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1、高一数学向量综合提高【本讲主要内容】 向量综合提高【知识掌握】【知识点精析】 1. 本章主要内容有向量的概念、运算及其坐标表示，线段的定比分点，平移，正弦定理、余弦定理及其在解斜三角形中的应用。 2. 向量运算 （1）加法运算 加法法则 运算性质：a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)，a+0=0+a=a 坐标运算：设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a+b=(x1+x2，y1+y2) （2）减法运算 减法法则： 坐标运算：设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则 a-b=(x1-x2，y1-y2) 设A、B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则=(x2-x1，
2、y2-y1) （3）实数与向量的积 定义：a，其中0时，a与a同向，|a|=|a|； 当0时，a与a反方向，|a|=|a|。0a=0 运算律：(a)=()a，(+)a=a+a，(a+b)=a+b 坐标运算：设a=(x，y)，则a=(x，y)=(x，y) （4）平面向量的数量积定义：ab=|a|b|cos(a0，b0,0180) 0a=0 运算律：ab=ba，(a)b=a(b)=(ab)，(a+b)c=ac+bc 坐标运算：设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则ab=x1x2+y1y2 3. 重要定理、公式 （1）平面向量基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内
3、的任一向量a，有且只有一对实数1、2，使a=1e1+2e2。 （2）两个向量平行的充要条件 设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则 （3）两个非零向量垂直的充要条件： 设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则 （4）线段的定比分点坐标公式 设P(x，y)，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且= 则 中点坐标公式 （5）平移公式 如果点P(x，y)按向量a=(h，k)平移至P(x，y) 则 （6）正弦定理、余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA，b2=c2+a2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC 4. 本章的知识结构图 5. 学习中需要注意的问题 （1）这一章
4、里，我们学习的向量具有大小和方向两个要素。用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系，同向且等长的有向线段都表示同一向量。 （2）共线向量和平面向量的两条基本定理，揭示了共线向量和平面向量的基本结构，它们是进一步研究向量的基础。 （3）向量的数量积是一个数。当两个向量的夹角是锐角时，它们的数量积大于0；当两个向量的夹角是钝角时，它们的数量积小于0；当两个向量的夹角是90时，它们的数量积等于0。零向量与任何向量的数量积等于0。 （4）通过向量的数量积，可以计算向量的长度、平面内两点间的距离、两个向量的夹角、判断相应的两条直线是否垂直。 （5）数量积不满足结合律，这是因为ab与bc的结果都
5、是数量，所以(ab)c与a(bc)都没有意义，当然就不可能相等。【解题方法指导】 例1. 已知a=(1，2)，b=(-3，2)，当k为何值时 （1）ka+b与a-3b垂直？ （2）ka+b与a-3b平行？平行时它们是同向还是反向？ 解：（1）ka+b=k(1，2)+(-3，2)=(k-3，2k+2) a-3b=(1，2)-3(-3，2)=(10，-4) 当(ka+b)(a-3b)=0时，这两个向量垂直 由(k-3)10+(2k+2)(-4)=0 解得k=19 即当k=19时，ka+b与a-3b垂直 （2）当ka+b与a-3b平行时，存在唯一实数 使ka+b=(a-3b) 由(k-3，2k+2)
6、=(10，-4)，得 这是一个以k、为未知数的二元一次方程组 解这个方程组得 注：在本例中，也可以根据向量平行充要条件的坐标形式，从(k-3)(-4)-10(2k+2)=0， 例2. 知：如图，|=3.2，|=4.8，与的夹角为50，求|及与的夹角(长度保留四个有效数字，角度精确到1)。 解：作平行四边形ABCD，使AC为一边，AB为一条对角线。则就是，也就是，与的夹角就是DAB。 在ABC中，由余弦定理得 |=3.679 在ABC中，|=3.2，|=3.679，BAC=50，由正弦定理得 ACB=4147，CAD=180-ACB=180-4147=13813 DAB=CAD-CAB=1381
7、3-50=8813 与的夹角为8813 例3. 设坐标平面上有三点A、B、C，j分别是坐标平面上x轴，y轴正方向的单位向量，若向量i2j，ij，那么是否存在实数，使A、B、C三点共线。 分析：可以假设满足条件的存在，由A、B、C三点共线 存在实数，使，从而建立方程来探索。 解法一：假设满足条件的存在，由A、B、C三点共线，即 存在实数，使，2j（j） ，2 当2时，A、B、C三点共线 解法二：假设满足条件的存在，根据题意可知：（1，O），j（O，1） （1，O）2（O，1）（1，2） （1，O）（O，1）（1，） 由A、B、C三点共线，即 故11（2）O解得2 当2时，A、B、C三点共线 评述
8、：（1）共线向量的充要条件有两种不同的表示形式，但其本质是一样的，在运用中各有特点，解题时可灵活选择。（2）本题是存在探索性问题，这类问题一般有两种思考方法，即假设存在法当存在时；假设否定法当不存在时。 例4. 已知：如图所示，ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线。求证ACBD。 分析：对于线段的垂直，可以联想到两个向量垂直的充要条件，而对于这一条件的应用，可以考虑向量式的形式，也可以考虑坐标形式的充要条件。 证法一：， （）（） 22O 证法二：以OC所在直线为x轴，以B为原点建立直角坐标系，设B(O，O)，A(a，b)，C（c，O）则由ABBC得a2b2c2 （c，O）（a，b）（c
9、a，b） （a，b）（c，O）（ca，b） c2a2b2O ，即ACBD 评述：如能熟练应用向量的坐标表示及运算，则将给解题带来一定的方便。通过向量的坐标表示，可以把几何问题的证明转化成代数式的运算，体现了向量的数与形的桥梁作用，有助于提高对于“数形结合”解题思想的认识和掌握。【考点突破】【考点指要】 本章重点及难点： （1）本章的重点有向量的概念、运算及坐标表示，线段的定比分点，平移、正弦定理、余弦定理及其在解斜三角形中的应用； （2）本章的难点是向量的概念，向量运算法则的理解和运用，已知两边和其中一边的对角解斜三角形等； （3）对于本章内容的学习，要注意体会数形结合的数学思想方法的应用。
10、通过学习，要求大家进一步熟悉向量的性质及运算律，熟悉平面几何性质在解题中的应用，能够掌握向量坐标化的思路求解问题，掌握构造向量并利用向量性质解题、证题的方法。【典型例题分析】 例1. 如图，在RtABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值。 点评：本小题主要考查向量的概念，平面向量的运算法则，考查运用向量及函数知识的能力。 解法一： 解法二：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系。 例2.设函数，其中向量，。 （）求函数的最大值和最小正周期； （）将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原
11、点成中心对称，求长度最小的。 点评：本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力。 解：()由题意得，f(x)a(b+c)=(sinx,cosx)(sinxcosx,sinx3cosx) sin2x2sinxcosx+3cos2x 2+cos2xsin2x 2+sin(2x+) 所以，f(x)的最大值为2+，最小正周期是 （）由sin(2x+)0得2x+k 即x,kZ 于是d（，2），kZ 因为k为整数，要使最小，则只有k1，此时d（，2）即为所求。 例3. 如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救
12、。甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到）？ 解：连接BC,由余弦定理得BC2=202+10222010cos120=700 于是,BC=10 ，sinACB= ACB90，ACB=41 乙船应朝北偏东71方向沿直线前往B处救援【达标测试】 1. 下列说法中正确的有( )个。 零向量是没有方向的向量； 零向量的方向是任意的； 零向量与任一向量共线； 零向量只能与零向量共线。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 以上都不对 2. “=”是“| = |”成立的 A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 3. 已知正方形的边长为1, , , ,则| +| 等于 A. 0 B. 3 C. 2 D. 4. 化简：+ + + = _。 5. 已知向量，且，则向量的坐标为 。 6. 已知的夹角为120，则使向量的夹角为锐角的实数的取值范围是 。 7. 已
