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1、第2章 一元二次方程2.1一元二次方程 素材一 新课导入设计情景导入置疑导入归纳导入复习导入类比导入悬念激趣情景导入如图211，学校活动教室矩形地面的长为8 m，宽为5 m，现准备在地面的正中间铺设一块面积为18 m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，根据这一情境，结合已知量，你能求四周未铺地毯的条形区域的宽度吗？图211说明与建议 说明：用来源于学生身边的问题吸引他们的注意力，激发他们的好奇心，体会数学来源于生活并服务于生活，诱发学生对新知识的渴求建议：结合情景，鼓励学生小组合作，寻找身边的方程实例，学会找等量关系，为本节课的学习做好铺垫归纳导入如图212，有一块矩形铁皮，长100
2、 cm，宽50 cm.在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖长方体铁盒如果要制作的无盖铁盒的底面积是3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？图212说明与建议 说明：通过图形的变化让学生感知等量关系的确定，整理所得到的方程，通过观察其特征归纳出一元二次方程的定义建议：先用多媒体动画演示无盖长方体铁盒的制作过程，感知长方体铁盒的底面积即是中间小长方形的面积，引导学生发现小长方形的长、宽的表示方法在得到一元二次方程的定义时，抓住三个关键点分析：一是含有一个未知数，二是整式方程，三是未知数的最高次数是2.悬念激趣九章算术“勾股”章有一题：“今有二人同
3、所立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲、乙行各几何”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3.乙一直向东走，甲先向南走了10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇那么相遇时，甲、乙各走了多远？你能找出题中所涉及的一元二次方程吗？说明与建议 说明：通过中国古代提出的问题来调动学生求知的欲望，引导他们分析问题找到等量关系，进而列出一元二次方程在思考中增强自己的感性认识与经验，进而上升到理性观察、思考与推理论证建议：留给学生自主思考的时间，然后引导学生进行分析，为进一步学习积累数学活动经验 素材二 教材母题挖掘教材母题第29页习题2.1T3已
4、知一个数x与比它大2的数的积等于35，请根据题意，列出关于x的方程，这个方程是一元二次方程吗？【模型建立】分析：根据两数的积等于35列方程一个数为x，另一个比它大2的数为(x2)，所以列方程为：x(x2)35，即x22x350.根据一元二次方程的定义可知它的一般形式是ax2bxc0(a，b，c是常数，a0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项【变式变形】1下列方程中，哪些是一元二次方程？x32x250；x21；5x22xx22x；2(x1)23(x1)；x22xx21；ax2bxc0.答案：2.试判断：关于x的方程(2a4)x22bxa0.(1)何时为
5、一元一次方程？(2)何时为一元二次方程？答案：(1)a2，b0(2)a23写出下列方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数及常数项4x24x10；5x22xx22x.答案：列表如下：题号二次项二次项系数一次项一次项系数常数项4x244x414x240014.将方程(x1)2(x2)(x2)1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项答案：2x22x40，二次项为2x2，二次项系数为2；一次项为2x，一次项系数为2；常数项为4. 素材三 考情考向分析命题角度1 利用一元二次方程的概念判断利用一元二次方程的概念判断方程为一元二次方程，应紧扣以下三个特
6、征：只含有一个未知量；未知量的最高次数是2；是整式方程特别要注意在判断一元二次方程时要先把方程整理成一般形式，再进行判断例常宁期中 下列方程中，一元二次方程有(A)(1)3x21；(2)3；(3)3x22y10；(4)ax22x10(a是实数)；(5)2x(3x2)(x1)(6x3)A1个B2个C3个D4个命题角度2 利用一元二次方程的概念求字母系数的值或范围利用一元二次方程的二次项系数不为零或未知数的最高次数为2，求字母系数的值例枣庄模拟 求证：关于x的方程(m28m17)x22mx10，不论m取何值，该方程都是一元二次方程证明：因为二次项系数m28m17(m4)21，不论m取何值，二次项系
7、数都不等于0，所以该方程一定是一元二次方程命题角度3 一元二次方程的一般形式命题方向常要求把非一般形式的一元二次方程化成一般形式；或要求指出一元二次方程的二次项或二次项系数，一次项或一次项系数，常数项；或求与系数有关的代数式的值特别注意在确定a，b，c的值时要包含它前面的符号例滕州模拟 一元二次方程a(x1)2b(x1)c0化为一般形式后为3x22x10，试求a2b2c2的算术平方根解：a(x1)2b(x1)c0化成一般形式为：ax2(2ab)xabc0，故a3，2ab2，abc1，所以a3，b4，c0，故a2b2c225，故其算术平方根为5.命题角度4 建立一元二次方程模型读懂题目，审清题意
8、，明确已知和未知以及它们之间的关系，找出题目中的等量关系，再根据这个相等关系列出方程(只列方程)例襄阳中考 用一条长40 cm的绳子围成一个面积为64 cm2的长方形设长方形的一边长为x cm，则可列方程为(B)Ax(20x)64 Bx(20x)64Cx(40x)64 Dx(40x)64 素材四 教材习题答案P28练习1请用线把左边的方程与右边所对应的方程类型连接起来：2x25xx23 一元一次方程(x1)21x24 一元二次方程3x52x1 分式方程解：第一个是一元二次方程，第二、三两个是一元一次方程，第四个是分式方程2下列方程是否为一元二次方程？若是，指出其中的二次项系数、一次项系数和常数
9、项(1)4x249；(2)5x223x；(3)0.01t22t；(4)(9y1)(2y3)18y21.解：(1)是4、0、49；(2)是5、3、2; (3)是0.01、2、0；(4)不是P28习题2.11下列方程是否为一元二次方程？若是，指出其中的二次项系数、一次项系数和常数项(1)x25x6；(2)3x4x2；(3)(102x)(62x)32；(3)(3x2)23x(3x5)解：(1)是1、5、6；(2)是1、3、4；(3)是1、8、7；(4)不是2选择题：(1)某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的55元降到了35元设平均每次降价率都为x，则平均降价率x应满足的方程为()A55(1x)2
10、35B35(1x)255C55(1x)235D35(1x)255(2)某超市1月份的营业额为36万元，3月份的营业额为49万元设第月营业额的平均增长率都为x，则平均增长率x应满足的方程为()A49(1x)236B36(1x)249C36(1x)249D49(1x)236解：(1)C(2)C3已知一个数x与比它大2的数的积等于35.请根据题意，列出关于x的方程，这个方程是一元二次方程吗？答案 x(x2)35是4如图，将一根长为64 cm的铁丝剪成两段，每段均折成一个正方形若两个正方形的面积和为160 cm2，且其中一个正方形的边长为x cm.请根据题意，列出关于x的方程解：x2(16x)2160
11、.5下列方程中，哪些是一元二次方程？(1)3(1x)23x7；(2)3(1x)2x(3x7)；(3)px2x4x(px1)解：第一个是，其他都不是6如图，在一块边长为x cm的正方形铁皮的四角各截去一边长5 cm的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，它的容积是2 000 cm3.请根据题意，列出关于x的方程解：5(x10)220007长5 m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙的距离是3 m已知梯子底端向右滑动的距离与梯子顶端向下滑动的距离相等，设梯子顶端向下滑动的距离为x m请根据题意，列出关于x的方程解：由题意得，未滑动前梯子的顶端离墙的距离为4 m，则(4x)2(3x)252. 素材五 图书
12、增值练习专题 一元二次方程定义的应用1若x3a3x100和x3b46x80都是一元二次方程，求(ab)的值2若设a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项且2|b3|0.请写出关于x的一元二次方程3若(m2)x|m|9x70是一元二次方程，且m满足不等式4mn0，求n的取值范围参考答案：1分析：由一元二次方程的定义，知每个方程x的最高次数均为2次解：依题意解得ab3.2分析：已知条件中的等式是典型的多个非负数之和为0的情形，可利用非负数的性质作为问题的切入点解：由已知得20.|b3|0，0，a4，b3.代入0 得c7. 要求的方程为4x23x70.3分析：由一元二次方程的定义可求出m的值，进而
13、将m的值代入不等式4mn0中解关于n的不等式解：由已知得解得m2.原不等式变为4(2)n0，8n0，n8. 素材六 数学素养提升巴拿赫的年龄巴拿赫（S.Banach ），1892年3月30日生于波兰的克拉科夫，1945年8月31日卒于苏联乌克兰加盟共和国的利沃夫，为了表示对这位杰出数学家的悼念，1960年在波兰召开的泛函分析国际会议上，举行了纪念巴拿赫的仪式，特别编写了一道关于他的生平的智力试题：巴拿赫病故于1945年8月31日。他的出生年份恰好是他在世时某年年龄的平方，问：他是哪年出生的？我们可以设他在世时某年年龄为x，则x21945，且x为自然数。其出生年份x2-x=x（x-1），他在世年龄1945-x（x-1），由于44.1，则x应为44或略小于44的数；当x=44时，x（x-1）=4443=1892，算得其在世年龄为1945-1892=53；当x=43时，x（x-1）=4342=1806，算得其在世年龄为1945-1806=139；若x再取小，其在世年龄越大，显然不妥.故x=44，即他出生于1892年，终年53岁.上面问题的解决的方法就是我们常用的两边“夹逼”的方法估算一元二次方程的近似根，希望同学们在生活中能够灵活应用这种方法.
