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1、运动三角形练习题的拓展 例：如图（单位：M）等腰直角三角形ABC以2M/s的速度沿着直线向正方形移动，直到AB与CD重合设时，三角形与正方形重叠部分的面积为 A D 写出与的关系表达式； 当=2，3.5时，分别是多少？ 10 当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多少时间？ B 10 C 这是一道可运动的三角形向固定的正方形移动的题型即是动与静结合的运动图形的题型此题适合于训练学生以运动的观点来考察问题的思维变化的题型，也适用于训练学生开拓创新和考查学生的演变能力的题型，所以此题往往会被利用演变为中考压轴题下面对这道练习题进行几种情形的演变和拓展一、运动的三角形与固定的三角形不完全
2、重叠的情形这种情形的特点是：重叠部分的面积从开始到结束的变化中，呈现出两个不同的抛物线形状的变化，属于分段函数这里有隐藏的最大值，并且除最大面积外，任何一个面积的产生都可以找到两个不同的时间而得到例1如图，RTABC与RTDEF同在一条直线L上，其中C=90，F=90，RTABC与RTDEF是两个全等的三角形又知RTABC的三边长正好是一组勾股数，且其周长为12厘米，ACBC当B点与E点重合时，RTABC以1厘米/秒的速度沿着箭头方向，向着固定不动的RTDEF运动设运动x秒后两三角形重叠部分的面积用y表示 求x与y之间的函数关系式 问几秒钟时两三角形重叠部分的面积是3平方厘米？ 两三角形重叠部
3、分的面积是否能达到平方厘米？为什么？ 几秒钟时两三角形重叠部分的面积最大？解：在RTABC中周长为12厘米的一组勾股数 A D正好是3、4、5根据C=90，ACBC可知AC=3，BC=4，AB=5P如图，当04时，设两三角形重叠时AB与DE相交的交点为Pl这时过P点作PQL于Q则EPB是等腰三角形 C E Q B F PQAC，BE=，QB=，AC=3，BC=4 即 y =如图，当48时，设两三角形重叠时AB交DE于M，AB交DF于T这时过M点作MNl于N则EMB是等腰三角形，BN=，BF=- 4 A DTFACMN，AC=3，BC=4 MT 即 即 E C N F B l y =当04时，x
4、与y之间的函数关系式是 y = 当48时，x与y之间的函数关系式是 y =当y =3时有： =3 ， 得=4或=-4（不合题意，舍去）又当y =3时有：=3，得= 或 =44秒或秒时，两三角形重叠部分的面积是3平方厘米由x与y之间的函数关系式是 y =和y =可知y的最大值是4所以两三角形重叠部分的面积不能达到平方厘米又由x与y之间的函数关系式是 y =和y =可知，秒时两三角形重叠部分的面积最大，这个最大面积是4二、运动的三角形能被固定的正方形恰好覆盖的情形这种情形的特点是：重叠部分的面积从开始到结束的变化中，也呈现出两个不同的抛物线形状的变化，也属于分段函数但这里的最大值不隐蔽同样地除最大
5、面积外，任何一个面积的产生都可以找到两个不同的时间而得到例2如图， ABC是Rt，C=90，它的三边长由一组勾股数组成，周长为12，且BCAC正方形DEFG的边长等于AB长，ABC向着固定的正方形DEFG运动，且BC边与EF边同在一直线上当B点与E点重合时，ABC以1厘米/秒的速度沿直线l按箭头方向开始匀速运动，x秒后固定不动的正方形DEFG与ABC重叠的部分的面积为y D GM求正方形DEFG的边长求y与x之间的函数关系式 A几秒钟后重叠部分的面积为平方厘米 解：周长为12的一组勾股数为3、4、5，所以在RtABC中MC=90，BCACC E B F l AC=3， BC=4， AB=5 正
6、方形DEFG的边长等于AB长 正方形DEFG的边长等于5当0x4时，设AB交DE于M，那么BE=x，AC=3，BC=4，y=RtMEB的面积MEAC， 即 ME=y=当4x8时，设AB交GF于N，那么BF=x-4，AC=3，BC=4，y=四边形ACFN的面积NFAC， 即 NF=当y=，且y=时，得 （不和题意，舍去）又当y=，且y=时，得= （不和题意，舍去）当秒或秒后重叠部分的面积为平方厘米三、运动的三角形与固定的三角形恰好完全重叠的情形 这种情形的特点是：重叠部分的面积从开始到结束的变化中，也呈现出两个不同的抛物线形状的变化，也属于分段函数但这里的最大值也不隐蔽同样地除最大面积外，任何一
7、个面积的产生都可以找到两个不同的时间而得到例3如图，已知在RtABC中，C=90，BC=厘米，AC=B厘米（），且、B是方程的两根又知AB=5厘米 求和B的值 若DEF与ABC能完全重合，其中BC边与EF边都在同一条直线上，当E与B重合时，DEF以1厘米/秒的速度匀速向左运动设移动X秒后，DEF与ABC的重叠部分的面积为y平方厘米求y与之间的函数关系式，又问几秒钟后两个三角形重叠部分的面积为平方厘米解：、B是方程的两根 +B= M-1， B=M+4 又 在RtABC中 且 BC=，AC=B ，AB=5 A D C B E F（不合题意舍去） +B= M-1=7， B=M+4=12A D方程可化
8、为 M解方程得 C E B F、B是方程的两根，且 =4， B=3 如图，当0x4时，设DEF与ABC重叠时，AB与DE交于M点 则有， BE=X ， AC= B=3 ， BC=4 ， y=MEB的面积 ACME ， 即 y=所以，当0x4时，y与之间的函数关系式是y= 当4x8时，设DEF与ABC重叠时，AC与DF交于N点则有， BF=x-4， DE= B=3 ， EF=4 ，CF=8 x， y=NCF的面积 D A NCDEN ， 即 y=E C F B所以，当4x8时，y与之间的函数关系式是y=在0x4中，当y=时有， 所以 =， =-（不合题意，舍去）在4x8中，当y=时有， 所以 =
9、， =（不合题意，舍去）答：y与之间的函数关系式是y或y=，当秒或秒时两个三角形重叠部分的面积为平方厘米四、运动的三角形不能被固定的正方形完全覆盖的情形这种情形更为复杂：重叠部分的面积从开始到结束的变化中，呈现出五个不同的抛物线形状的变化，属于分段函数这里也有隐藏的最大值，并且除最大面积外，任何一个面积的产生都可以找到两个不同的时间而得到例4如图，有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰三角形PQR，PQ=PR=5cm，QR=8cm，点B、C、Q、R在同一直线l上，当B、R两点重合时，等腰三角形PQR以1cm/s的速度沿直线l按箭头方向开始匀速运动，t秒后正方形ABCD与等腰三角形PQR重合部分的面积为S解答下列问题： 当t=3秒时，求S的值当t=5秒时，求S的值 求S与t的函数关系式，并求S的最大值 A D解：当t=3秒时，则BR=3，如图，设AB交PR于E， 过P作PFl于F，则FR=4，PF=3P E由EBPF得 即 所以 S= L Q F B R C当t=5秒时，在正方形外的三角形面积正好等于第一小问在正方形内的三角形的面积，由于三角形PQR的面积为12，所以S=12 =五个分段函数当0秒t4秒时， ， （0S6)当4秒t5秒时， ， （6S)当5秒t8秒时 ，S=12 =所以，当t=时，S有最大值为 （S)当8秒t9秒时， ， （6S)当9秒t13秒时， ， （0S6)5
