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1、Chapter 7 理想不可压缩流体无旋运动引言一、不可压缩理想流体无旋运动模型1）理想：粘性力惯性力的区域例如绕流问题中边界层以外区域的流动。不脱体绕流流动在研究压力场和速度场时可不计边界层，近似看成理想流体绕流物体流动。2）不可压缩：液体，通常情况下。 气体，低速绕流运动（流速声速），例如飞机速度其它两方向的尺度（细长物体），且物体垂直于该方向的截面大小、形状变化很小，故被绕流的物体可近似看成是均匀截面的细长柱体。均匀截面的细长柱体的横向绕流流动，除柱体两端外，在柱体周围的大部分区域有 任一垂直于的平面上的流动可表征除两端以外的区域内的流动。此模型使问题进一步简化，更易于求解，研究平面运动
2、还具有重要的理论意义，通过它的研究可以对流动的性质有更多的了解，并积累处理问题的方法，所有这些都是处理复杂流动问题所必需的。二、不可压缩平面流动的流函数1.不可压缩流体平面流动的Lagrange流函数，设流动在平面内： 证明：若则可以表示为某一函数的全微分，设此函数为，则 于是有。若存在函数，速度分量可以表示为，则代入即可证明。函数被称为流函数，此积分因是全微分的积分而与路径无关，只取决于、点的位置，若取为参考点可设。流函数的物理意义：二维流动流体体积通量的意义：通过平面上与连线的流体体积通量通过曲线沿平移单位距离时扫过的曲面上的流体体积通量。对不可压缩流体，在无源或汇的区域此通量与连线形状无
3、关，只取决于与两点的位置。设通量向右为正，代表线元向右的法向，通过的向右的流体体积通量I=通过沿两坐标轴的投影线元上的向右的流体体积通量II+III，即。可见是与两点间任意连线上的“向右的”流体体积通量。注： 证明：若沿某曲线，在该曲线上取线元，上有，即，即，可见该曲线是流线。若某曲线是流线，在该曲线上取线元，则有，于是该线元上流函数的增量，可见沿该曲线。画图从的物理意义上分析亦可证明上述定理（此时可表述为沿流线的曲线上的流体体积通量=0）。由还可知与流线处处正交。二维不可压缩无旋流动，即是调和函数。任意线元处的法向速度与的关系：，向右为正。极坐标下有 ， 若取为流线法向线元，方向如图，则，或
4、。 矢量关系式：沿流线且垂直于等速度势线，故流线与等速度势线正交。例题：均匀流动的流函数和势函数，取原点为参考点，设。设有一均匀流动沿方向，此流动流函数另有一均匀流动沿方向，此流动流函数若空间均匀流动，则此流动流函数（迭加原理，设此时无边界）定义在单连通区域上的平面无旋不可压缩流动，是单值函数（可含一任意常数）；定义在复连通区域上的平面无旋不可压缩流动，可能是多值函数，其中为内边界上的流体体积通量。7 复位势及复速度一、预备知识复变函数的一些概念1、解析函数和调和函数 ，是实函数，若函数在一个区域内点点可微则在内解析。在内解析的充要条件：和满足柯西黎曼条件：，且和在内连续可微。由柯西黎曼条件知
5、解析函数的实部和虚部均为调和函数：。解析函数的导数2、奇点，留数，留数定理内不解析的点叫奇点，若在某个奇点的有限小邻域内（不包括该奇点）解析则该奇点是孤立奇点，例如：的点。设点是复函数的孤立奇点，代表圆周：，设足够小，只包围一个奇点。称积分的值为函数在孤立奇点处的留数，记为。与无关。函数在孤立奇点处的留数=在邻域内罗朗展开式中负一次幂的系数， 。留数计算法则：是的一阶奇点则是的阶奇点则留数定理：如果在闭曲线的内部内除了有限个孤立奇点外解析（并且在上除外连续），那么 证明(定性)：柯西积分公式 在内解析，上连续，则沿区域的边界有 积分 为以为心任意半径的圆周，则 时 时 在孤立奇点附近展开成罗朗
6、级数， ，闭合曲线包围孤立奇点。二、复势和复速度在除孤立奇点（点涡，点源，点汇）以外的不可压缩平面无旋运动流场中，函数和满足柯西黎曼条件，并满足连续可微条件，故二者可构成一个解析函数，被称为复势。重要关系式：1）复速度，引入复速度。因为，所以共轭复速度。2）。和分别代表闭曲线上的速度环量和流体体积通量。8 定常理想不可压缩平面无旋流动问题的数学提法引入复势后，可以利用复变函数这一有力的数学工具解决这一类流动问题。以绕流流动为例，设固体静止，固壁边界c，固壁外无界空间，求解速度场的问题转化为：说明：1）复势与平面无旋运动一一对应（可含有一个任意常数，在复连通区域为多值函数），任一给定的解析函数都
7、代表了一个不可压缩平面无旋流动，而该解析函数是否与某一特定流动对应则取决于它是否满足该流动的特定边界条件。因而通过求求解流动就是寻找满足一定边界条件的。满足一定边界条件的和具有唯一性具有唯一性。2）复势满足迭加原理（须受边界条件限制）：解析函数之和仍为解析函数，即复势迭加所得到的复势仍对应一个平面无旋运动。布置Groupwork复习，三、基本流动的复势（反问题：简单复势对应的流动）1、线性函数 ，为复常数 ，说明该复势对应均匀直线流动。故均匀流动：或，其中和分别代表速度大小和方向。2、对数函数，为实数，是奇点将代入得，于是可知，可见流线是发自原点（奇点）的辐射线。则为点源激发的流动，则为点汇激
8、发的流动。，闭合曲线代表包围原点的圆周。故强度为的点源（汇）的流场：。3、对数函数，为实数，为奇点。，于是知，可见流线为同心圆周。，该速度代表一个轴对称圆周运动，绕行方向取决于的正负。上式也说明在处有点涡存在（轴为涡丝，强度为），也就是说该复势对应直线涡丝诱导的流动或点涡诱导的平面流动。故点涡的场复势为。4、幂函数 为实数且（不代表有实际意义的流动） ，； ，；零流线：对应和（一般有，为整数）。若此二流线处是固壁边界，则表示绕此角形固壁边界的“绕角流动”。设，处 ， 处 ，则流线图如右侧各图所示。特例：代表凹角内流动。时，处，角点为驻点。特别当，代表驻点附近的流动或绕直角形边界的流动。，流线是
9、一族双曲线。代表均匀流动表示绕平板前缘的流动代表绕凸角的流动。由表达式知此时有当，这在实际不可能。实际上，由于粘性的存在，在凸角附近总发生流动分离。O5、反比例函数，为常数。偶极子：无限靠近的一对等强度点源和点汇。说明：（1）两个解析函数的和仍为解析函数。在除去两个孤立奇点以外的无界二维空间内是解析函数，因而对应该空间内的某个不可压缩平面无旋流动；（2）满足流动的边界条件：无穷远静止；（3）两奇点分别为强度为的点源和点汇。化简：（上下同时对求导） （设偶极子强度） 可见反比例函数表示偶极子的场。流线图：设，则流线方程为，即 ，可见流线族为与轴相切圆心在轴上的圆族。远场：。点源的场，相比之下偶极
10、子场随增加衰减更快。四、圆柱的绕流简单流动复势迭加给出较复杂的流动的复势1、无环量的圆柱绕流（均匀来流绕流静止圆柱）以流函数描述的控制方程组：。以复势描述：讨论均匀流动与偶极子流动的迭加。均匀来流沿轴，速度，偶极子逆轴置于原点。 设。流线。零流线和如图所示。若取则此可表示绕流静止的圆柱体的流场，。当时 ie 无穷远处是均匀流动，速度为（满足无穷远边界条件）。参阅北大书p43上的定性分析。 分析：1）速度在柱面上的分布： ，可见，柱面上速率按正弦分布。2）柱面上压力分布Bernoulli eq.（略体力）：，由此得柱面上有。驻点处的动压=，因而常用表示的特征值。引入无量纲的压力系数反映压力的相对分布：。I 此处，上、下和前、后对称分布，因而柱体不受阻力和升力。压力分布图说明：真实流动，脱体现象、实验曲线，阻力。观看图片注：分支流线柱体在静止流体中匀速移动引起流体运动，流动复势。（思考：由速度在不同参照系中的换算复势在不同参照系中的换算：柱体参照系下的复势+牵连速度对应的均匀流动的复势=静系（静止流体）下的流动复势）2、有环量的圆柱绕流实验：北大p49图7.1.11。圆柱体立于小车上，圆柱体可绕其轴线作定轴转动。此装置置于风洞
