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1、1.3.1 函数的单调性函数的单调性1观观察察下下图图中中的的函函数数图图象象，你你能能说说说说它它们们分分别别反反映映了相应函数的哪些变化规律吗？了相应函数的哪些变化规律吗？实例引入实例引入随随x的增大，的增大，y的值有什么变化？的值有什么变化？能否看出函数的最大、最小值？能否看出函数的最大、最小值？函数图象是否具有某种对称性？函数图象是否具有某种对称性？2 画出下列函数的图象，观察其变化规律：画出下列函数的图象，观察其变化规律： （1）f(x)=x; 从从左左至至右右图图象象上上升升还还是下降是下降? ? _ 在在区区间间 _ 上上，随随着着x的的增增大大，f(x)的的值值随随着着 _ 实
2、例引入实例引入上升上升(-，+)增大增大3 画出下列函数的图象，观察其变化规律：画出下列函数的图象，观察其变化规律： （2）f(x)=x2 在在区区间间 _ 上上，随随着着x的的增增大大，f(x)的的值值随随着着 _ 在在区区间间 _ 上上，随随着着x的的增增大大，f(x)的的值值随随着着 _ 实例引入实例引入减小减小(-，0)增大增大0 ，+)4从上面的观察分析，能得出什么结论？从上面的观察分析，能得出什么结论？函数的单调性函数的单调性 从从上上面面的的观观察察分分析析可可以以看看出出：不不同同的的函函数数，其其图图象象的的变变化化趋趋势势不不同同，同同一一函函数数在在不不同同区区间间上上变
3、变化化趋趋势势也也不不同同，函函数数图图象象的的这这种种变变化化规规律律就就是是函函数数性性质质的的反反映映，这这就就是是我我们们所所要要研研究究的的函函数数的的一个重要性质一个重要性质函数的单调性函数的单调性函数的单调性函数的单调性5 以以二二次次函函数数f（x）x2 2为为例例，列列出出x，y的的对对应值表应值表函数的单调性函数的单调性6 对对比比函函数数f（x）x2 2的的图图象象和和列列出出的的x，y的的对对应应值值表格，你能发现什么？表格，你能发现什么？函数的单调性函数的单调性7 图图象象在在y轴轴左左侧侧“下下降降”，也也就就是是，在在区区间间(，0上上，随随着着x的的增增大大，相
4、相应应的的f( (x) )反反而而减减小；小；函数的单调性函数的单调性 图图象象在在y轴轴右右侧侧“上上升升”，也也就就是是，在在区区间间(0，+)上上，随随着着x的的增增大大，相相应应的的f( (x) )也也随随着着增增大；大；8 如何利用函数解析式如何利用函数解析式 f（x）x2 2 描述描述“随着随着x的的增大，相应的增大，相应的f(x)随着减小随着减小”“随着随着x的增大，相的增大，相应的应的f(x)也随着增大也随着增大”?函数的单调性函数的单调性9 对于二次函数对于二次函数 f（x）x2 2 ，我们可以这样来，我们可以这样来描述描述“在区间（在区间（0，+）上，随着）上，随着x 的增
5、大，相应的增大，相应的的 f(x)也随着增大也随着增大”： 在区间（在区间（0 0，+）上，任取两个）上，任取两个 ， ，得到，得到 ， ，当，当 时时, ,有有 ，这时，就说函数这时，就说函数f（x）x2 2在区间（在区间（0 0，+）上是）上是增增增增函数函数函数函数函数的单调性函数的单调性你能仿照这样的描述，说明函数你能仿照这样的描述，说明函数 f（x）x2 2 在区间在区间 (，0上是减函数上是减函数吗？吗？10 对于二次函数对于二次函数f（x）x2 2 ，我们可以这样来描，我们可以这样来描述述“在区间在区间（，0上，随着上，随着x 的增大，相应的的增大，相应的 f(x)反而减小反而减
6、小”： 在区间在区间（，0上，任取两个上，任取两个 ， ，得到，得到 ， ，当，当 时时, ,有有 ，这时，就说函数这时，就说函数f（x）x2 2在区间在区间（，0上是上是减减减减函数函数函数函数函数的单调性函数的单调性11一般地，设函数一般地，设函数f(x)的定义域为的定义域为I:函数的单调性函数的单调性 如果对于定义域如果对于定义域I I内某个区间内某个区间D D上的任意两个自变量上的任意两个自变量的值的值 ，当，当 时，都有时，都有 ，那么就说函，那么就说函数数 在区间在区间D D上是上是增函数（增函数（增函数（增函数（increasing functionincreasing func
7、tion）12一般地，设函数一般地，设函数f(x)的定义域为的定义域为I: 如果对于定义域如果对于定义域I I内某个区间内某个区间D D上的任意两个自变量上的任意两个自变量的值的值 ，当，当 时，都有时，都有 ，那么就说函，那么就说函数数 在区间在区间D D上是上是减函数（减函数（减函数（减函数（decreasing functiondecreasing function）函数的单调性函数的单调性13 如果函数如果函数yf（x），在区间），在区间D上是增函数或上是增函数或减函数，那么就说函数在这个区间上减函数，那么就说函数在这个区间上具有（严格）具有（严格）单调性单调性，区间，区间D叫做叫做y
8、f（x）的）的单调区间单调区间函数的单调性函数的单调性 在单调区间上增函数的图象是上升的，减在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的函数的图象是下降的141.1.在中学数学中所说的单调性是指严格的单调性在中学数学中所说的单调性是指严格的单调性, ,即必须是即必须是f(xf(x1 1)f(x)f(x)f(x2 2),),而不能是而不能是f(xf(x1 1)f)f(x(x2 2) () (或或f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2););注意：对函数单调性的理解注意：对函数单调性的理解 2. 2.函数的单调性是对定义域内的某个区间而言的函数的单调性是对定义域内的某个区间而言的, ,
9、是是局部概念局部概念; ;3.3.学习函数的单调性学习函数的单调性, ,要注意定义中条件和结论是要注意定义中条件和结论是双向使用的双向使用的. .154.函数的单调性是函数在某个区间上的整体性质。这个区间可以是整个定义域这个区间也可以是定义域的真子集）5.单调性讨论必须在一个区间上。6.区间端点的写法（对于单独的一点，它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调性问题，因此写单调区间是包括端点也可以不包括也可以，但对于某些点无意义时单调区间就不包括这些点）(如 y= y=1x )167.并不是所有函数都具有单调性，有的函数不具有单调性（如y=2，y=x(x0,1,2)8.函数单调性
10、定义中的, ， 必须满足任意性，不可以随意取两个特殊值。函数单调性的几何意义：单调增函数：在定义区间上图像从左到右上升单调减区间：在定义区间上图像从左到右下降17 2 2、如果对于区间（、如果对于区间（a a，b b）上的任意）上的任意x x有有f(x)f(x)f(a)f(a)，则函数，则函数f(x)f(x)在区间（在区间（a a，b b）上是增函数）上是增函数想一想想一想想一想想一想判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确1 1 1 1、如果对于区间（、如果对于区间（、如果对于区间（、如果对于区间（a a a a，b b b b）上）上）上）上 存在存
11、在存在存在 ，使得，使得，使得，使得则函数则函数则函数则函数f(x)f(x)f(x)f(x)在区间（在区间（在区间（在区间（a a a a，b b b b）上是增函数。）上是增函数。）上是增函数。）上是增函数。3 3 3 3、函数函数f(x)f(x)在区间（在区间（a a，b b）上有无数个自变量）上有无数个自变量x x，使得当，使得当 时，有时，有 则函数则函数f(x)f(x)在区间（在区间（a a，b b）上是增函数。）上是增函数。4 4、若、若f(x)是是R R上的增函数，且上的增函数，且 , , 则则 。错误错误错误错误错误错误正确正确18三、单调区间的求法：（1）直观法：对于我们熟悉
12、的函数，如一次函数，二次函数，反比例函数等，可直观判断它们的单调性，写出其单调区间（2）图像法：能作出图像的函数我们可通过观察法确定函数的单调区间。（3）定义法：有些函数不能作出图像，也不能观察出单调区间，只有用定义法来求其单调区间，对于抽象函数单调性判断的方法192021 例例1 1：下图是定义在闭区间下图是定义在闭区间 -5-5，55上的函数上的函数y= =（x）的图象，根据图象说出函数的的单调区间，）的图象，根据图象说出函数的的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数-5Ox y12345-1-2-3-4123-1-2解：解：yf（x
13、）的单调区间有）的单调区间有 5 5，2 2），）， 2 2，1 1），），11，3 3），），33，5.5. 其中其中yf（x）在）在 5 5，2 2），），11，3 3）上）上是减函数是减函数， 在在 2 2，1 1），），33，5 5）上是增函数）上是增函数. .依据函数图象给出单调区间2223 例例2 2：物理学中的玻意耳定律物理学中的玻意耳定律 （k为正常数）为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，减小时，压强压强p将增大试用函数的单调性证明之将增大试用函数的单调性证明之不能作函数图像用定义法求解函数单调性及单调区间24典型例题典型
14、例题 分析：分析：按题意，只要证明函数按题意，只要证明函数 在区间（在区间（0 0，+）上是减函数即可）上是减函数即可 例例2 2：物理学中的玻意耳定律物理学中的玻意耳定律 （k为正常数）为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，减小时，压强压强p将增大试用函数的单调性证明之将增大试用函数的单调性证明之25典型例题典型例题 证明：证明：根据单调性的定义，设根据单调性的定义，设V1 1, ,V2 2是定义域是定义域（0 0，+）上的任意两个实数，且）上的任意两个实数，且V1 1 00； 由由V1 1 00 又又k00，于是，于是 即即 所以，函数所以，函数 是减函数也就是是减函数也就是说，当体积说，当体积V减小时，压强减小时，压强p将增大将增大262728函数单调性的应用 2930313233本节课主要学习了以下内容：本节课主要学习了以下内容：知识小结2 2根据定义证明函数的单调性的主要步骤根据定义证明函数的单调性的主要步骤1 1函数的单调性及单调区间的概念；函数的单调性及单调区间的概念；34
