《国外不等式教与学研究综述.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《国外不等式教与学研究综述.docx（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、国外不等式教与学研究综述* 本文得到国家理科人才培养基地“能力提高”项目经费的资助。【作者简介】杨懿荔（1991-），华东师大数学系硕士研究生，主要从事中学数学教育研究。杨懿荔（华东师范大学数学系, 上海, 200241）摘 要：近十几年来，国外数学教育研究者对于各类不等式的教与学做了大量的实证研究。关于不等式的学习，研究者主要关注学生解不等式的策略、错误、迷思概念与困难；关于不等式的教授，研究者在实证研究基础上提出了一些教学策略。这些研究大大丰富了我们的不等式教学知识，为不等式的教学和相关研究提供了参考。关键词：不等式；策略；错误；迷思概念1 引言众所周知，不等式在分析、代数、三角、线性规划
2、等众多数学领域中有着广泛的应用，在中学数学课程中，不等式占有重要地位，先后涉及一次、二次、绝对值、分式、根式不等式以及与幂函数、指数函数、对数函数和三角函数相关的不等式等。研究学生解不等式的思维方式、困难和障碍，可以为改善教学提供借鉴。近十几年来，国外学者对于不等式的教与学做了大量的实证研究，涉及的不等式有一元一次不等式、一元二次不等式、一元高次不等式、绝对值不等式、分式不等式和根式不等式等。这些研究主要从教与学两个方面展开。关于不等式的学习，研究者主要关注学生解不等式的策略、错误、迷思概念、困难或障碍；而关于不等式的教授，研究者主要关注不等式的教学方法和策略。关于不等式的教与学，研究方法主要
3、有两类。第一类是问卷调查、测试和访谈。通过问卷调查或测试找出学生解不等式的策略、错误，再通过访谈，从数学教育心理学角度探究错误的成因。第二类是课堂观察，观察学生在课堂中的表现以及教学前后学生的认知变化。那么，国外关于不等式教学研究得到了哪些结果？为了回答上述问题，本文按照不等式的类型对有关文献进行梳理、分析和总结，以期为不等式的教学和进一步的相关研究提供参考。2 学生解不等式的策略与错误2.1 一元一次不等式关于一元一次不等式，研究者关注学生从方程到不等式过渡时的困难以及解含参数不等式的策略与错误。Verikios & Farmaki(2008)就一个出租车计费问题，对5名13岁学生进行访谈，
4、研究他们在从一元一次方程过渡到一元一次不等式时的困难。研究发现，学生有三类错误：（1）两边同除以一个负数时未改变不等号方向；（2）将和等同起来；（3）认为不等式的解和方程的解一样是单个值，而未能意识到解是一个区间1。Tsamir & Bazzini (2002a)通过对402名16-17岁学生（192名来自意大利、210名来自以色列）的测试发现，学生解含参数不等式的正确率很低。如对于不等式，一些学生得出，一些学生得出，没有任何限制条件。研究表明，学生将解方程的方法迁移到了不等式；一些学生甚至认为，解方程和解不等式的方法完全相同2。Tsamir & Bazzini (2002b)发现，学生错误的
5、解题模式一般有两种：一是同时在不等号两边做运算；二为将“”的情况单独考虑，然后再在不等号两边同时做运算3。Blanco & Garrote (2007)通过研究发现，学生在解含参数的一次不等式时，会混淆未知数和参数，从而失去解题思路。有些学生能够区分参数和未知数，但未能对参数进行分类讨论4。2.2 一元二次不等式Tsamir & Reshef (2006) 通过研究20名十年级学生在课堂教学后的表现，发现学生在解二次不等式时主要采用了图像法、数轴标根法和逻辑连接符法（即将二次不等式转化为一次不等式组），其中图像法最受学生的青睐5。Sackur (2004)在研究中也发现，由于图形计算器的出现，
6、学生更倾向于利用图像比较两个函数，以此来解不等式问题6。Tsamir & Almog (2001)则发现，学生在解形如的二次不等式时，采用了求相应方程的根或判定二次项系数和判别式的正负等策略7。学生在解此类不等式时，出现的错误有：弄错抛物线的开口方向；忽视首项系数的正负性；没有掌握逻辑连接词的意义，分不清“且”和“或”，其中最后一类错误最常见。研究发现，学生在解一元二次不等式时，会涉及两个关键值，这大大增加了发生此类错误的概率7。Blanco & Garrote (2007)也有类似的发现：学生习惯将不等式转化为方程来解，以便求出关键值4。但是学生往往不知道未知数和关键值之间的大小关系；有些学
7、生虽知道大小关系，却不知道两个关系之间应该用“且”还是“或”；或者很草率地将两个答案连接起来：如对于或，有些学生会直接写作；更有学生很草率地将其中一个答案舍去。也有学生会将不等式过度一般化，如7。Tsamir & Almog (2001)在调查中发现，学生在遇到一元二次不等式和分式不等式时，特别容易出现此类错误。但在用数轴来解有关于逻辑连接词“且”和“或”的不等式时，多数学生的正确率会有明显的提高7。解一元二次不等式时往往需要因式分解。Tsamir & Almog (2001)发现，对于含有因式相乘的不等式，学生给出的答案总是不完整的。主要有4类错误：1. ；2. ；3. ；4.。这些错误均源
8、于对方程解法的过度一般化7。除此之外，Tsamir & Reshef (2006)还发现，对于解集为、或与某一特定值相关的一元二次不等式时，学生特别容易出错5。Bazzini & Tsamir (2001)也指出了这一现象8。2.3 绝对值不等式Almog & Ilany (2012)就解绝对值不等式的策略和错误，对481名以色列高中生实施了问卷调查，并对部分学生进行了访谈。研究发现，学生解绝对值不等式时主要采用了5种策略：（1）直接给出答案；（2）定义域法；（3）分类讨论法；（4）两边平方法；（5）运用法则法。其中，运用法则法指的是，以及。学生的错误主要有两类。第1类源于对绝对值本身的错误理
9、解，包括：（1）误认为绝对值内部的式子总是正的；（2）误认为绝对值总是正的；（3）一个数的绝对值等于这个数本身。第2类错误与不等式相关。包括：（1）混淆逻辑连接词“且”和“或”；（2）从方程到不等式的类比与过度一般化；（3）整数概念根深蒂固。研究发现，对于解集为空集或只与单个值有关（单元素集或实数集去掉一个元素后的子集）的不等式，学生的困难较大9。2.4 分式不等式Tsamir & Almog (2001)在一项针对分式不等式的研究中发现，一些学生错误地将不等式两边同时平方，再通过两边同乘得到一个高次不等式。还有一些学生忽略分母为0的情形，或误认为分母需要大于或等于0。错误源于对分式函数本身的
10、不理解7。Bazzini (2003) 针对分式不等式做了一项比较新颖的研究。作者给出两个任务：任务1：（a）；（b），任务2：（c）；（d）。其中，任务1中两个不等式的解集不同，任务2中两个不等式的解集相同。研究发现，部分学生忽略任务1中的限制条件，认为两个任务中两个不等式的解集都是一样的；部分学生则将两个任务过度一般化，认为两个答案都不一样10。reyen, etin & Mahir (2006)对129名土耳其某大学一年级学生进行了分式不等式测试，研究发现，学生采用的主要策略是在不等式两边同乘以分式的分母，而主要错误也出现在这一步骤中。如对于不等式，许多学生在两边同乘以时，并不考虑其符号
11、；有些学生将5移至左边通分，也未分和两种情形11。类似地， Blanco & Garrote (2007) 4、Beoro & Bazzini(2004) 12、Pedersen & Grnmo (2013) 13也做过类似的研究。如，后者在研究中发现，对于不等式，某学生的解法是：13。Lim(2006)发现，学生理解不等式的方式共有五类：程序的信号、静态的比较、约束条件、命题和函数的比较14。2.5 根式不等式Bagni(1996)研究发现，学生在解根式不等式时常常套用如下法则而不会变通：；，学生的常见错误之一是忽略定义域，即需要考虑“分母不为0”以及“二次根式中的被开方式子非负”这两个限制
12、条件。此外，一些学生还会将两个条件混淆起来，误以为分母非负，而被开方的式子不为015。Tsamir & Almog (2001)指出，凡遇根式不等式就盲目套用法则，有时毫无必要，甚至更容易出错。如，之类的不等式，根据二次根式的意义，即可直接得出答案。比较典型的错误主要有以下三类7：忘记限制条件：；忽略根式意义：，故同解；不懂字母意义：（认为必为负数）。3 学生对不等式的认知障碍与迷思概念White & Kilda(1996)其12年级线性规划教学中发现，学生对不等式有三种认知障碍16：（1）对不等式的术语（如“至多”、“至少”）缺乏理解；（2）对字母表示数缺乏理解（如5c只能表示5辆小汽车而不
13、是c的5倍）；（3）将约束条件转化为数学语言有困难。Sokolowski(2000)对6名大学生进行了关于线性不等式的调查研究，发现学生对变量的理解不清晰，也会导致其在解不等式时的障碍17。有些学生表面上把变量当作未知数，但实际上却将其当作某一客观存在的事物来解题。缺少了客观载体，就无从下手。有些学生虽知道将变量看成未知数，却不会用变量来表示未知数。Tsamir & Bazzini(2003)发现，一些学生认为，方程的解只能是方程，故不等式的解只能是不等式18 19。一些学生又认为，不等式的解集是，但却不可能是某个不等式的解集。Verikios & Farmaki(2006)发现，部分学生认为
14、，解不等式时，不等号一定要改变方向1。对于，学生直接在不等式两边同除以时信心不足，认为解不等式后一定要变号，因此，部分学生直接把“”改成“”；另一部分学生则将改写成，然后解出。4 不等式的教学策略4.1 针对学生错误的教学策略针对学生解不等式的策略、错误或困难，很多作者都提出各自的教学建议。Farmaki & Verikio (2008)指出，从方程到不等式的过度一般化是学生常见的错误，方程的解是一个或若干个特殊值，而不等式的解可能是一个区间，大部分学生可能一下子接受不了这种跳跃。教师必须加强学生对基本概念的理解：变量、函数、等式和不等式。将这些概念联系起来，将函数表达作为一种解决一次方程和不
15、等式问题的策略20。Bazzini & Tsamir (2003)提出：教师在不等式课堂上可以让学生讨论一些常见的错误或迷思概念，让他们真正理解不等式的意义，拓宽他们的思维21。Kieran (2004)认为，教师应鼓励学生尝试多种方法进行独立解题，不要仅仅局限在某一种方法上22。Almog & Ilany (2012)针对绝对值不等式提出如下教学建议：（1）教授解不等式的各种方法；（2）运用不等式函数方法；（3）创设讨论机会，展现错误情形（如）；（4）强调方程与不等式之间的异同；（5）加强对逻辑连接词（且/或）的理解；（6）创造更多机会解决解集为R、空集、单元素集、除单个元素之外的所有实数的集合；（7）引导学生讨论方程在,和时的解，并讨论相应不等式的解集9。4.2 基于技术的教学策略Farmaki & Verikios (2008)认为，图像为学生提供了直观的模型，可以加深他们的理解。对于一次不等式，由于学生十分熟悉一次函数的图像，因此，可以引导他们从一次函数图像入手来解一次不等式 20。Tsamir & Almog (2001)也给出了类似的建议7。但图像法往往是借助图形计算器完成的。Rivera & Becker (2004)认为，一味利用图形计算器对学生并没有好处。正确的教学方法应为：从最开始利用图形计算器解题，到后面延伸出解不等式的更常规的方法，从非常规的活动中提炼
