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1、第九章 多元函数的微分法及其应用 1多元函数概念 1、设.答案: 2、求下列函数的定义域:(1) (2) 3、求下列极限: (1) (0) (2) (0) 2 偏导数1、设z= ,验证 证明:,2、求空间曲线在点()处切线与x轴正向夹角()3、设, 求 ( 1)4、设u=(x2+yz3) 3,求及.解: =3(x2+yz3)2 2x=6x(x2+yz3)2 , =3(x2+yz3)2 z3=3z3(x2+yz3)23(x2+yz3)2 3yz2=9yz2(x2+yz3)25、设,证明 : 6、设,求。解:7、设函数在点处的偏导数存在,求 3 全微分1、单选题(1)二元函数在点处连续是它在该点处
2、偏导数存在的 D .(A)必要条件而非充分条件(B)充分条件而非必要条件 (C)充分必要条件(D)既非充分又非必要条件(2)对于二元函数,下列有关偏导数与全微分关系中正确的是 B 。(A)偏导数不连续,则全微分必不存在(B)偏导数连续,则全微分必存在(C)全微分存在,则偏导数必连续(D)全微分存在,而偏导数不一定存在2、求下列函数的全微分:(1) 设求dz解: (2) 设函数( 为常数且)求.解:;(3) 解:3、设,求dz(1,1)解: ,4、设,求:5、讨论函数在(0,0)点处的连续性 、偏导数、可微性。解:,所以在(0,0)点处连续。 ,所以可微。4多元复合函数的求导法则、设,求解:2、
3、设,求 3、设,,其中具有二阶连续偏导数,求。解:;4、设,其中具有二阶连续偏导数,求, 解: , ,= ,5、设,其中对各变元具有二阶连续偏导数,求。解:6、设,证明:。证:;类似可求得;。所以。 5隐函数的求导公式1、设,求解:令,2、设是由方程确定,求。解:=3、设,其中可微。证明: 解:;=+y=4、设,求, ( ,)5、设由方程所确定,可微,求解:令 ,则6、设函数是由方程所确定,求。解: 7、设由方程所确定,证明:。证:;所以6微分法在几何中的应用1、求螺旋线 在对应于处的切线及法平面方程解:切线方程为法平面方程2、求曲线 在(3,4,5)处的切线及法平面方程解:切线方程为 ,法平
4、面方程: 3、求曲面上点(1,1,1)处的切平面和法线方程。解:设,则;。在点(1,1,1)处;,所以法向量切平面方程是:,即;法线方程是:7方向导数与梯度1、设函数,(1)求该函数在点(1,3)处的梯度。2)在点(1,3)处沿着方向的方向导数,并求方向导数达到最大和最小的方向解:梯度为 , 方向导数达到最大值的方向为,方向导数达到 最小值的方向为。2、求函数在(1,2,-1)处沿方向角为的方向导数,并求在该点处方向导数达到最大值的方向及最大方向导数的值。解:方向导数为,该点处方向导数达到最大值的方向即为梯度的方向,此时最大值为 3、求函数在(1,1,-1)处沿曲线在(1,1,1)处的切线正方
5、向(对应于增大的方向)的方向导数。解:,所以该函数在点(1,1,-1)处的方向导数为。4、求函数在(1,1,-1)处的梯度。解:, 8多元函数的极值及求法1、求函数的极值。 答案:(,)极小值点2、设函数由方程确定,求函数的驻点。解:设驻点是(0,0)。3、求的极值。解:;。令=0,=0,得=2;=-1;=1;在(1,0)点处=2,=1,0,函数在(1,0)点处有极值,且由于A=20取极小值。4、求函数在条件下的条件极值。解: ,极小值为5、欲造一个无盖的长方体容器,已知底部造价为3元/平方,侧面造价均为1元/平方,现想用36元造一个容积最大的容器,求它的尺寸。(长和宽2米,高3米)6、旋转抛
6、物面被截成一椭圆,求原点到椭圆的最大与最小距离。解:设为椭圆上的点,原点到的距离为,且满足条件:,。设令得方程组:解得:,, ,根据实际问题,最大距离和最小距离存在,所以为最小距离;为最大距离。7、在第一卦限内作椭球面的切平面,使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小,求切点坐标。解:椭球面上的点。设,则在点的切平面法向量是,切平面方程:切平面在轴上的截距是:;切平面在轴上的截距是:;切平面在轴上的截距是:;三坐标面与切平面所围的四面体的体积是:。要求体积的最小值,只要求在条件下的最大值即可。设:,令=0,=0,=0,并与条件联立解得由于根据实际情况,体积的最小值存在,且所求得驻点唯一,所以
7、即为所求。第九章 自测题一、选择题:(每题2分,共14分)1、设有二元函数 则 B A、存在;B、不存在;C、存在, 且在(0,0)处不连续;D、存在, 且在(0,0)处连续。2、函数在各一阶偏导数存在且连续是在连续的 B A、必要条件; B、充分条件;C、充要条件; D、既非必要也非充分条件。3、函数 在(0,0)点处 D A、极限值为1; B、极限值为-1;C、连续; D、无极限。4、在处,存在是函数在该点可微分的 A (A)必要条件; (B)充分条件; (C)充要条件; (D)既非必要亦非充分条件。5、点是函数的 B (A)极小值点; ( B)驻点但非极值点;(C)极大值点; (D)最大
8、值点。6、曲面在点P(2,1,0)处的切平面方程是 C (A); (B);(C); (D)7、已知函数均有一阶连续偏导数,那么 B (A); (B) ;(C) ; (D) 二、填空题:(每题分,共18分)1、 ( 0 )、设,则( )、设则( 0 )、设,则在点处的全微分dz=( )。、曲线在点处的切线方程为( )、曲线在点(1,1,1)处的切线方程为( )三、计算题(每题6分)1、设,求的一阶偏导数。解:2、设,求的二阶偏导数。解:,3、设具有各二阶连续偏导数,求解:、设 求和。解: 不存在,故不存在,同理,也不存在。 当时,有 5、设,求:。解:1+ 6、设,且具有二阶连续偏导数,求:,。
9、解:,7、,求:。解:,=四、试分解正数为三个正数之和,而使它们的倒数和为最小。解:设三个正数为,则,记,令则由 解出。第十章 重积分 1二重积分的概念与性质1、设D由圆求 的值 解:由于D的面积为, 故=2、由二重积分的几何意义求二重积分的值 其中D为: ( 解:=)3、 设f(t)连续,则由平面 z=0,柱面 和曲面所围的 立体的体积可用二重积分表示为 ( )4、设D为圆域若二重积分=,求a的值。解: = 5、设D:, ,比较与的大小关系解:在D上, ,故 2 二重积分的计算法1、设,其中D是由抛物线与直线y=x-4所围成的平面闭区域区域,则I=( A ) A : B : C: D : 2
10、、设D是由不等式所确定的有界区域,则二重积分为 ( B )A :0 B: C: D: 13、设D是由直线x=0,y=2及y=x所围成的区域,则二重积分 的值为( C ) A: B : C : D:4、 设f(x,y)是连续函数,则二次积分交换积分次序后为( D ) A B C D 5、设有界闭域D1、D2关于oy轴对称,f是域D=D1+D2上的连续函数,则二重 积分为( A )A B C D 6、设D1是由ox轴、oy轴及直线x+y=1所围成的有界闭域,f是域D:|x|+|y|1 上的连续函数,则二重积分为( B ) A B C D 7、设f(x,y)为连续函数,则 交换积分次序的结果为( C ) A B C D 8、设I=,交换积分次序后I为:( D ) 9、改变二次积分的次序: ( = )10、求 ,其中 由x=2,y=x,xy=1所围成. ( )11、设 D=(x,y)|0x1,0y1 ,求的值 解:=12、计算二重积分,其中D=(x,y)| 0x1,0y1解: =13、计算二重积分,其中D是圆域解:=14、设 I=,其中D是由x2+y2=Rx所围城的区域,求I (解:I=)15、计算二重积分,D: 围成的闭区域( 解:= )