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1、备战2017高考数学（精讲+精练+精析）专题6.3数列的综合问题试题理（含解析）专题6.3 数列的综合问题【三年高考】1. 【2016高考浙江理数】如图，点列An，Bn分别在某锐角的两边上，且，（）.若（ ）A是等差数列 B是等差数列 C是等差数列 D是等差数列【答案】A和两个垂足构成了等腰梯形，那么，其中为两条线的夹角，即为定值，那么，作差后：，都为定值，所以为定值故选A2. 【2016高考新课标2理数】为等差数列的前项和，且记，其中表示不超过的最大整数，如（）求；（）求数列的前1 000项和【解析】（）设的公差为，据已知有，解得所以的通项公式为（）因为所以数列的前项和为3. 【2016高考
2、新课标3理数】已知数列的前n项和，其中（I）证明是等比数列，并求其通项公式；（II）若 ，求4. 【2016高考浙江理数】设数列满足，（I）证明：，；（II）若，证明：，5. 【2016年高考四川理数】已知数列 的首项为1， 为数列的前n项和， ，其中q0， .（）若 成等差数列，求的通项公式；（）设双曲线 的离心率为 ，且 ，证明：.【解析】（）由已知， 两式相减得到.又由得到，故对所有都成立.所以，数列是首项为1，公比为q的等比数列.从而.由成等比数列，可得，即，则，由已知,，故 .所以.（）由（）可知，.所以双曲线的离心率 由解得.因为，所以.于是，故.6. 【2015高考福建，理8】若
3、 是函数 的两个不同的零点，且 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 的值等于（ ）A6 B7 C8 D9【答案】D7.【2015高考浙江，理20】已知数列满足=且=-（）（1）证明：1（）；（2）设数列的前项和为，证明（）.【解析】（1）由题意得，即，由，得，由得，即；（2）由题意得，由和得，因此，由得.8.【2015高考安徽，理18】设，是曲线在点处的切线与x轴交点的横坐标.（）求数列的通项公式；（）记，证明.9.【2015高考陕西，理21】设是等比数列，的各项和，其中，（I）证明：函数在内有且仅有一个零点（记为），且；（II）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项
4、数分别相同的等差数列，其各项和为，比较与的大小，并加以证明【解析】（I），则所以在内至少存在一个零点.又，故在内单调递增，所以在内有且仅有一个零点.因为是的零点，所以，即，故.解法二 由题设，当时, 当时, 用数学归纳法可以证明.当时, 所以成立.假设时，不等式成立，即.那么，当时，.又，令，则，所以当,在上递减；当,在上递增.所以，从而，故.即，不等式也成立.所以，对于一切的整数，都有.解法三:由已知，记等差数列为,等比数列为,则，所以,令当时, ,所以.当时, ，而，所以，.若，当，从而在上递减，在上递增.所以，所以当又，故，综上所述，当时，；当时.10【2014高考大纲理第18题】等差数
5、列的前n项和为，已知，为整数，且.（I）求的通项公式；（II）设，求数列的前n项和.11【2014高考湖北理第18题】已知等差数列满足：，且、成等比数列.（1）求数列的通项公式.（2）记为数列的前项和，是否存在正整数，使得若存在，求的最小值；若不存在，说明理由.【解析】（1）设数列的公差为，依题意，成等比数列，所以，解得或，当时，；当时，所以数列的通项公式为或.（2）当时，显然，不存在正整数，使得.当时，令，即，解得或（舍去）此时存在正整数，使得成立，的最小值为41.综上所述，当时，不存在正整数；当时，存在正整数，使得成立，的最小值为41.12【2014高考重庆理科第22题】设（）若，求及数列
6、的通项公式；（）若，问：是否存在实数使得对所有成立？证明你的结论.（）解法一：设，则.令，即，解得.下用数学归纳法证明加强命：当时，所以，结论成立.假设时结论成立，即，易知在上为减函数，从而，即，再由在上为减函数得.故，因此，这就是说，当时结论成立.综上，符合条件的存在，其中一个值为.解法二：设，则，先证：当时，结论明显成立.假设时结论成立，即，易知在上为减函数，从而，即这就是说，当时结论成立，故成立.再证：【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题, 等差数列与等比数列的综合，数列与应用问题的结合，数列与函数、方程、不等式、向量、平面解析几何、向量、三角函数的有机结合，互相渗透，已经成为近年
7、来高考的热点和重点【2017年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式可以看出，对等差数列与等比数列的综合考察,“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树立“目标意识”“需要什么，就求什么” ， 既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得 与“巧用性质”解题相同的效果对数列与应用问题的结合的考察，主要是将实际应用问题转化为数列模型，关键是要熟悉等差数列模型、等比数列模型，以及注意项与项之间的递推关系数列与函数、方程、不等式的结合，此类问题抓住一个中心-函数,一是数列和函数的密切联系，数列的通项公式是数列的核心，函数的解析式是研究函数问
8、题的基础；二是方程、不等式与函数的联系，注意利用它们的对应关系解题数列与其他知识的结合，主要是通过三角函数或者解析几何或者向量中包含的等量关系，得出数列的递推公式或者通项公式，进而利用数列知识求解数列问题是每年必考题目，预测2017年会继续考查，以等差数列和等比数列的综合应用题为主，要灵活掌握等差数列和等比数列的性质【2017年高考考点定位】高考对数列综合应用问题的考查有四种主要形式：一是等差、等比的综合应用；二是等差、等比数列在实际中的应用；三是数列与函数、方程、不等式等其他知识的交汇考察【考点1】等差数列、等比数列的综合应用【备考知识梳理】1等差数列的判定：（为常数）；（为常数）；（为常数
9、）其中用来证明方法的有2.等比数列的判定：（）；（）；其中用来证明方法的有3等差数列的通项公式： ，2等比数列的通项公式：，4等差数列前n项和公式：Sn= Sn=5.等比数列前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式)；当q1时，Sn= Sn=6等差数列an中，若m+n=p+q，则7等比数列an中，若m+n=p+q，则8等差数列an的任意连续m项的和构成的数列、仍为等差数列.9等比数列an的任意连续m项的和构成的数列仍为等比数列（当m为偶数且公比为-1的情况除外）10两个等差数列an与bn的和差的数列an+bn、an-bn仍为等差数列11两个等比数列an与bn的积、商、倒数
10、的数列anbn、仍为等比数列12.等差数列an的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列13等比数列an的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列14等差中项公式：A= （有唯一的值）15. 等比中项公式：G= （ab0，有两个值）【规律方法技巧】解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解【考点针对训练】1. 【2016年江西省四校高三一模测试】已知数列是等比数列，数列是等差数列，若,则的值是
11、（ ）A.1 B. C . D. 【答案】D【解析】数列是等比数列，数列是等差数列，且,2. 【2016年广州市毕业班综合测试】已知数列是等比数列，是和的等差中项.（）求数列的通项公式；（）设，求数列的前项和.【考点2】等差数列、等比数列的实际应用【备考知识梳理】解数列应用题的建模思路从实际出发，通过抽象概括建立数学模型，通过对模型的解析，再返回实际中去，其思路框图为：【规律方法技巧】1.等差、等比数列的应用题常见于：产量增减、价格升降、细胞繁殖等问题，求利率、增长率等问题也常归结为数列建模问题.2.将实际问题转化为数列问题时应注意：（1）分清是等差数列还是等比数列；（2）分清是求an还是求S
12、n，特别要准确地确定项数n.【考点针对训练】1. 【2016届淮北一中高三最后一卷】 南北朝时期的数学古籍张邱建算经有如下一道题：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差（即等差）降之，上三人，得金四斤，持出：下四人后入得三斤，持出：中间三人未到者，亦依等次更给，问：每等人比下等人多得几斤？”（ ）A B C D【答案】B【解析】设得金最多的数为数列首项，公差为，则，解得，因此每等人比下等人多得斤故选B 2【2016届广东省华南师大附中高三5月测试】莱因德纸草书是世界上最古老的数学著作之一书中有一道这样的题目：把个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，问最小
13、份为（ ）A B C D【答案】A【考点3】数列与其他知识的交汇【备考知识梳理】数列在高考中多与函数、不等式、解析几何、向量交汇命题，近年由于对数列要求降低，但仍有一些省份在考查数列与其他知识的交汇.归纳起来常见的命题角度有：1)数列与不等式的交汇；2)数列与函数的交汇；3)数列与解析几何的交汇.【规律方法技巧】1解决数列与不等式的综合问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；如果是解不等式问题要使用不等式的各种不同解法，如列表法、因式分解法、穿根法等总之解决这类问题把数列和不等式的知识巧妙结合起来综合处理就行了2解决数列与函数、方程、三角函数、向量等
14、知识结合的问题时，要通过其他知识，把问题转化为数列项的递推式或通项公式转化为数列问题处理【考点针对训练】1. 【2016届宁夏石嘴山三中高三下三模】设是数列的前项和，时点在直线上，且的首项是二次函数的最小值，则的值为（ ）A B C D【答案】C【解析】由已知，即，可知数列为等差数列，且公差为，又函数的最小值为，即，故2. 【2016届吉林省白城一中高三下4月】已知函数，且，设等差数列的前项和为，若，则的最小值为（ ）A B C D【答案】D【应试技巧点拨】1运用方程的思想解等差(比)数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量(或)，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算2深刻理解等差(比)数列的定义，能正确使用定义和等差(比)数列的性质是学好本章的关键解题时应从基础处着笔，首先要熟练掌握这两种基本数列的相关性质及公式，然后要熟悉它们的变形使用，善用技巧，减少运算量，既准又快地解决问题3关于等差(等比)数列的基本运算，一般通过其通
