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1、学 海 无 涯 学案学案 19 圆周运动规律的应用圆周运动规律的应用 一 概念规律题组 1 铁路转弯处的圆弧半径为 R 内侧和外侧的高度差为 h L 为两轨间的距离 且 L h 如果列车转弯速率大于 Rgh L 则 A 外侧铁轨与轮缘间产生挤压 B 铁轨与轮缘间无挤压 C 内侧铁轨与轮缘间产生挤压 D 内 外铁轨与轮缘间均有挤压 图 1 2 一辆卡车在丘陵地区匀速行驶 地形如图 1 所示 由于轮胎太旧 途中爆胎 爆胎 可能性最大的地段应是 A a 处 B b 处 C c 处 D d 处 3 下列说法中正确的是 A 当物体受到离心力的作用时 物体将做离心运动 B 当物体所受的离心力大于向心力时产
2、生离心现象 C 做匀速圆周运动的物体 当它所受的一切力都突然消失时 它将背离圆心 沿着半 径方向 背心 而去 D 做匀速圆周运动的物体 当它所受的一切力都突然消失时 它将沿这一位置的切线 方向飞出 做匀速直线运动 图 2 4 如图 2 所示 已知 mA 2mB 3mC 它们之间距离的关系是 rA rC 1 2rB 三物体与 转盘表面的动摩擦因数相同 当转盘的转速逐渐增大时 A 物体 A 先滑动 B 物体 B 先滑动 C 物体 C 先滑动 D B 与 C 同时开始滑动 二 思想方法题组 5 一轻杆的一端固定质量为 m 的小球 以另一端为圆心在竖直平面内做圆周运动 轻 杆长为 l 以下说法中正确的
3、是 A 小球过最高点时 杆的弹力不可以等于零 B 小球过最高点时的最小速度为 gl C 小球到最高点时速度 v 0 小球一定能通过最高点做圆周运动 D 小球过最高点时 杆对球的作用力一定与小球所受重力方向相反 学 海 无 涯 图 3 6 如图 3 所示 用细绳拴着质量为 m 的物体 在竖直面内做圆周运动 圆周半径为 R 则下列说法正确的是 A 小球过最高点时 绳子张力不可以为零 B 小球过最高点时的最小速度为零 C 小球刚好过最高点时的速度是 Rg D 小球过最高点时 绳子对小球的作用力可以与球所受的重力方向相反 圆周运动规律在实际中的应用圆周运动规律在实际中的应用 1 圆锥摆类问题分析 图
4、4 圆锥摆是一种典型的匀速圆周运动模型 基本的圆锥摆模型和受力情况如图 4 所示 拉 力 或弹力 和重力的合力提供球做圆周运动的向心力 F合 Fn mgtan mv 2 R 其运动情况也相似 都在水平面内做圆周运动 圆心在水平面内 常见的圆锥摆类模型 还有 火车转弯 如图 5 所示 杂技节目 飞车走壁 如图 6 所示 飞机在水平面内 的盘旋 如图 7 所示 图 5 图 6 图 7 图 8 例 1 广东高考 有一种叫 飞椅 的游乐项目 示意图如图 8 所示 长为 L 的钢绳 学 海 无 涯 一端系着座椅 另一端固定在半径为 r 的水平转盘边缘 转盘可绕穿过其中心的竖直 轴转动 当转盘以角速度 匀
5、速转动时 钢绳与转轴在同一竖直平面内 与竖直方向 的夹角为 不计钢绳的重力 求转盘转动的角速度 与夹角 的关系 规范思维 针对训练 1 2009 广东单科 1 为了清理堵塞河道的冰凌 空军实施投弹爆破 飞机 在河道上空高 H 处以速度 v0水平匀速飞行 投掷下炸弹并击中目标 求炸弹刚脱离飞 机到击中目标所飞行的水平距离及击中目标时的速度大小 不计空气阻力 图 9 2 如图 9 所示 一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心轴 OO 转动 筒内壁粗糙 筒口半 径和筒高分别为 R 和 H 筒内壁 A 点的高度为筒高的一半 内壁上有一质量为 m 的小 物块 求 当筒不转动时 物块静止在筒壁 A 点受到的摩擦力
6、和支持力的大小 当物块在 A 点随筒做匀速转动 且其所受到的摩擦力为零时 筒转动的角速度 针对训练 2 铁路转弯处的弯道半径 r 是根据地形决定的 弯道处要求外轨比内轨高 其内 外轨高度差 h 的设计不仅与 r 有关 还取决于火车在弯道上的行驶速率 下列表 格中是铁路设计人员技术手册中弯道半径 r 及与之对应的轨道的高度差 h 弯道半径 r m 660 330 220 165 132 110 内 外轨高度差 h mm 50 100 150 200 250 300 1 根据表中数据 试导出 h 和 r 关系的表达式 并求出当 r 440 m 时 h 的设计值 2 铁路建成后 火车通过弯道时 为保
7、证绝对安全 要求内 外轨道均不向车轮施加 侧向压力 又已知我国铁路内 外轨的间距设计值为 L 1 435 mm 结合表中数据 算 出我国火车的转弯速率 v 以 km h 为单位 结果取整数 当 很小时 tan sin 3 为了提高运输能力 国家对铁路不断进行提速 这就要求火车转弯速率也需要提 高 请根据上述计算原理和上述表格分析提速时应采取怎样的有效措施 学 海 无 涯 2 竖直面内的圆周运动问题分析 图 10 1 绳 单轨 无支撑 水流星模型 绳只能给物体施加拉力 而不能有支持力 如图 10 所示 这种情况下有 F mg mv 2 R mg 所以小球通过最高点的条件是 v gR 通过最高点
8、的最小速度 vmin gR 当 v gR 时 绳对球产生拉力 轨道对球产生压力 当 v gR 时 球不能通过最高点 实际上球没有到最高点就脱离了轨道 图 11 2 外轨 单轨 有支撑 汽车过拱桥模型 只能给物体支持力 而不能有拉力 如图 11 所示 有支撑的汽车 弹力只可能向上 在这种情况下有 mg F mv 2 R mg 所以 v gR 物体经过最高点的最大速度 vmax gR 此时物体恰好离开桥面 做平抛运动 3 杆 双轨 有支撑 对物体既可以有拉力 也可以有支持力 如图 12 所示 图 12 过最高点的临界条件 v 0 在最高点 如果小球的重力恰好提供其做圆周运动的向心力 即 mg mv
9、 2 R v gR 杆或轨道内壁对小球没有力的作用 当 0 v gR时 小球受到重力和杆向下的拉力 或外轨道对球向下的压力 图 13 例 2 如图 13 所示 位于竖直平面内的光滑轨道 由一段斜的直轨道和与之相切的 圆形轨道连接而成 圆形轨道的半径为 R 一质量为 m 的小物块从斜轨道上某处由静止 学 海 无 涯 开始下滑 然后沿圆形轨道运动 要求物块能通过圆形轨道的最高点 且在该最高点 与轨道间的压力不能超过 5mg g 为重力加速度 求物块初始位置相对于圆形轨道底部 的高度 h 的取值范围 规范思维 图 14 针对训练 3 在 2008 年北京奥运会上 我国体操小将邹凯夺得单杠 自由体操
10、男子 团体三枚金牌 以一届奥运会收获三金的佳绩与 84 年的体操王子李宁比肩 如图 14 所示为邹凯做单杠动作单臂大回旋的瞬间 他用一只手抓住单杠 伸展身体 以单杠为 轴做圆周运动 假设他的质量为 60 kg 要完成动作 则他运动到最低点时手臂受的拉 力至少约为 忽略空气阻力 取 g 10 m s2 A 600 N B 2 400 N C 3 000 N D 3 600 N 图 15 针对训练 4 如图 15 所示 小物块位于半径为 R 的半圆柱形物体顶端 若给小物块 一水平速度 v0 2gR 则物块 A 立即做平抛运动 B 落地时水平位移为 2R C 落地速度大小为 2 gR D 落地时速度
11、方向与地面成 60 角 基础演练 1 2011 陕西省西安市统测 如图 16 所示 学 海 无 涯 图 16 质量为 m 的小球在竖直平面内的光滑圆环轨道上做圆周运动 圆环半径为 R 小球经 过圆环最高点时刚好不脱离圆环 则其通过最高点时 下列说法错误的是 A 小球对圆环的压力大小等于 mg B 小球受到的向心力等于重力 mg C 小球的线速度大小等于 gR D 小球的向心加速度大小等于 g 图 17 2 如图 17 所示 质量为 m 的物块 沿着半径为 R 的半球形金属壳内壁滑下 半球形 金属壳竖直固定放置 开口向上 滑到最低点时速度大小为 v 若物体与球壳之间的动 摩擦因数为 则物体在最低
12、点时 下列说法正确的是 A 受到向心力为 mg mv 2 R B 受到的摩擦力为 mv 2 R C 受到的摩擦力为 mg mv 2 R D 受到的合力方向斜向右上方 图 18 3 2011 北京西城抽样测试 如图 18 所示 长为 L 的细绳一端固定 另一端系一质量 为 m 的小球 给小球一个合适的初速度 小球便可在水平面内做匀速圆周运动 这样 就构成了一个圆锥摆 设细绳与竖直方向的夹角为 下列说法正确的是 A 小球受重力 绳的拉力和向心力作用 B 小球只受重力和绳的拉力作用 C 越大 小球运动的速度越小 D 越大 小球运动的周期越大 4 在高速公路的拐弯处 路面造得外高内低 即当车向右拐弯时
13、 司机左侧的路面比 右侧的要高一些 路面与水平面间的夹角为 设拐弯路段是半径为 R 的圆弧 要使车 速为 v 时车轮与路面之间的横向 即垂直于前进方向 摩擦力等于零 应等于 A arcsin v2 Rg B arctan v2 Rg C 1 2arcsin 2v2 Rg D arccot v2 Rg 图 19 5 质量为 m 的飞机以恒定速率 v 在空中水平盘旋 如图 19 所示 做匀速圆周运动的半 径为 R 重力加速度为 g 则此时空气对飞机的作用力大小为 A mv 2 R B mg C mg2 v 4 R2 D m g2 v 4 R2 学 海 无 涯 6 一根轻绳长 0 5 m 它最多能承
14、受 140 N 的拉力 在此绳一端系一质量为 1 kg 的小 球 另一端固定 使小球在竖直面内做圆周运动 为维持此运动 小球在最高点处的速 度大小取值范围是 A 0 v 5 m s B 5 m s v 3 5 m s C 0 v 3 5 m s D 3 5 m s v 5 5 m s 7 2010 北京东城 1 月检测 图 20 水平光滑直轨道 ab 与半径为 R 的竖直半圆形光滑轨道 bc 相切 一小球以初速度 v0沿 直轨道向右运动 如图 20 所示 小球进入半圆形轨道后刚好能通过 c 点 然后小球做 平抛运动落在直轨道上的 d 点 则下列说法错误的是 A 小球到达 c 点的速度为 gR
15、B 小球到达 b 点时对轨道的压力为 5mg C 小球在直轨道上的落点 d 与 b 点距离为 2R D 小球从 c 点落到 d 点所需时间为 2 R g 图 21 8 2011 衡水模拟 如图 21 所示 在竖直的转动轴上 a b 两点间距为 40 cm 细线 ac 长 50 cm bc 长 30 cm 在 c 点系一质量为 m 的小球 在转动轴带着小球转动的过程中 下列说法不正确的是 A 转速小时 ac 受拉力 bc 松弛 B bc 刚好拉直时 ac 中拉力为 1 25mg C bc 拉直后转速增大 ac 拉力不变 D bc 拉直后转速增大 ac 拉力增大 题号 1 2 3 4 5 6 7
16、8 答案 能力提升 9 2011 北京崇文 1 月统练 如图 22 所示 在水平匀速运动的传送带的左端 P 点 轻 放一质量为 m 1 kg 的物块 物块随传送带运动到 A 点后水平抛出 物块恰好无碰撞 地沿圆弧切线从B点进入竖直光滑圆弧轨道下滑 B D为圆弧的两端点 其连线水平 已 知圆弧半径 R 1 0 m 圆弧对应的圆心角 106 轨道最低点为 C 点 A 点距水平面 的高度 h 0 8 m g 取 10 m s2 sin 53 0 8 cos 53 0 6 求 1 物块离开 A 点时水平初速度的大小 2 物块经过 C 点时对轨道压力的大小 3 设物块与传送带间的动摩擦因数为 0 3 传送带的速度为 5 m s 求 PA 间的距离 图 22 学 海 无 涯 图 23 10 2010 重庆理综 24 小明站在水平地面上 手握不可伸长的轻绳一端 绳的另一端 系有质量为 m 的小球 甩动手腕 使球在竖直平面内做圆周运动 当球某次运动到最 低点时 绳突然断掉 球飞行水平距离 d 后落地 如图 23 所示 已知握绳的手离地面 高度为 d 手与球之间的绳长为3 4d 重力加速度为 g 忽略手
