债券组合VaR度量简介

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1、第17章债券组合市场VaR度量 清华大学经管学院朱世武Zhushw Resdat样本数据 SAS论坛 债券市场VaR VaR是指这样的一种损失额 给定置信水平 1 和持有期限 t日 在持有期内预计超过这一损失额的概率只有 用公式表示为 VaR度量的是头寸价值的潜在变动 影响债券价格的因素是即期利率 称为风险因子 使用到期收益率计算VaR 债券价格等于预期现金流的现值 17 1 t为现金流时刻 为t时刻的现金流 为该债券的到期收益率 到期收益率上升 债券价格下跌 到期收益率下降 债券价格上涨 单只债券VaR 假设到期收益率的变动服从均值为0 标准差为的正态分布 则给定置信水平 最不利情形下的到期

2、收益率为 为实际的到期收益率 l是所选置信水平1 如 所对应的分位数 如1 65 SAS函数值为l probit 95 利用这个到期收益率和公式 17 1 计算出未来的债券价格 则一年期的VaR为 T年期的VaR为 例17 1一只5年期 面值100 年息和到期收益率均为5 的政府债券 意味着债券的现价为100 假设到期收益率的变动服从均值为0 标准差为1 的正态分布 计算95 置信水平下 该债券的一年期VaR 解 95 置信水平下的最不利YTM为 若到期收益率变为6 65 债券价格就会跌到93 77 则该债券的VaR为 五年的VaR为 SAS程序 macrobVaR Par P alpha Y

3、TMr sigma T prociml l probit 1 债券组合 考虑一债券组合 由n个债券组成 每种债券到期收益率的历史数据形成如下矩阵 计算它的协方差矩阵与相关系数矩阵 假如投资在某债券上的资金为 为该债券的持有数量 则该债券VaR为 全部VaRi构成债券组合的VaR向量为 于是 该债券组合的VaR为 例17 2考虑2只债券构成的组合 一只为例1中的债券 另外一只为2年期 年息3 的政府债券 到期收益率为4 于是 可算出该债券的实际价格为98 11 再假设该债券的到期收益率变动服从均值为0 标准差为1 2 的正态分布 计算95 置信水平下 债券组合的一年期VaR 解 对于新增债券 9

4、5 置信水平下的最不利YTM为 若到期收益率变为5 97 债券价格就会跌到94 36 则债券的VaR为 若组合中这两只债券到期收益率相关系数为1 则价值为的未分散组合的 但通常5年期政府债券的到期收益率与2年期政府债券的到期收益率只是高度相关 并非完全相关 假设相关系数为0 95 则组合的 这体现出了分散化投资会带来收益 SAS程序 对于债券i进行如下过程 组合的一年期风险值为 组合的T年期风险值为 datagendat inputPsigmaYTMrVPar 数据集gendat包含每个债券的现在价格 到期收益标准差 实际到其收益率 债券的持有数量 债券面值 cards 1000 010 05

5、110098 110 0120 041100 datacorrmat 数据集corrmat包含所有的债券的相关系数矩阵 inputc1c2 cards 10 950 951 macrombVaR n alpha gendat corrmat T n为组合债券的数量 T为风险值的期限 为置信水平 prociml use readallvar V intoV readallvar Par intoPar use 使用久期计算VaR 麦考利久期与修正久期债券久期衡量的是债券价格相对于到期收益率变动的敏感性 麦考利久期定义为 久期可用于估计债券价格相对于到期收益率的变动幅度 债券价格对到期收益率求一阶

6、导数得 两边同乘以得称为修正久期 它度量了给定到期收益率的变化水平 债券价格变动的百分比 17 3 式可变形为 可以看出 价格变动表示为到期收益率变动的线形函数 VaR计算 单只债券对于单只债券 假设到期收益率的变动服从均值为0 标准差为的正态分布 则给定置信水平 最不利情形下的到期收益率变动为 l是所选置信水平 如 所对应的分位数 如1 65 利用到期收益率的变动和公式 1 4 就可以计算出未来的债券价格变化量 则一年期的VaR为 T年期的VaR为 例17 3 假定一债券的价格为100 修正久期为4 33 到期收益率变动服从均值为0 标准差为1 2 的正态分布 给定95 置信水平下 计算一年

7、期VaR 解 最不利的情形下 到期收益率的变动量为 所以债券价格变化量为 也就是说价格会下降8 66 即预测价格为 SAS程序 macromdursbVaR alpha sigma Dm P T prociml l probit 1 债券组合 考虑一债券组合 由个债券组成 每种债券到期收益率的历史数据形成如下矩阵 据此 可以计算它的协方差矩阵 和相关系数矩阵 假如投资在某债券上的资金为 为该债券的持有数量 则该债券VaR为 全部VaRi构成债券组合的VaR向量 于是 该债券组合的VaR为 T年期的VaR为 例17 4假设组合P包含两只债券 第一只为上例中的债券 假定第二只债券的价格为98 11

8、 修正久期为5 到期收益率变动服从均值为0 标准差为1 的正态分布 假定这两只债券之间的相关系数为0 95 计算95 置信水平下 债券组合的一年期VaR 解 SAS程序 datagendat inputPsigmaVDm cards 1000 01214 3398 110 0115 datacorrmat inputc1c2 cards 10 950 951 macromdurmbVaR n alpha gendat corrmat T prociml use 使用久期与凸性计算VaR 久期反映了价格与到期收益率之间的线形关系 给定到期收益率的变动幅度 无论上升还是下降 久期方法计算出的价格涨

9、跌是对称的 但由于因收益率变动而引起的价格涨跌存在不对称性 所以价格与收益率之间并非完全线性 因此引入凸性的概念 凸性衡量的是价格与收益率之间的曲线关系 用公式表示如下 凸性导致的价格变动 凸性效应 为 参见下页PPT VaR计算 单只债券对于单只债券 假设到期收益率的变动服从均值为0 标准差为的正态分布 则给定置信水平 最不利情形下的到期收益率变动为 是所选置信水平 如 所对应的分位数 利用这个到期收益率的变动和公式 17 5 就可以计算凸性效应引起的债券价格变化量 则一年期的VaR就等于 T年期的VaR为 例17 5 假定一债券的价格为 修正久期为4 33 凸性为26 3894 到期收益率

10、的变动服从均值为0 标准差为1 2 的正态分布 计算95 置信水平下 该债券的一年期VaR 解 给定95 置信水平 最不利的情形下到期收益率的变动量为 则久期效应引起的债券价格变化量为 凸性效应引起的债券价格变化量为 所以一年期的VaR为 SAS程序 macroconvsbVaR alpha sigma Dm P cv T prociml l probit 1 债券组合 债券组合的VaR计算和前面17 2 2中方法类似 只是有一点变动 全部构成债券组合的VaR向量于是 该债券组合的VaR为 T年期的VaR为 例17 6假设组合P包含两只债券 第一只为上例中的债券 假定第二只债券的价格为98 1

11、1 修正久期为5 凸性为30 1234 到期收益率变动服从均值为0 标准差为1 的正态分布 假定这两只债券之间的相关系数为0 95 计算95 置信水平下 债券组合的一年期VaR datagendat inputPsigmaVDmCv cards 1000 01214 3326 389498 110 011530 1234 datacorrmat inputc1c2 cards 10 950 951 macroconvmbVaR n alpha gendat corrmat T prociml use l probit 1 使用RiskMetrics现金流计算VaR 债券分解前面介绍过用到期收益

12、率为债券定价 隐含着这样一个假定 即每一时点的即期利率都为相同的到期收益率 也就是所支付的利息又以同样的到期收益率水平再投资 通常 事实并非如此 实际中的即期利率是随时间变化的 但对于零息债券 即期利率与到期收益率是相同的 零息债券在期限内不支付利息 这样就避免了利息再投资问题 把债券分解为一系列零息债券 用合适的贴现因子 即期收益率来把这些现金流折现 就可以更准确地为债券定价 即期收益率 即期收益率就是一给定期限上的现金流的贴现率 只要市场上发行有不同期限的零息债券 利用该零息债券的市场价格就可以推导出即期收益率曲线 由于各种期限的零息债券并非一定会在市场上发行 所以若市场中不存在某一期限的

13、零息债券 该期限对应的即期收益率必须用其他方法推导 下面举例说明 假设市场上有1年期和2年期的零息债券 据此可以推导出1年期和2年期的即期收益率为4 和5 但不存在3年期的零息债券 为推导3年期的即期收益率 需要找一只3年期的付息债券 假设市场上有一只票面利率为5 的3年期债券 市场价格为98 5 可以得出如下式子 其中为3年期的即期收益率 这样就可以计算出3年期的即期收益率 一旦得知所有期限的即期收益率 就可以通过即期收益率进行现金流贴现计算出债券价格 进而算出该债券的VaR 但是测算所有期限的即期收益率本身就有一定的难度 而且计算VaR时还需要测算出这些即期收益率的标准差和相关系数矩阵 这

14、给VaR的计算带来很大不便 基于简化计算难度 RiskMetrics引入现金流映射来解决这个难题 现金流映射 14种RiskMetrics标准期限 1m 3m 6m 12m 2yr 3yr 4yr 5yr 7yr 9yr 10yr 15yr 20yr 30yr若一笔现金流没有对应的标准匹配期限 则需要需要把该现金流分配在两个相邻的标准期限上 两个相邻标准期限上的现金流被分配的权重要满足下面三个条件 1 市场价值不变 RiskMetrics现金流的总市场价值与初始现金流的市场价值相等 2 市场风险不变 RiskMetrics现金流的风险与初始现金流的风险一样 3 符号不变 RiskMetrics

15、现金流的符号与初始现金流的符号相同 下面说明把初始现金流转化为RiskMetrics现金流的步骤 假设一债券组合在未来第6年产生正的现金流 于是 相近的标准期限为5年和7年 5年和7年的即期收益率及其波动性和相关系数分别是假设权重分别为和 初始现金流转化为RiskMetrics现金流的具体步骤如下 1 根据5年和7年的即期收益率 用线形插值法计算6年期的即期收益率 由于第6年到第5年和第7年距离相等 所以取简单平均 2 计算初始现金流的现值 不妨设初始现金流为1 3 计算初始现金流的波动性 标准差 4 从下面的等式计算出各自的权重 简化上式为 其中解得 该方程有两个解 但第一个解不满足条件 即

16、条件3符号不变 所以选 把6年期初始现金流的现值 0 9374 分成两个部分 其中的分配给5年期 分配给7年期 最后得到两笔标准期限现金流 与初始现金流具有相同的现值 风险和符号 上面的例子介绍了怎样把一个简单的现金流映射成RiskMetrics现金流 在实际中 债券组合产生大量的现金流 其中的每一个都用上面的方法进行映射 这样就会得出组合的RiskMetrics现金流 计算出债券组合的RiskMetrics现金流后 结合RiskMetrics提供的标准期限的收益率 就可以利用前面介绍过的方法计算出债券组合的VaR SAS程序 macrocf alpha r5 r7 s5 s7 r57 Par prociml l probit 1 考虑面值回归效应的VaR计算 面值回归 债券的一个显著性质是 随着到期期限的临近 它的价格会收敛到面值 这就是债券的 面值回归 这种 面值回归 效应导致债券价格的波动性随到期日的临近而逐渐下降 最终收敛到0 称之为 波动性逐降 效应 这些效应在前面介绍的几种VaR计算方法中并未考虑到 所以会引起VaR估计的失真 VaR计算 面值回归效应导致高估风险 举例说明