程的扩散模型涉及一系列的参数 如扩散系数 衰减系数等 这些题目中都没有给出 因此需要通过给出的数据对一些参数进行估计 因此 本问题是一个偏微分方程反问题 系统辨识问题 于是 问题解决思路如下 通过机理分析 建立有毒气体扩散的偏微分方程模型 利用给定的观测数据估计模型中的参数 由于影响扩散过程的气象条件 地形 下垫面状况及污染本身的复杂性 到目前为止还没有一个适用于各种条件的大气扩散模式 来描述所有这些复杂条件下的大气扩散问题 为此 我们根据问题的背景做出如下的合理假设 1 有毒气
4、体初始泄漏时可看作在空中某一点向四周的瞬时释放 2 毒物向四周扩散时 气象 地形等对其扩散的影响归结为各方向上的扩散系数 并假定各方向的扩散系数分别为常数 3 扩散时存在衰减 如作物 植物对毒物的吸收等 扩散使质量的减少与浓度成正比 4 扩散前周围空间毒物的浓度为零 三 数学模型的建立与求解1 数学模型的建立设u x y z t 是t时刻点 x y z 处有毒气体的浓度 任取一个闭曲面S 它所围的区域是 由于扩散 从t到t t时刻这段时间内 通过S流入 的质量为 其中a2 b2 c2分别是沿x y z方向的扩散系数 由高斯公式 由于衰减 内的质量减少为其中k2为衰减系数 于是 在t到t t时刻
5、间 内由于扩散与衰减的合作用 积存于 内的质量为 从另一个角度看 在t到t t时刻间 内由于浓度的变化引起的质量增加为显然 M3 M1 M2 即 因此 由 t t 的任意性得 上述方程是常系数线性抛物型方程 它就是有衰减的扩散过程的数学模型 设扩散源在点 x0 y0 z0 处 则此扩散问题满足Cauchy问题 其中M为扩散源的质量 用Fourier变换可求得Cauchy问题的解析解为 于是 在t时刻任意点 x y z 处有毒气体浓度的分布函数为但是 问题中并未给出参数a b c k的具体数值 因而需要利用观测数据对它们进行估计 从而得出u x y z t 的近似表达式 2 模型参数的估计下面对
6、有毒气体浓度的分布函数中出现的参数a b c k进行估计 为此 令监测部门对毒物抽样测量的时刻为t0 观测取样值为 xi yi zi mi 其中mi为t0时刻 xi yi zi 处物质的浓度 i 1 n 首先考虑取样时刻 事实上 取样时刻是未知的 但若取样时刻为t0 作变量替换t t0 则有 t t0 从而即 上式仍然是常系数线性抛物型方程 与有衰减的扩散过程的数学模型形状完全一致 故可令观测取样值的取样时刻为t0 1 于是 xi yi zi mi 满足 其次考虑参数估计 对上式两端取对数 有令 则有关系式W lnu x y z 1 X Y Z 由于我们获得的观测取样值 xi yi zi mi 可以转化为相应的观测取样值 Xi Yi Zi Wi 于是利用多元回归分析可以求出 的估计值 即可得到参数a b c k的估计值 取x0 y0 z0 0 利用Maltab中的回归函regress 以及给定的观测数据 分别估计公路北侧和公路南侧密度函数中的参数 有公路北侧 a 1 15 b 1 61 c 0 91 k 0 1 公路南侧 a 1 15 b 0 7 c 0 91 k 0 1将参数a b c k的估计值代入 就得到u x y z t 的近似表达式 公路北侧 公路南侧 程序 谢谢
