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1、反比例函数一、教学内容：反比例函数 教学目标： 1. 理解反比例函数、图像及其主要性质，能根据所给信息确定反比例函数表达式，画出反比例函数的图像，并利用它们解决简单的实际问题。 2. 初步了解数学在实际生活中的应用，增强应用意识，体会数学的重要性。二、重点、难点：重点：1.能根据所给信息确定反比例函数表达式，画出反比例函数的图像，并利用它们解决简单的实际问题。2、反比例函数的图像特点及性质的探究3、通过观察图像，归纳总结反比例函数图像难点：1、理解反比例函数的概念2、画反比例函数的图像，并从图像中获取信息3、从反比例函数的图像中归纳总结反比例函数的主要性质4.反比例函数的应用。三、知识要点1、
2、经历抽象反比例函数概念的过程，并能类推归纳出反比例函数的表达式2、一般地，如果两个变量x，y之间的关系可以表示成y=（k为常数，k不等于0）的形式，那么称y是x的反比例函数.从y=中可知，x作为分母，所以不能为零3、画反比例函数图像时要注意以下几点a 列表时自变量的取值应取绝对值相等而符号相反的一对数值，这样既可以简化计算，又便于标点b 列表、描点时，要尽量多取一些数值，多描一些点，这样方便连线c 在连线时要用“光滑的曲线”，不能用折线4、反比例函数的性质反比例函数k的取值范围图像性质的取值范围是，的取值范围是函数图像的两个分支分别在第一、三象限，在每一个象限内随的增大而减小的取值范围是，的取
3、值范围是函数图像的两个分支分别在第二、四象限，在每一个象限内随的增大而增大注意：1）反比例函数是轴对称图形和中心对称图形；2）双曲线的两个分支都与轴、轴无限接近，但永远不能与坐标轴相交；3）在利用图像性质比较函数值的大小时，前提应是“在同一象限”内。5、反比例函数系数的几何意义如图，过双曲线上任意一点P作轴，轴的垂线PM，PN，所得矩形的面积为 ，即过双曲线上任一点作轴，轴的垂线，所得矩形的面积为注意：若已知矩形的面积为，应根据双曲线的位置确定k值的符号。在一个反比例函数图像上任取两点P，Q，分别过P，Q作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2，则有S1S2。四、典例解析考点一
4、：反比例函数的定义例1、用电器的输出功率P与通过的电流I，用电器的电阻R之间的关系是，下面说法正确的是（ ）A. P为定值，I与R成反比例B. P为定值，与R成反比例C. P为定值，I与R成正比例D. P为定值，与R成正比例本题的答案是：B例2、为何值时， 是反比例函数？解： 常见的错误：1）不会把反比例函数的一般形式写成形式；2）忽略了这个条件。考点二：反比例函数的图像例3、若三点都在函数的图像上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）A. B. C. D. 答案为A例4、观察下面函数和的图像，请大家对比着探索它们的异同点.相同点：a、图像都是由两条曲线组成b、它们都不与坐标轴相交c、它们都不
5、过原点不同点：它们所在的象限不同，的两条曲线在第一和第三象限，的两条曲线在第二和第四象限，大家再仔细观察一下每个函数图像是否为对称图形，轴对称图形，中心对称图形？由此看来，反比例函数的图像是两条双曲线，它们要么在第一、三象限，要么在第二、四象限，究竟什么时候在第一、三象限，什么时候在第二、四象限，大家能确定吗？可以，当k大于0时，图像的两条曲线在第一、三象限内，当k小于0时，两条曲线分别位于第二、四象限。考点三：反比例函数的性质例5、已知反比例函数，分别根据以下条件求出的取值范围。（1）函数图像位于第一、三象限内；（2）在每一个象限内，随的增大而增大。解：（1）双曲线在第一、三象限内， （2）
6、在每一个象限内随的增大而增大 例6、如图，反比例函数图像上任取两点P、Q，过点P分别作x轴，y轴的平行线与坐标轴围成的矩形面积为，过点Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为。（1）与有什么关系？为什么？（2）将反比例函数的图像绕原点旋转180度后，能与原来的图像重合吗？解：（1）P、Q两点在同一条曲线上：设P（），过P点分别作x轴、y轴的平行线，与两坐标轴围成的矩形面积为，则 因为（）在反比例函数的图像上，所以即所以同理可知 所以=P、Q分别在不同的曲线上：解法同1同理可知=因此只要是在同一个反比例函数图像上任取两点P、Q，不管P、Q是在同一条曲线上，还是在不同的曲线上，过P、Q
7、分别作x轴，y轴的平行线与坐标轴围成的矩形面积、都有=（2）若将反比例函数的图像绕原点旋转180度后，能与原来的图像重合. 因为反比例函数既是轴对称图形又是中心对称图形。考点五：反比例函数的实际应用例7、小明将一篇24000字的社会调查报告录入电脑，打印成文.（1）如果小明以每分钟120字的速度录入，他需要多长时间才能完成录入任务？（2）录入文字的速度v（字/min）与完成录入的时间t（min）有怎样的函数关系（3）小明希望能在3h内完成录入任务，那么他每分钟至少应录入多少个字？分析：题中的等量关系为：总字数=录入文字的速度录入时间解：（1）24000120=200（分钟） 所以他需要用200
8、分钟才能完成录入工作。（2）函数关系式是： （3）3h=180min由于录入的字要为整数，所以他每分钟至少要录入134个字。例8、蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I（A）与电阻R（）之间的函数关系如图所示。（1）蓄电池的电压是多少？你能写出这一函数的表达式吗？（2）完成下表，并回答问题：如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内？3456789104解：（1）设函数表达式为， 在图像上， 蓄电池的电压是36伏。（2）3456789101297. 264. 543. 6电流不超过10A，即I最大为10A，代入关系式中得R=3.6，为最小电阻，
9、所用电器的可变电阻应控制在这个范围内.例9、反比例函数的图像上有一点P（m，n）其坐标是关于t的一元二次方程的两根，且P到原点的距离为，求该反比例函数的解析式. 分析：要求反比例函数的解析式，就是要求出k，为此我们需要列出一个关于k的方程. 解： m，n是关于t的方程的两根 m+n=3，mn=k，又 PO= 92k=13. k=2 当 k=2时，=9+80， k=2符合条件， 反比例函数的解析式为： 考点六：反比例函数与一次函数的应用例10、如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于A、B两点。（1）根据图像，写出B点的坐标；（2）求出两函数的解析式；（3）根据图像回答：当为何值时，一次函数
10、的函数值大于反比例函数的值。解：（1）由图像可得B（4，3）（2）把反比例函数上的点代入函数的关系式得反比例函数的关系式为由图可知一次函数与坐标轴的交点为（0，1）和（2，0）把这两点代入一次函数关系式+b得：解得：一次函数的关系式为：（3）由图像可知，当时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值。例11、如图，平行于直线的直线不经过第四象限，且与函数的图像交于点A，过点A作AB轴于点B，AC轴于点C，四边形ABOC的周长是8，求直线的解析式。解：点A在函数的图像上，设A点的横坐标为，由点A的纵坐标为，即A点的坐标为AB轴于点B，AC轴于点C，BOC=90四边形ABOC是矩形，四边形ABOC的周长是8， 即解得当A点坐标为（1，3）或（3，1）（由题意可知）A点坐标为（1，3）设直线的解析式为 把A点代入得3=1+bb=2 直线的解析式为8
