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1、最新资料推荐四点共圆文武光华数学工作室 潘成华平面几何中证四点共圆的几个基本方法方法一:平面上有四点,若,则四点共圆方法二 线段交于,若,则四点共圆方法三 线段交于,若,则四点共圆方法四:若四边形,,则四点共圆方法四、已知 是内角或外角平分线,,且,则四点共圆证明 设,因为,所以,所以,内角时,外角时,所以四点共圆托勒密定理:Tolemy(托勒密定理)若四边形ABCD是圆O内接四边形,则ADBC+ABCD=ACBD证明 在AC上取点E,使EDC=ADB,因为ABD=ACD,所以ABDEDC,ADEBDC,于是(AB/CE)=(DB/DC),(AD/AE)=(DB/BC),于是ADBC+ABDC
2、=AEBD+BDCE=ACBD例1、已知 点在内,,.求证.证明(一)(文武光华数学工作室 南京 潘成华)作关于对称点,易知, ,于是,所以,得到,进而.证明(二)作外接圆交延长线于,可知,得到,所以,得到,所以.例2、已知(文武光华数学工作室 南京 潘成华)是内一点,点在上,且,.则证明 先证明,过作垂线交分别于,直线交于,取中点,易知四点共圆,四点共圆,所以(1),(是的内角),因为,所以,于是,易知四点共圆,圆心是,,所以,进而,得到是中垂线,所以,(1)得 下面我们证明,因为,两式相除得,因为所以,证明(二)在取,使得,所以,进而得到,易知四点共圆,所以例3、叶中豪老师2013年国庆讲
3、义一几何题我的解答已知,是底边上任一点,是形内一点,满足,。求证: 。证明作外接圆交分别于,易知,所以,所以 (1),易知,进而得到,所以(2),易知四点共圆,所以,所以,所以,进而根据(1)、(2)得到。例4、已知是锐角三角形,是边上中线,是垂心,于点,求证四点共圆证明(一):延长到使得,易知四边形是平行四边形,因为,,所以,得到,所以四点共圆证明(二),所以是切线,所以,所以,得到,所以四点共圆第四题、第51届波兰数学奥林匹克,1999例5、已知 在中,,点在内部,点是中点,.求证 .证明(文武光华数学工作室 南京 潘成华)设,因为,可知,可知,(1),,可知 得到(2),根据(1)、(2
4、)得,即。证明(二)(文武光华数学工作室 潘成华给出)延长交以为圆心,为半径的圆于,直线交于, ,因此 ,于是在上,,所以,可知,即,得证例6、已知 是边中点,交外接圆于,过点作交于,在上取点,使得.求证证明(一)(文武光华数学工作室 南京 潘成华)因为,点是中点,所以是调和四边形,易知直线、过点切线共点,得到平分,因此是旁心,进而.证明(二)因为 是边中点,所以,得到,易知是等腰梯形,所以,根据托勒密定理可知,得到,,所以,所以,可知,取中点,同理可得,所以与交点设为,则为中点,所以,于是证明(三)(田开斌老师)作交于,所以,所以四点共圆,因为,所以例7、 已知是角平分线交于,外心分别是,求
5、证证明易知,,所以(1),又,于是,所以四点共圆,根据(1)得到证明(二)记三角,设直线交于,,同理,所以,所以四点共圆得到例8、已知 、交于,四边形是平行四边形,在上,交于,直线交于.求证 四点共圆证明 延长交于点,连接,易知是等腰梯形,是等腰梯形,,所以四点共圆,因此五点共圆,进而四点共圆例9、已知 分别是外心,内心,求证的充要条件是,证明 延长AI交圆O于D,根据托勒密定理,ABDC+ACBD=ADBC(1),因为OIAI,所以AI=ID,由(1)得:(AB+AC)BD=BC2DI,因为BID=IBD,于是BD=DI,所以AB+AC=2BC此题,若O,I分别是ABC外心,内心,AB+AC
6、=2BC,求证 OIAI证明方法是一样的例10、为外接圆上一点,在上的射影为.点分别是中点。证明.证明 取中点,连接,易知,所以,所以,可知,所以第十题、已知 是边中点,交外接圆于,过点作交于,在上取点,使得.求证例11、已知(文武光华数学工作室 南京 潘成华) 、外切于,弦切于,点是延长线上一点,求证充要条件是.(2014 6 8 8:49于镇江大港中学)证明(文武光华数学工作室 南京 潘成华)过作两圆公切线交于,线段交于,等价于,等价于 ,因为,得到,因此,等价于,等价于,即例12、刚才看了一下2014年第5期中等数学数学奥林匹克问题(高)383,不难,我把解答写一下已知 是锐角的垂心,以
7、为直径的圆交外接圆于,直线交于,直线交于,求证证明(文武光华数学工作室 南京 潘成华)设外接圆为,直线交于,所以共线,延长交于点,易知四点共圆,所以,所以,同理,所以是平行四边形,得到是中点,连接交于,因为,可知共线,所以是中位线,得到平行且相等,所以是中点,可知例13、(文武光华数学工作室 南京 潘成华)设周长为,求证的旁切圆与外接圆外切。(2014-6-12 8:56)证明 设的旁切圆切直线于,交外接圆于,直线 交的旁切圆于 ,所以,所以,所以点在外接圆外接圆上,因为是中点,所以点是两圆的切点,即的旁切圆与外接圆外切。例14、于,是垂心,外心,交于,求证证明(一) 延长交于,延长交于,根据
8、蝴蝶定理可知,根据鸭爪定理可知,所以,等腰.证明(二)在取使得,所以,设交于,根据等角共轭点性质,可知,又,可知四点共圆,可知例15、第47届预选,2006年如图,在梯形中,,点分别在线段上,且,分别在直线上,且,.求证 四点共圆证明(一) 因为 ,易知共点,设为,设交圆于,因此是圆切线,,所以,所以,因此四点共圆证明 (二) (文武光华数学工作室 潘成华)因为(AK/KB)=(DL/LC),AB/CD,根据位似知识可知AD、QL、BC的延长线共点,设为E,过点L作LX/AP交AD于X,作LY/PB交BC于Y,因此XY/AB,设XL、DQ交于S,LY、QC交于T,根据Menelaus定理可知(
9、XS/SL)=(XD/DE)*(EQ/LQ)=(YC/CE)*(EQ/LQ)=(YT/TL),于是ST/XY,SQT+SLT=DAB+ADC=180,所以L、S、Q、T四点共圆,易知SQL=STL=XYL=ABP=180-APB-BAP=180-ADC-BAPDAP,进而A,D,P,Q四点共圆例16、2012年西部数学奥林匹克几何题已知 外心、垂心分别是、,于,中垂线交延长线于.求证 外接圆过中点.证明(文武光华数学工作室 南京 潘成华)取、中点,根据欧拉定理可知,所以,所以,又易知,所以,因此是等腰梯形,可知四点共圆,因为四点共圆,所以在外接圆上,即外接圆过中点.例17、已知两同心圆,从大圆
10、上一点作切小圆于,直线交大圆于.求证 证明(文武光华数学工作室 南京 潘成华)设两圆圆心,延长交分别交大圆于,所以是中位线,,所以,所以,所以 ,结论等价于,等价于,因为得证例18、(2004年日本数学奥林匹克几何题)已知 如图,点分别是上两点,且过点分别作的平行线交过点作外接圆的切线分别于,延长直线交外接圆于求证(1)四点共圆,(2)是切线证明 因为,因为,所以直线交点必在上设为,所以四点共圆,同理四点共圆因此四点共圆同理四点共圆,于是四点共圆,,所以是切线例19、已知分别是圆两切线、是切点,平分,交于,切于,交延长线于.求证 证明(文武光华数学工作室 南京 潘成华)连接交于,交于,设线段交
11、于,易知分别是中点,共线,根据配位中线知识可知,所以,又,所以,进而,又,得到,即.证明(二),所以,所以,所以,可知于是,得到,下面同证法(一)例20、回答广州陈泽桐老师几何题已知 是的旁切圆,是切点,点是延长线上一点, 交于.则的充要条件是证明(文武光华数学工作室 南京 潘成华)设交于,延长线交直线于,交直线于点,三角形三角,根据定理,所以,=所以四点共圆,可知,可知,根据定理, ,所以, ,成立的充要条件是 (1), , 等价于,即根据(1)结论成立例21、已知:自外一点作切线及割线,自作的平行线,分别交于。求证:。证明:联结O,作于。由垂径定理知。由,得都在以为直径的圆上,即四点共圆,
12、。而,得由此,推出四点共圆。得而,故,。在中,由中位线逆定理即得。例22、已知 为上一点,为圆外一点,分别与相切于,于,分别交于。求证:。证明:设交于,联结交于。则垂直平分,即是中点。联。由,得,于是,由此,得四点共圆,于是,。因是中点,故也是中点,即。证毕例23、已知 是切线,是切点,是割线,交于,直线交于,求证(2013 11 11 21:30)证明作于,延长于,易知五点共圆,可知,所以四点共圆,于是,于是A,易知,所以,进而根据相似知识可知.例24、 是等边三角形,,连接,取中点,求证证明(田开斌给出)延长到,使得,所以,所以,于是,可知,因为,所以证明(二)上海-leenco林可先生证明:作等边三角形,连接交延长线于,连接,所以是外心,,所以,得到四点共圆,于是,得到夹角,可知,所以,于是,所以,易知,得到,进而例25、已知 中,是垂心,外心,交于,交于,求证 .证明(文武光华数学工作室 南京 潘成华)取BC中点M,连接OM,AH、DE,设AH、DE交于点N,连接ON,HM,BHC=180-BAC=ADH,HAD=CBH,所以AHDBCH,于是HDNCHN,