《高考数学一轮单元复习：第34讲-空间几何体的表面积与体积》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮单元复习：第34讲-空间几何体的表面积与体积（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第34讲 空间几何体的表面积与体积 第34讲空间几何体的表面积与体积 第34讲 知识梳理 1 空间几何体的结构 1 多面体和旋转体 由若干个平面多边形围成的几何体叫做 围成多面体的各个多边形叫做多面体的 相邻两个面的公共边叫做多面体的 棱与棱的公共点叫做多面体的 由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做 定直线叫做旋转体的 多面体 顶点 旋转体 轴 面 棱 第34讲 知识梳理 2 多面体的结构特征 棱柱的结构特征有两个面互相平行 其余各面都是四边形 并且相邻两个四边形的公共边都互相平行 其中两互相平行的面叫做棱柱的 其余各面叫做棱柱的 相邻侧面的公共边叫做棱柱的 侧面
2、与底面的公共顶点叫做棱柱的 底面是几边形就叫几棱柱 侧面 侧棱 底面 顶点 第34讲 知识梳理 棱锥的结构特征有一个面是多边形 其余各面都是有一个公共顶点的三角形 这个多边形面叫做棱锥的 有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的 各侧面的公共顶点叫做棱锥的 相邻侧面的公共边叫做棱锥的 底面是几边形就叫几棱锥 棱台的结构特征用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥 底面与截面之间的部分叫做 原棱锥的底面与截面分别叫做棱台的和 两底面间的距离叫做棱台的高 棱台也有侧面 侧棱 顶点 棱台侧棱的延长线必相交于一点 上 下底面是相似多边形 底面是几边形就叫几棱台 底面 侧面 侧棱 顶点 棱台 上底面 下底面 第34
3、讲 知识梳理 几种特殊棱柱 棱锥 棱台侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱 正棱柱的侧面是全等的矩形 底面是全等的正多边形 理解下列关系 正方体 正四棱柱 长方体 直四棱柱 直棱柱 棱柱 第34讲 知识梳理 如果一个棱锥的底面是正多边形并且顶点在底面的射影是底面的中心 这样的棱锥叫做正棱锥 顶点到底面的距离叫做棱锥的高 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 这些等腰三角形底边上的高都相等 叫做棱锥的斜高 如图35 1 高SO 斜高SE 由正棱锥截得的棱台叫做正棱台 正棱台各侧面都是全等的等腰梯形 这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高 如图35 2所示 高 斜高 第34讲 知识梳
4、理 OO EE 3 旋转体的结构特征 圆柱的结构特征以矩形的一边所在直线为旋转轴 其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做 旋转轴叫做圆柱的轴 垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的 平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的 无论旋转到什么位置 不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的 圆柱和棱柱统称为柱体 圆锥的结构特征以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴 其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做 棱锥与圆锥统称为锥体 第34讲 知识梳理 圆柱 底面 侧面 母线 圆锥 第34讲 知识梳理 圆台的结构特征用平行于圆锥底面的平面去截圆锥 底面与截面之间的部分叫做 与圆柱和圆锥一样 圆台也有轴 底面 侧面 母线
5、 棱台和圆台统称为台体 球的结构特征以半圆的直径所在直线为旋转轴 半圆面旋转一周形成的旋转体叫做 简称 半圆的圆心叫做球的 半圆的半径叫做球的 半圆的直径叫做球的 圆台 球体 球 球心 半径 直径 第34讲 知识梳理 2 空间几何体的表面积与体积 1 旋转体的表面积 圆柱的表面积S 2 r2 2 rl 2 r r l 圆锥的表面积S r2 rl r r l 圆台的表面积S r 2 r2 r l rl 2 多面体的表面积等于各个面的面积之和 3 柱体 锥体与台体的体积 柱体的体积 V Sh 锥体的体积 V Sh 台体的体积 V 第34讲 知识梳理 4 球的表面积和体积 球的表面积 S 4 R2
6、球的体积 V R3 探究点1空间几何体的结构 第34讲 要点探究 例1下列几个命题 正确的是 棱柱的侧面都是平行四边形 棱锥的侧面均是三角形 且所有侧面都有一个公共点 多面体至少有四个面 棱台侧棱所在直线均相交于一点 第34讲 要点探究 思路 本题就是考查多面体的定义 解析 由多面体的定义可知 均正确 而 棱台是由棱锥所截而得 所以 也正确 答案 点评 本题就是要熟练掌握多面体的定义 对几何体的结构除掌握定义之外 还要利用空间想象力 理解几何体之间的位置关系 如下变式题 第34讲 要点探究 变式题已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球 某人画出四个过球心的平面截球与正三棱锥所得的图形如下 则正确
7、的有 填序号 第34讲 要点探究 思路 过球心的截面一定过该三棱锥的中心 答案 解析 注意到过球心的条件 易判断 不合题意 正确 探究点2几何体的表面积和体积 第34讲 要点探究 例2 2009 全国卷 直三棱柱 侧棱垂直于底面 ABC A1B1C1的各顶点都在同一球面上 若AB AC AA1 2 BAC 120 则此球的表面积等于 思路 由已知可求得三角形ABC的外接圆半径 构造直角三角形 利用勾股定理可求球半径 答案 20 第34讲 要点探究 解析 在 ABC中 AB AC 2 BAC 120 得角B 30 在 ABC中由正弦定理得 2r 可得 ABC外接圆半径r 2 设此圆圆心为O 球心
8、为O 在Rt OBO 中 OO 1 易得球半径R 故此球的表面积为4 R2 20 点评 本题的关键是理解组合体的结构 在三角形中综合运用正弦定理和勾股定理 求出组合体中球的半径 几何体的表面积和体积 只要求出有关量 代入公式就可计算 第34讲 要点探究 变式题已知一个空间几何体的三视图如图35 4所示 其中正视图 侧视图都是由半圆和矩形组成 根据图中标出的尺寸 单位 cm 可得这个几何体的体积是 A B C D 2 第34讲 要点探究 解析 C由三视图可知 该几何体由一个半球和一个圆柱组成 球半径为1 圆柱的高和底面半径均为1 故该几何体的体积为 13 12 1 探究点3几何体中的最值问题 第
9、34讲 要点探究 思路 画出平面展开图 将空间问题转化为平面问题 例3如图35 5 在直三棱柱ABC A1B1C1中 底面ABC为直角三角形 ACB 90 AC 6 BC CC1 P是BC1上一动点 则CP PA1的最小值是 答案 第34讲 要点探究 解析 把面A1C1B沿BC1展开与 CBC1在同一个平面上 连A1C 如图35 6所示 ACB 90 AC 6 BC C1C A1C1B 90 A1C1 6 CC1A1 135 在 CC1A1中 利用余弦定理A1C2 2CC1 A1C1cos CC1A1 50 A1C 5 即CP PA1的最小值为5 第34讲 要点探究 点评 几何体表面的最值问题
10、 一般是利用展开图进行求解 本题最大的困难是正确画出平面展开图 因为A1P在几何体内部 可依据它所在的平面A1C1B绕BC1展到与平面CBB1C1重合 注意想象展开后平面图形的形状 当展开图有多种时注意选择适当的图形 如下变式题 第34讲 要点探究 变式题如图35 7 在正方体ABCD A1B1C1D1中 F为棱AB的中点 如果AB 1 一个点从F出发在正方体的表面上依次经过棱BB1 B1C1 C1D1 D1D DA上的点 又回到F 指出整个线路的最小值并说明理由 第34讲 要点探究 解答 如图35 8 将正方体六个面展开 从图中F到F 两点之间线段最短 而且依次经过棱BB1 B1C1 C1D
11、1 D1D DA上的中点 所求的最小值为3 探究点4折叠问题 第34讲 要点探究 例4给出一边长为2的正三角形纸片 把它折成一个侧棱长与底面边长都相等的三棱锥 并使它的全面积与原三角形面积相等 设计一种折叠方法 用虚线标在图35 9中 并求该三棱锥的体积 第34讲 要点探究 思路 沿正三角形的三条中位线折得三棱锥 构造直角三角形 求三棱锥的高是求体积的关键 解答 如图35 10所示 取等边三角形三边的中点A B C 连接AB BC CA 原三角形三条中位线 得 ABC 以中位线为折线折起三角形 使三角形三顶点重合 则得侧棱长与底面边长都等于1的三棱锥S ABC 如图35 11 作SO 平面AB
12、C 则易证点O是 ABC的重心 连接CO并延长交AB于E 则E是AB的中点 连接SE 第34讲 要点探究 O是 ABC的重心 OC CE 第34讲 要点探究 在Rt SOC中 SC 1 SO V三棱锥S ABC S ABC SO CE AB SO 点评 折叠问题应分清折叠前 后几何图形中变化的量与不变的量 不变的量常常是后续解题的已知条件 第34讲 规律总结 1 几何体的结构是培养空间想象能力的基础 是顺利解决后面 以常见几何体为载体考查空间线面位置 的关键 因为所给几何体的线面位置关系都是作为已知条件的 2 注意空间问题平面化思想的应用 推导表面积公式主要是利用展开图 求经过几何体表面上两点间的最短距离 也是将几何体表面展开 化归为求平面上两点间的最短距离 第34讲 规律总结 3 求体积除了用公式外 还常用割补法 把不规则的几何体割补成易求体积的规则几何体来求 而求三棱锥 平行六面体的体积更灵活 以任何面为底都可以 从而可以利用三棱锥的体积变换求点到平面的距离 4 解决折叠问题的关键是弄清楚折叠前后哪些量没有变化 折叠后位置关系怎么变化 通过空间想象折叠成的几何体的形状来分析已知和待求 是培养空间想象能力的很好的题型
