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1、目 录1 引言22 文献综述22.1 国内研究现状22.2 国内研究现状评价32.3 提出问题33 预备知识33.1 N阶行列式的定义33.2 行列式的性质43.3 行列式的行(列)展开和拉普拉斯定理53.3.1 行列式按一行(列)展开53.3.2 拉普拉斯定理64 几类特殊N阶行列式的计算64.1 三角形行列式的计算64.2 两条线型行列式的计算84.3 箭形行列式的计算94.4 三对角行列式的计算104.5 Hessenberg型行列式的计算114.6 行（列）和相等的行列式的计算124.7 相邻行（列）元素差1的行列式的计算144.8 范德蒙型行列式的计算155 结论175.1 主要发现
2、175.2 启示175.3 局限性175.4 努力方向17参考文献181 引言行列式是代数学中的一个重要内容,在数学理论上有十分重要的地位.早在17世纪和18世纪初,行列式就在解线性方程组中出现.1772年法国数学家范德蒙(1735-1796)首先把行列式作为专门理论独立于线性方程之外研究.到了19世纪,是行列式理论形成和发展的重要时期,19世纪中叶出现了行列式的大量定理.因此,到19世纪末行列式基本面貌已经勾画清楚.行列式的计算是高等代数的重要内容之一,也是理工科线性代数的重要内容之一,同时也是学习中的一个难点.在数学和现实中有着广泛的应用,懂得如何计算行列式尤为重要.对于阶数较低的行列式,
3、一般可直接利用行列式的定义和性质计算出结果.对于一般的N阶行列式,特别是当N较大时，直接用定义计算行列式往往是困难和繁琐的，因此研究行列式的计算方法则显得十分必要.通常需灵活运用一些计算技巧和方法，使计算大大简化，从而得出结果.本文归纳了几类特殊N阶行列式的计算方法,从这几类特殊的N阶行列式的计算中,可以总结出归纳出一些行列式的计算方法,只要将这些方法与传统方法结合起来，就可以基本上解决n阶行列式的计算问题.本文先阐述行列式的定义及其基本性质,然后介绍了几类特殊行列式的计算方法,并结合了相关例题讨论了行列式的求解方法.2 文献综述2.1 国内研究现状 现查阅到的文献资料中,大部分只是简单的介绍
4、了行列式的定义、行列式的性质、行列式按行（列）展开、克拉默法则等.其中1、3介绍了行列式的定义、性质、行列式按行（列）展开，2、4介绍了利用行列式的性质计算行列式，4、8直接介绍行列式的计算，主要讲解了行列式的计算在Matlab上的实现，7、9、10介绍了行列式的简单计算和行列式的常用计算方法，11、12、13同样也是介绍了行列式的性质、定义和克拉默法则，14在行列式的定义、性质、按行（列）展开克拉默法则等方面介绍得比较完整，15-18系统介绍了行列式计算中和各种方法,如定义法、降阶法、升降法、拆开法、目标行列式法、乘积法、化三角开法、消去法、加边法、归纳法、递推法、特征值法等行列式的计算方法
5、.2.2 国内研究现状评价 现查阅到的参考资料、文献中,在行列式的计算方面已经做到相当不错的成绩，特别是在用行列式的定义和性质去计算高阶行列式方面,而对于一些特殊行列式的计算还有所欠缺.2.3 提出问题 行列式是高等代数课程里基本而重要的内容之一,而在一些特殊行列式的计算上还有所欠缺,本文将从几类特殊N阶行列式的计算方面入手,对特殊N阶行列式的计算归纳总结出一些固定的计算方法,以便在今后的计算中较为方便、快速,以便达到事半功倍的效果.3 预备知识 为了更好的计算行列式,我们先要对行列式的一些性质有一些了解.下面我们来回顾一下行列式的定义和相关的行列式的性质.可参见文献资料1.3.1 N阶行列式
6、的定义 由一个n行n列的正方形数表（称为n阵方阵）按以下规则确定的数称为n阶行列式，记为D,或，或det A,det，即D=det=其中为n个数，1，2，n的一个排列，为此排列的逆序数.而符号表示对所有的n无排列求和，共有n!项.3.2 行列式的性质行列式的计算是一个重要的问题,也是一个麻烦的问题.当N较小时,可以由定义去计算行列式的值,但当N较大时,按定义去计算就很困难了.因此,行列式的性质在行列式中的地位就非常特别要了,我们通常总是利用行列式的性质,把一个复杂的行列式化成简单的,易算的行列式,最终计算出结果.在行列式的诸多性质中,以下几条是最基本的,其他性质都可以通过它们推导出来.该部分性
7、质可参见文献14.性质1 行与列互换,行列式不变.性质2 某行(列)的公因子可以提到行列式符号外.性质3 如果某行(列)的所有元素都可以写成两项之和,则该行列式可以写成两个行列式之和.这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一,其余各行(列)元素与原行列式相同.性质4 两行(列)的对应元素相同,行列式的值为零.性质5 两行(列)对应元素成比例,行列式的值为零.性质6 某行(列)的倍数加到另一行(列),行列式的值不变.性质7 交换两行(列)的位置,行列式的值反号.3.3 行列式的行(列)展开和拉普拉斯定理行列式按行(列)展开的定理是行列式的一条非常重要的性质,是行列式常用计算方法的
8、重要依据,特别是在行列式降阶的过程中,将行列式按行(列)展开,是计算行列式的一种行之有效的方法之一,可参见文献7.3.3.1 行列式按一行(列)展开(1)在N阶行列式的中，将元素所在的第i行第j列的元素划去后剩下的元素按照原来位置次序构成的n-1阶行列式，称为元素的余子式，记为，即，而称为元素的代数余子式.(2) 行列式的值等于它的某一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即(3)n阶行列式中某一行（列）的每个元素与另一行（列）相应元素的代数余子式乘积之和等于零.3.3.2 拉普拉斯定理 拉普拉斯定理可以看成是行列式按行(列)展开公式的推广,在行列式的计算中也是一个不可或缺的定理之一,
9、下面将该定理陈述如下:拉普拉斯定理 任意取定n阶行列式D的某k行（列）（1kn）,由这k行（列）元素所组成的一切k阶子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.4 几类特殊N阶行列式的计算除了较简单的行列式可以用定义直接计算和少数几类行列式可利用行列式性质直接计算外,一般行列式计算的主要方法是利用行列式的性质做恒等变形化简,使行列式中出现较多的零元素,然后直接上(下)三角行列式或利用行列式按行展开定理降阶.在化简时,必须根据行列式的特点和元素的规律性,运用适当的步骤来进行,所以研究行列式的规律性是重要的.下面是对一些典型行列式的计算方法的探究,并举例说明其求解方法和技巧.4.1 三角形行列式
10、的计算 在行列式的计算中,有一类特殊的行列式是除主对角线以外的元素全为零的行列式,我们称为对角行列式或三角行列式,该行列式的计算是很有规律的,也即(1)上(下)三角行列式等于其主对角线上元素的乘积,即.（2） 次三角行列式的值等于添加适当正、负号的对角线元素的乘积，即.(3) 分块三角行列式可化为低级行列式的乘积,即.42两条线型行列式的计算在行列式的计算中,遇见两条线型的行列的情况很多,对于形如，的两条线型行列式，我们的计算方法是先展开看看该行列式能否可以降阶,化为三角或次三角行列式,由三角行列式的计算性质算出该类行列式.例1 计算n阶行列式.分析:本题中所给的行列式,我们先观察一下行列式的
11、元素间的规律,显然,这是一个两条线型的行列式,根据行列式的性质,把行列式按第一行或第一列展开得到两个三角行列式,由三角行列式的性质即可算出该行列式.解: 按第1列展开得总结:由该题的分析与解答过程,易得出解两条线型行列式的规律:按某一(列)展开,化简为三角行列式或次三角行列式,再根据三角行列式的计算方法求出所给的行列式.4.3 箭形行列式的计算在平时所遇见的行列式中,有许多形如，的箭形行列式, 这类行列式不易下手,得想办法化简,从行列式的相关性质和定理上入手.这样的行列式成箭形,只要我们把一边消去就能转化为三角或次三角行列式,从而就能用相关三角行列式的计算性质去计算该类行列式了.例2 计算n+
12、1阶行列式分析:题中所给的n+1阶行列式，显然是一个箭形行列式，对于这样的行列式，得相办法变为三角或次三角行列式，把每一列的倍加到第一列即可得到一个三角行列式，本题即可算出.解：把每一列的（）加到第一列，得总结:对于箭形行列式的计算,可以直接利用行列式性质化为三角或次三角行列式来计算,即利用对角元素或次对角元素将一条边消为零.4.4 三对角行列式的计算对于形如的三对角行列式,. 计算就比较复杂一点了,因为这样的行列式要想办法消去主对角线外的两条线上的元素,这样一来计算量上就比较大了,但是在展开的过程中,我们易发现,在展开的过程中会得到一个递推公式,从代数方面的角度出发,就能解出这样的行列式.例
13、3 计算n阶“三对角”行列式D=分析:把该行列式展开,我们会发现,逐渐展开后得到一个递推公式,根据递推公式的特点,应用相关的代数方法,即可求出行列式的值.解: 把行列式展开,得到DDDD即有递推关系式D=DD (n3)故 递推得到 而，代入得由递推公式得D 总结:对于三对角线行列式的计算,可直接展开得到两项的递推关系,然后根据递推关系的特点采用相应的一些代数方法去求解出行列式.4.5 Hessenberg型行列式的计算对于形如，的行列式,我们叫做Hessenberg型行列式，这类行列式类似于箭形行列式,但差别又有一定的差别.对于这类行列式可直接展开得到递推公式，也可以利用行列式性质化简并降阶.
14、例4 计算N阶行列式分析:对于该行列式,将每一列都加到第N列,能化为三角行列式,即可算出该行列式.解:将第1,2,，n-1列加到第n列，得总结:对于Hessenberg型行列式的计算,可直接展开得到递推公式,根据递推公式的特点从代数方面即可算出,也可利用行列式性质化简并降阶,利用三角行列式或次三角行列式的性质计算.4.6 行（列）和相等的行列式的计算在平时的行列式计算中,行(列)和相等的行列式不在少数,也是行列式计算中的一个难点.对于这样的行列式,我们就可以很好的去利用它的这个行(列)和相等的特点了,把每一行(列)都加到一行(列),再提出公因式,这样就能出现大量的零或1的行列式,从而利用行列式的相关性质就能算出该类行列式了.例5 计算行列式.分析:因为第行(例)的和都相等,所以把每一列都加到第一列利用行列式的性质提出公因式,把每一行都减去第一行即可行到三角行列式,根据三角行列式的性质即可算出该行列式.解: 把每一列都加到第一列提出公因式得总结:对于各行（列）这和相等的行列式，将其各列（或行）加到第1列（或行）或第N列（或行），然后再利用行列式的性质,化为三(或次三角)行列式,根据行列式的性质计算出行列式的值.4.7 相邻行（列）元素差1的行列式的计算计算完行(列)和相等的行列式,现在来看一下行(列)元素差1的行列式的计算.同样,这样的行列式他们的行(列)元素差1,我们可以利用
