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1、2 3 1圆的标准方程 一 圆的标准方程 平面内到一个定点的距离等于定长的轨迹是圆 定点是圆心 定长是圆的半径 求以C a b 为圆心 r为半径的圆的方程 设M x y 是 C上任意一点 点C在 C上的条件是 CM r 也就是说 如果点M在 C上 则 CM r 反之如果 CM r 则点M在圆C上 由两点间的距离公式 所说的条件转化为方程表示 两边平方得 x a 2 y b 2 r2 注意以下三点 1 已知圆心C a b 半径为r 则圆的标准方程为 x a 2 y b 2 r2 2 当圆心在坐标原点时 圆的标准方程为x2 y2 r2 3 圆的标准方程的优点在于明确地指出了圆心和半径 二 点与圆的
2、位置关系 给出点M1 x1 y1 和圆C x a 2 y b 2 r2 通过比较点到圆心的距离和半径r的大小关系 得到 1 若点M1在圆C上 则有 x1 a 2 y1 b 2 r2 2 若点M1在圆C外 则有 x1 a 2 y1 b 2 r2 3 若点M1在圆C内 则有 x1 a 2 y1 b 2 r2 三 确定圆的方程的方法和步骤 1 圆的标准方程中含有三个参变数 必须具备三个独立的条件 才能定出一个圆的方程 当已知曲线为圆时 一般采用待定系数法求圆的方程 2 求圆的标准方程的一般步骤为 1 根据题意 设所求的圆的标准方程为 x a 2 y b 2 r2 2 根据已知条件 建立关于a b r
3、的方程组 3 解此方程组 求出a b r的值 4 将所得的a b r的值代回所设的圆的方程中 就得到所求的圆的标准方程 例1 根据下列条件 求圆的方程 1 圆心在点C 2 1 并过点A 2 2 2 圆心在点C 1 3 并与直线3x 4y 6 0相切 3 过点 0 1 和点 2 1 半径为 解 1 所求圆的半径r CA 5 因为圆心在点C 2 1 所以所求圆的方程为 x 2 2 y 1 2 25 2 圆心在点C 1 3 并与直线3x 4y 6 0相切 解 2 因为直线3x 4y 6 0是所求圆的切线 所以圆心到这条直线的距离等于半径 根据点到直线的距离公式 得 所以所求圆的方程是 x 1 2 y
4、 3 2 9 3 过点 0 1 和点 2 1 半径为 解 3 设圆心坐标为 a b 则圆的方程为 x a 2 y b 2 5 已知圆过点 0 1 和点 2 1 代入圆的方程得 解得 或 因此所求圆的方程为 x 1 2 y 1 2 5或 x 1 2 y 3 2 5 例2 求过点A 6 0 B 1 5 且圆心在直线l 2x 7y 8 0上的圆的方程 解法1 直线AB的斜率k 1 所以AB的垂直平分线m的斜率为1 AB的中点的横坐标和纵坐标分别为x y 因此直线m的方程为y x 即x y 1 0 又圆心在直线l上 所以圆心是直线l与直线m的交点 解联立方程组 得 所以圆心的坐标是C 3 2 半径r
5、CA 所以圆的方程是 x 3 2 y 2 2 13 解法2 设所求的圆的方程为 x a 2 y b 2 r2 由题意得 解得 所以圆的方程是 x 3 2 y 2 2 13 例3 赵州桥的跨度是37 02m 圆拱高约为7 2m 求这座圆拱桥的拱圆方程 解 如图 以AB的中点为原点 x轴通过AB建立直角坐标系 根据已知条件 B C的坐标分别为 18 51 0 0 7 2 设圆心的坐标为 0 b 则圆的方程为x2 y b 2 r2 因为B C都在圆上 所以它们的坐标满足这个方程 于是得到方程组 解得 因此拱圆方程为x2 y 20 19 2 750 21 例4 已知两点P1 4 9 和P2 6 3 求
6、以P1P2为直径的圆的方程 并判断M 6 9 和N 5 3 是在圆上 圆外 还是在圆内 解 由已知得圆心坐标为C 5 6 半径r的平方为r2 10 所以圆的方程为 x 5 2 y 6 2 10 将M N点的坐标代入方程得 6 5 2 9 6 2 10 5 5 2 3 6 2 10 所以点M在圆上 点N在圆内 练习题 1 圆 x 1 2 y 1 2 2的周长是 A B 2 C 2 D 4 C 2 圆心为点 3 4 且过点 0 0 的圆的方程是 A x2 y2 25 B x2 y2 5 C x 3 2 y 4 2 25 D x 3 2 y 4 2 25 C 3 已知圆心在P 2 3 并且与y轴相切 则该圆的方程是 A x 2 2 y 3 2 4 B x 2 2 y 3 2 4 C x 2 2 y 3 2 9 D x 2 2 y 3 2 9 B 4 过点A 1 1 B 5 6 且圆心在直线x y 2 0上的圆的方程为 A x 3 2 y 1 2 4 B x 3 2 y 1 2 4 C x 1 2 y 1 2 4 D x 1 2 y 1 2 4 C 5 以 A 1 2 B 5 6 为直径端点的圆的方程是 x 2 2 y 4 2 13 6 圆心在3x y 0上与x轴相切并且被直线y x截得的弦长为2的圆的方程是 x 1 2 y 3 2 9或 x 1 2 y 3 2 9
