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1、书 山 有 路 1 函数知识点总结函数知识点总结 掌握函数的定义 性质和图像掌握函数的定义 性质和图像 平面直角坐标系平面直角坐标系 1 定义 平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系 简称为直角坐标系 2 各个象限内点的特征 第一象限 点 P x y 则 x 0 y 0 第二象限 点 P x y 则 x 0 y 0 第三象限 点 P x y 则 x 0 y 0 第四象限 点 P x y 则 x 0 y 0 3 坐标轴上点的坐标特征 x 轴上的点 纵坐标为零 y 轴上的点 横坐标为零 原点的坐标为 0 0 两坐标轴 的点不属于任何象限 4 点的对称特征 已知点 P m n 关于
2、x 轴的对称点坐标是 m n 横坐标相同 纵坐标反号 关于 y 轴的对称点坐标是 m n 纵坐标相同 横坐标反号 关于原点的对称点坐标是 m n 横 纵坐标都反号 5 平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征 平行于 x 轴的直线上的任意两点 纵坐标相等 平行于 y 轴的直线上的任意两点 横坐标相等 6 各象限角平分线上的点的坐标特征 第一 三象限角平分线上的点横 纵坐标相等 第二 四象限角平分线上的点横 纵坐标互为相反数 7 点 P x y 的几何意义 点 P x y 到 x 轴的距离为 y 点 P x y 到 y 轴的距离为 x 书 山 有 路 2 点 P x y 到坐标原点的距离为 22 yx
3、 8 两点之间的距离 X 轴上两点为 A A 0 1 x B B 0 2 x AB AB 12 xx Y 轴上两点为 C C 0 1 y D D 0 2 y CDCD 12 yy 已知 A 11 yx B 22 yx AB AB 2 12 2 12 yyxx 9 中点坐标公式 已知 A 11 yx B 22 yx M 为 AB 的中点 则 M 2 12 xx 2 12 yy 10 点的平移特征 在平面直角坐标系中 将点 x y 向右平移 a 个单位长度 可以得到对应点 x a y 将点 x y 向左平移 a 个单位长度 可以得到对应点 x a y 将点 x y 向上平移 b 个单位长度 可以得
4、到对应点 x y b 将点 x y 向下平移 b 个单位长度 可以得到对应点 x y b 注意 对一个图形进行平移 这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化 反过来 从图形上点的坐标的加减变化 我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移 函数的基本知识函数的基本知识 基本概念基本概念 1 1 变量 变量 在一个变化过程中可以取不同数值的量 常量 常量 在一个变化过程中只能取同一数值的量 2 2 函数 函数 一般的 在一个变化过程中 如果有两个变量 x 和 y 并且对于 x 的每一个确定的 值 y 都有唯一确定的值与其对应 那么我们就把 x 称为自变量 把 y 称为因变量 y 是 x 的函数 判断
5、 A 是否为 B 的函数 只要看 B 取值确定的时候 A 是否有唯一确定的值与之对应 3 定义域和值域 定义域和值域 定义域 定义域 一般的 一个函数的自变量允许取值的范围 叫做这个函数的定义域 值域 值域 一般的 一个函数的因变量所得的值的范围 叫做这个函数的值域 4 4 确定函数定义域的方法 确定函数定义域的方法 书 山 有 路 3 1 关系式为整式时 函数定义域为全体实数 2 关系式含有分式时 分式的分母不等于零 3 关系式含有二次根式时 被开放方数大于等于零 4 关系式中含有指数为零的式子时 底数不等于零 5 实际问题中 函数定义域还要和实际情况相符合 使之有意义 5 5 函数的图像函
6、数的图像 一般来说 对于一个函数 如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横 纵坐标 那么坐标平面内由这些点组成的图形 就是这个函数的图象 6 函数解析式 函数解析式 用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式 7 7 增减性 单调性 增减性 单调性 增减性又叫单调性 分两种情况 单调增 单调减 单调增 单调增 y 随 x 的增大而增大 单调减 单调减 y 随 x 的增大而减小 口诀 同增异减 注意 单调性只适用于单调区间 即有一个 X 只有唯一确定的 y 与之对应时 8 8 描点法画函数图形的一般步骤描点法画函数图形的一般步骤 第一步 列表 表中给出一些自变量的值及其对应的函
7、数值 第二步 描点 在直角坐标系中 以自变量的值为横坐标 相应的函数值为纵坐标 描 出表格中数值对应的各点 第三步 连线 按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来 9 9 函数的表示方法函数的表示方法 列表法 一目了然 使用起来方便 但列出的对应值是有限的 不易看出自变量与函数 之间的对应规律 解析式法 简单明了 能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系 但有些实际问题中的函数关系 不能用解析式表示 图象法 形象直观 但只能近似地表达两个变量之间的函数关系 一次函数图象和性质一次函数图象和性质 书 山 有 路 4 知识梳理 一 一次函数的基础知识一 一次函数的基础
8、知识 1 1 定义 定义 一般地 形如 y kx b k b 是常数 k 0 那么 y 叫做 x 的一次函数 当 b 0 时 y kx b 即 y kx 称为正比倒函数 所以说正比例函数是一种特殊的一次函数 一次函数的一般形式 y kx b k 0 说明 k 不为零 x 指数为 1 b 取任意实数 2 2 解析式 解析式 y kx b k b 是常数 k 0 3 3 图像 图像 一次函数 y kx b 的图象是经过 0 b 和 k b 0 两点的一条直线 我们称它为直 线 y kx b 4 4 增减性 单调性 增减性 单调性 k 0 y 随 x 的增大而增大 单调增 单调增 k0 y 随 x
9、的增大而增大 k0 时直线与 y 轴交于原点上方 即 y 轴的正半轴 当 b0 时 将直线 y kx 的图象向上平移 b 个单位 口诀 正上 当 b0 b0 经过 第一 二 三象限 不经过 第四象限 经过 第一 三 四象限 不经过 第二象限 经过 第一 三象限 不经过 第二 四象限 增减性 单调性 增减性 单调性 图象从左到右上升 y 随 x 的增大而增大 单调增 k0 y 随 x 的增大而减小 单调减 单调减 k0 或左 h0 或下 k0 或左 h0 或左 h0 或下 k0 或向下 k0 和 y x k k 0 在同一坐标系中的图象可能是 B 书 山 有 路 12 A B C D 在一次函数 y 2x 1 的图象上 到两坐标轴距离相等的点有 B A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 无数个 若点 2 y1 1 y2 1 y3 在反比例函数 x y 1 的图像上 则下列结论中正确的是 D A y1 y2 y3 B y1 y2y1 y3 D y3 y1 y2 已知一次函数y m 2 4 x 1 m 的图象在 y 轴上的截距与一次函数 y m 2 2 x m2 3 的图象在 y 轴上的截距 互为相反数 则 m 1
