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1、专题 11 空间中的平行与垂直【2018年高考考纲解读】高考对本内容的考查主要有：(1)主要考查空间概念，空间想象能力，点线面位置关系判断，表面积与体积计算等，A级要求(2)主要考查线线、线面、面面平行与垂直的证明，B级要求【重点、难点剖析】 1直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理：a，b，aba.(2)线面平行的性质定理：a，a，bab.(3)面面平行的判定定理：a，b，abP，a，b.(4)面面平行的性质定理：，a，bab.2平行关系的转化两平面平行问题常常可以转化为直线与平面的平行，而直线与平面平行又可转化为直线与直线平行，所以要注意转化思想的应用，以下为三种平行关系的转
2、化示意图3直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理：m，n，mnP，lm，lnl.(2)线面垂直的性质定理：a，bab.(3)面面垂直的判定定理：a，a.(4)面面垂直的性质定理：，l，a，ala.4垂直关系的转化与平行关系之间的转化类似，它们之间的转化如下示意图在垂直的相关定理中，要特别注意记忆面面垂直的性质定理：两个平面垂直，在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面，当题目中有面面垂直的条件时，一般都要用此定理进行转化.【题型示例】题型一空间几何体的认识及表面积与体积的计算【例1】 【2017山东，理13】由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如右图，则该几何体
3、的体积为 .【答案】【2017课标1，理16】如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点，DBC，ECA，FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥.当ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_.【答案】【解析】如下图，连接DO交BC于点G，设D，E，F重合于S点，正三角形的边长为x(x0)，则 . ， ，三棱锥的体积 .设，x0，则，令，即，得，易知在处取得最大值.【2016高考新课标1卷】如图,某几何体的
4、三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】该几何体直观图如图所示：是一个球被切掉左上角的,设球的半径为,则,解得,所以它的表面积是的球面面积和三个扇形面积之和故选A【变式探究】【2016高考新课标2理数】下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【方法技巧】空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图问题时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视
5、图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果 【举一反三】(2015北京，5)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是()A2 B4 C22 D5解析该三棱锥的直观图如图所示：过D作DEBC，交BC于E，连接AE，则BC2，EC1，AD1，ED2，S表SBCDSACDSABDSABC2211222.答案C【变式探究】(1)(2014安徽)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为()A21 B18C21 D18(2)(2014辽宁)某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为()A82 B8C8 D8【特别提醒】(1)本题主要考
6、查空间几何体的三视图、直观图，表面积的计算能够通过几何体的三视图还原出直观图，意在考查考生的空间想象能力，并通过对几何体的表面积计算，考查考生的运算求解能力(2)本题主要考查三视图、几何体的体积等知识，意在考查考生的空间想象能力和运算求解能力【答案】(1)A(2)B (2)直观图为棱长为2的正方体割去两个底面半径为1的圆柱，所以该几何体的体积为2321228，故选B.【感悟提升】1根据几何体的三视图求其表面积与体积的三步法(1)根据给出的三视图判断该几何体的形状；(2)由三视图中的大小标示确定该几何体的各个度量；(3)套用相应的面积公式与体积公式计算求解2求解几何体的表面积及体积的技巧(1)求
7、几何体的表面积及体积问题，熟记公式是关键所在求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上(2)求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解【变式探究】 (2015浙江，2)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是()A8 cm3 B12 cm3 C. cm3 D. cm3解析该几何体是棱长为2 cm的正方体与一底面边长为2 cm的正方形，高为2 cm的正四棱锥组成的组合体，V222222(cm3)故选C.答案C【规律方法】涉及柱、锥、台、球及其简单组合体的侧面积和体积的计算问题，要在正确理解概
8、念的基础上，画出符合题意的图形或辅助线(面)，分析几何体的结构特征，选择合适的公式，进行计算另外要重视空间问题平面化的思想和割补法、等积转换法的运用【变式探究】(2015新课标全国，11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积为1620，则r()A1 B2 C4 D8解析由题意知，2r2r2r2rr2r24r24r25r21620，解得r2.答案B题型二空间中点线面位置关系的判断【例2】 【2017江苏，15】 如图，在三棱锥A-BCD中，ABAD， BCBD， 平面ABD平面BCD， 点E，F(E与A，D不重合)
9、分别在棱AD，BD上，且EFAD.求证：（1）EF平面ABC； （2）ADAC.(第15题)ADBCEF【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明：（1）在平面内，因为ABAD， ，所以.又因为平面ABC， 平面ABC，所以EF平面ABC.【变式探究】【2016高考江苏卷】(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且 ，.求证：（1）直线DE平面A1C1F；（2）平面B1DE平面A1C1F. 【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】证明：（1）在直三棱柱中，在三角形ABC中，因为D,E分别为AB,BC的中点.所以，于是又
10、因为DE平面平面所以直线DE/平面（2）在直三棱柱中，因为平面，所以又因为所以平面因为平面，所以又因为所以因为直线，所以【举一反三】(2015安徽，5)已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是()A若，垂直于同一平面，则与平行B若m，n平行于同一平面，则m与n平行C若，不平行，则在内不存在与平行的直线D若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面【变式探究】如图，在直三棱柱ABCABC中，ABAAAC2，BAC，点D，E分别是BC，AB的中点(1)求证：DE平面ACCA；(2)求二面角BADC的余弦值【解析】(1)证明：取AC的中点F，连接DF，AF，则DFAB，又AEAB
11、，所以DFAE，又因为DFAB，AEAB，所以DFAE，所以四边形DFAE是平行四边形，所以EDAF，又AF平面ACCA，所以ED平面ACCA.(2)在平面ABC中，以过点A且垂直于AC的直线为x轴，直线AC为y轴，AA为z轴，建立空间直角坐标系Axyz.所以点A(0,0,0)，B(，1,0)，C(0,2,0)，B(，1,2)，C(0,2,2)，D.所以，(，1,2)，(0,2,2)设平面BAD的法向量为m(x，y，z)，则由m0和m0，得取m(1，)同理，可取平面CAD的法向量n(1，)设二面角BADC的平面角为，易知0，则cos .【变式探究】设，是三个不重合的平面，l是直线，给出下列四个
12、命题：若，l，则l；若l，l，则；若l上有两点到的距离相等，则l；若，则.其中正确命题的序号是_【解析】由线线、线面、面面平行与垂直的判定与性质定理逐个判断，真命题为.【答案】【规律方法】这类题为高考常考题型，其实质为多项选择主要考查空间中线面之间的位置关系，要求熟悉有关公理、定理及推论，并具备较好的空间想象能力，做到不漏选、多选、错选【变式探究】(2015浙江，13)如图，三棱锥ABCD中，ABACBDCD3，ADBC2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是_题型三线线、线面、面面平行与垂直的证明【例3】(2017山东卷)由四棱柱ABCDA1B1C1D1截去
13、三棱锥C1B1CD1后得到的几何体如图所示四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，A1E平面ABCD.(1)证明：A1O平面B1CD1；(2)设M是OD的中点，证明：平面A1EM平面B1CD1.证明：(1)取B1D1的中点O1，连接CO1，A1O1，由于ABCDA1B1C1D1是四棱柱，所以A1O1OC，A1O1OC，因此四边形A1OCO1为平行四边形，所以A1OO1C.又O1C平面B1CD1，A1O平面B1CD1，所以A1O平面B1CD1.(2)因为ACBD，E，M分别为AD和OD的中点，所以EMBD，又A1E平面ABCD，BD平面ABCD，所以A1EBD，因为B1D1BD，所以EMB1D1，A1EB1D1.又A1E，EM平面A1EM，A1EEME，所以B1D1平面A1EM.又B1D1平面B1CD1，所以平面A1EM平面B1CD1.【2016高考江苏卷】(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且 ，.求证：（1）直线DE平面A1C1F；（2）平面B1DE平面A1C1
