《北科大数学竞赛题解正文》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北科大数学竞赛题解正文（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 资源部 版权所有 翻录必究 数学竞赛题解 资源部 共 23 页（ 第 1 页 ） 2011 年 5 月 北京科技大学数学与应用数学 北京科技大学 2010年数学竞赛 题解 林铮远 任贤峰 统稿 白薇 贺林溪 薛美美 王婷 校审 【说明】本卷试题仅反映 2010年命题范围和难度。 卷中涉及的题目及 考点 出现或不出现在 2011年的考试 ，参考解答中的思路代表或不代表命题者原始意图， 命题 出处 的 引用 属于 或 不属于 最早 出现 试题 ，均以等可能性发生。 全卷 力求一题多解，不仅站在数学系严密的逻辑角度， 还适当 兼顾工科数学的技巧性。由于解答时间仓促，加上解题者水平有限，尽管请数学系
2、的 大牛们 仔细校对，难免有疏漏之处，请读者不吝指正。 最后的校对过程中我们也参阅了命题者胡志兴老师的讲评与解答讲义。 一、 选择题 1. 设函数 fx与 gx均可导，且 f x g x ，则必有（ ） （ A） f x g x （ B） f x g x （ C） 000000l im l imxxx x x xf t d t g t d tx x x x （ D） 00 ,xxf t dt g t dt x 【考点】考查函数的解析性质（可微性，可积性） 【答案】 C 【解析】 A 项与 B 项显然能容易地举出反例。 对于 D 选项，若取 0xx ，则 00 0xxf t d t g t d
3、t C 项是 00 不定式，利用 LHospital 法则， 有 001 000l im 1xxxxf t d t f f x x xxx ， 002 000l im 1xxxxg t d t g g x x xxx 由条件 f x g x 成立，则 C 项显然成立。 （ ,fg可导则必连续，因此极限值为在该点的函数值） 当然同样可利用积分第一中值定理， 00 0 010 1000l im l im l imxxx x x x x xf t d t f x x f f xx x x x 00 0 020 2000l im l im l imxxx x x x x xg t d t g x x
4、g g xx x x x 资源部 版权所有 翻录必究 数学竞赛题解 资源部 共 23 页（ 第 2 页 ） 2011 年 5 月 2. 设函数 fx满足：对任意 x ， 2f x f x， 10 8f ，又在 1,1 有 f x x ，则72f （ ） （ A） 12 （ B） 14 （ C） 14 （ D） 0 【考点】 函数周期性 【答案】 D 【解析】 22f x f x T 的周期函数 又 , 0 , 1 1,08, 1 , 0xxf x fxx 2211 , 0 , 18211 , 1 , 082xxfxxx 则 27 1 1 1 1 1402 2 2 8 2 2f f f 3. 下
5、列广义积分收敛的有（ ） （ A）20 1dxx（ B）01 dxx （ C） 111dxx（ D）211 dxx 【考点】考查反常积分收敛。 【答案】 D 【解析】（ C）项为定积分，排除。对（ A）选项， 0 是它的瑕点， 是其无穷点。 1112 2 2 2 20 0 1 100 11 1 1 1 1 1 1l im l im l im l im vvu vvuu ud x d x d x d x d xx x x x x x x 011li m ( 1 ) li m 1vu uv 对（ B）选项， 10 0 11 1 1d x d x d xx x x ，同理它也发散； 对（ D）选项，
6、 002 2 2 2 2001 1 1 1 1l i m l i m1 1 1 1 1vuuvd x d x d x d x d xx x x x x l i m a r c t a n 0 a r c t a n l i m a r c t a n a r c t a n 0 22uv uv （ A）、（ B）、（ D）均为最简单的反常积分，大多出自课本例题和习题，例如（ D）的积分出自 资源部 版权所有 翻录必究 数学竞赛题解 资源部 共 23 页（ 第 3 页 ） 2011 年 5 月 数学分析上册（第三版），高等教育出版社 ， P267，例题 4. 4. 在 0, 上方程 3 33s
7、in c o s16x x a a的实根个数为（ ） （ A） 0 （ B） 1 （ C） 2 （ D） 3 【考点】 函数方程的根 【答案】 A 【解析】 此题不严密。用极端排除法，取 2a ，则显然没有实根。 此题的严密解法如下： 令 3s i n c o s , 0 ,f x x x x 32s i n c o s s i n 1 c o s c o sf x x x x x x 1 1 c o s 2 1 1s i n 2 1 s i n 2 s i n 42 2 4 8xx x x 1 1 50 c o s 2 c o s 4 0 c o s 2 c o s 4 0 , , ,2 2
8、 3 6f x x x x x x 因为给定为闭区间，只需考察稳定点和端点的值就可以算出最值： 00f ， 0f ， 333 16f ， 536 16f 显然最大值为 3316 ，故与直线 3316y a a无交点 . 5. 如果级数1 nn a收敛，级数1 nn b绝对收敛，则1 nnn ab（ ） （ A）条件收敛 （ B）绝对收敛 （ C）发散 （ D）不确定 【考点】 级数收敛的条件 【答案】 B 【解析】1 nn a收敛，则必有 limnn a=0 这就是说 0 1 , 0 , . . , 1nN s t n N a ，记 12m a x , , , , 1NM a a a 即 na
9、M . 这样我们很容易能证得1 nnn ab绝对收敛 . 资源部 版权所有 翻录必究 数学竞赛题解 资源部 共 23 页（ 第 4 页 ） 2011 年 5 月 1 nn b绝对收敛，则 0 , 0 , . . , 0 ,N s t m N p 使得 12m m m pb b b 则对上述的 与 m ，有 1 1 2 2 1 2m m m m m p m p m m m pa b a b a b M b b b M . 即1 nnn ab绝对收敛 此外，若用比较判别法， 有 lim lim 0nnnnnnab ab ，且1 nn b收敛，则知道1 nnn ab收敛 ，即1 nnn ab绝对收敛
10、 6. 若 lim 2 0 1 01n nnn ，则（ ） （ A） 2 0 0 9 1,;2 0 1 0 2 0 1 0 （ B） 2 0 0 9 1,;2 0 1 0 2 0 1 0 （ C） 2 0 0 9 1,;2 0 1 0 2 0 1 0 （ D） 2 0 0 9 1,;2 0 1 0 2 0 1 0 【考点】数列极限，等价代换。 【答案】 B 【解析】这道题是选择题部分之中最精彩，也是最富有技巧性的题。该类型题最早出现在 1976 年俄罗斯数学竞赛中。以下是其基本解法： l im l im l im1 111 1 1 1n n nn n nnn nnn 利用等价代换 111nn
11、（ *） 1l im l im l im1n n nn n nnn n n ，从选项可知 为常数，这样必须要求 1n 也为常数，若不然则不可能得到收敛值 2010，又因 n ，则 0 1 1 。 若 10 ，则 1 0n ，与 lim 2 0 1 01n nnn 矛盾； 故 10 ，这时 1120102010 ，因此 20092010 。 资源部 版权所有 翻录必究 数学竞赛题解 资源部 共 23 页（ 第 5 页 ） 2011 年 5 月 值得指出的是（ *）成立的原因（非数学专业的同学可不参阅）： 这个等式出自卓里奇数学分析第一卷， P126 例题 40： 证明当 0x 时， 11x x
12、o x 援引其证明过程： 当 0 时， l n 10 0 0 01 1 l n 1 l n 111l im l im l im l iml n 1 x tx x t xx x xeex x x t x ； 当 0 时，结论显然成立； 于是当 0x 时， 11xx ； 令 1,x n ，则 111nn ，也即 111nn 补注：由于数列是离散的，必须明确上面公式的运用是在函数条件下， Henie 归结原理保证了它 在数列极限时 的正确性。 事实上，在解题时我的直觉是可以反向利用 .OStolz 定理。 在菲赫金戈尔茨 微积分学教程 ，第一卷 中有这样一个例子： 考察112k k kn k nz n ，显然它是 不定式 . 倘若令 11 2 ,k k k knn
