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1、第七单元 平面向量 复数知识体系第1节平面向量的概念及线性运算基础梳理1向量的有关概念(1)向量：既有 又有 的量叫做向量，向量的大小叫做向量的 (或称 )(2)零向量： 的向量叫做零向量，其方向是任意的(3)单位向量：长度等于 个单位的向量(4)平行向量：方向 或 的非零向量叫做平行向量，平行向量又叫做 向量，任一组平行向量都可以移动到同一直线上规定：0与任一向量 (5)相等向量：长度 且方向 的向量(6)相反向量：与a长度 ，方向 的向量，叫做a的相反向量2向量的加法运算及其几何意义(1)三角形法则：已知非零向量a、b，在平面内任取一点A，作a，b，则向量叫做a与b的 ，记作ab，即ab
2、，这种求向量和的方法，称为向量加法的 (2)平行四边形法则：以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作OACB，则以O为起点的对角线就是a与b的和，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则(3)向量加法的几何意义：从法则可以看出，如图所示3向量的减法运算及其几何意义(1)定义：aba(b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的 (2)如图，a，b，则ab.4向量数乘运算及其几何意义(1)定义：实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度与方向规定如下：|a|a|；当0时，a的方向与a的方向 ；当0时，a的方向与a的方向 ；当0时，a0.(2)运算律设，是两个实数，则(a)() a；(
3、) aaa；(ab)ab.(3)两个向量共线定理：向量a(a0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数，使ba.典例分析向量的有关概念【例1】 给出下列各命题：零向量没有方向；若|a|b|，则ab；单位向量都相等；向量就是有向线段；若ab，bc，则ac；若四边形ABCD是平行四边形，则，.其中真命题是_向量共线与三点共线问题【例3】 设两个非零向量a与b不共线，(1)若ab，2a8b，3(ab)，求证：A、B、D三点共线；(2)试确定实数k，使kab和akb共线变式探究31：已知向量a、b不共线，ckab(kR)，dab，如果cd，那么()(A)k1且c与d同向 (B)k1且c与d反向(C)k1
4、且c与d同向 (D)k1且c与d反向易错警示错源一：零向量“惹的祸”【例1】 下列命题正确的是()(A)向量a、b共线的充要条件是有且仅有一个实数，使ba；(B)在ABC中，ABBCCA0；(C)不等式|a|b|ab|a|b|中两个等号不可能同时成立；(D)向量a、b不共线，则向量ab与向量ab必不共线错源二：向量有关概念理解不当【例2】 如图，由一个正方体的12条棱构成的向量组成了一个集合M，则集合M的元素个数为_第2节平面向量基本定理及其坐标表示基础梳理1向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a和b，如图，作a，b，则AOB叫做向量a与b的夹角，也可记作a，b.(2)范围：向量夹角的范围是
5、0，a与b同向时，夹角0；a与b反向时，夹角.(3)垂直关系：如果向量a与b的夹角是90，我们说a与b垂直，记作ab.质疑探究1：在ABC中，设a，b，则a与b的夹角是ABC吗？2平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组 质疑探究2：平面内任一向量用两已知不共线向量e1、e2表示时，结果唯一吗？平面内任何两个向量a、b都能作一组基底吗？3平面向量的正交分解与坐标表示(1)平面向量的正交分解把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量正交分解(2)
6、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i、j作为基底对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得axiyj，则有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a(x，y)，其中x，y分别叫做a在x轴、y轴上的坐标，a(x，y)叫做向量a的坐标表示相等的向量其坐标相同，坐标相同的向量是相等向量4平面向量的坐标运算(1)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)(2)已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，ab(b0)的充要条件是x1
7、y2x2y10.(3)非零向量a(x，y)的单位向量为典例分析平面向量基本定理及其应用【例1】 如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知c，d，试用c，d表示，.共线向量的坐标运算【例3】 (2010年高考陕西卷)已知向量a(2，1)，b(1，m)，c(1,2)，若(ab)c，则m_.变式探究31：(2010年福州市质检)已知向量a(1,2)，b(2，m)，若ab，则2a3b等于()(A)(5，10) (B)(4，8)(C)(3，6) (D)(2，4)易错警示第3节平面向量的数量积基础梳理1数量积的定义已知两个非零向量a与b，其夹角为.我们把数量|a|b|cos 叫做a
8、与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cos .规定：零向量与任一向量的数量积为0.2数量积的几何意义(1)向量的投影：|a|cos 叫做向量a在b方向上的投影，当为锐角时，它是正数，当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0.(2)ab的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积3数量积的运算律已知向量a、b、c和实数，则：(1)交换律：abba；(2)结合律：(a)b(ab)a(b)；(3)分配律：(ab)cacbc.质疑探究：若非零向量a，b，c满足acbc，则ab吗？(ab)ca(bc)恒成立吗？提示：不一定有ab，因为acbcc(ab)
9、0，即c与ab垂直，但不一定有ab.因此数量积不满足消去律因为(ab)c与向量c共线，(bc)a与向量a共线当c与a不共线时(ab)ca(bc)即向量的数量积不满足结合律4向量数量积的性质设a、b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，是a与e的夹角，则(1)eaae|a|cos .(2)abab0.(3)当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|；典例分析向量数量积的运算及模的问题【例1】(1)(2010年高考天津卷)如图，在ABC中，ADAB，|1，则_.(2)(2010年高考广东卷)若向量a(1,1)，b(2,5)，c(3，x)，满足条件(8ab)c30，则x()(
10、A)6 (B)5 (C)4 (D)3易错警示错源：忽视角的范围而“惹祸”【例题】设两个向量e1，e2，满足|e1|2，|e2|1，e1与e2的夹角为，若向量2te17e2与e1te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围第4节平面向量的应用基础梳理1向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算和数量积解决平行、垂直、长度、夹角等问题设a(x1，y1)，b(x2，y2)，证明线线平行或点共线问题，主要利用共线向量定理，即abab(b0)x1y2x2y10.证明垂直问题，主要利用向量数量积，即abab0x1x2y1y20.求线段的长，主要利用向量的模，即2平面向量在物理中的应用
11、(1)由于物理中的力、速度、位移都是向量，它们的分解与合成是向量的加法与减法的具体应用，可用向量来解决(2)物理中的功W是一个标量，它是力f与位移s的数量积，即Wfs|f|s|cos .3平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质典例分析向量在平面几何中
12、的应用【例1】 如图所示，若点D是三角形ABC内一点，并且满足AB2CD2AC2BD2，求证：ADBC.变式探究41：(2010年大连市六校联考)设F为抛物线y22px(p0)的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若0，|3，则该抛物线的方程是()(A)y22x (B)y24x(C)y26x (D)y28x易错警示错源：“共线”运用出错【例题】 如图，半圆的直径AB2，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则()的最小值是_第5节复数的概念及运算基础梳理1复数的有关概念(1)复数的概念：形如abi(a，bR)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部若b0，则abi为实数，若b0，则abi为虚数，若a0，b0，则abi为纯虚数(2)复数相等：abicdiac且bd(a，b，c，dR)(3)共轭复数：abi与cdi共轭ac且bd(a，b，c，dR)(4)复平面：
