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1、 两个重要的极限 第四讲 TwoimportantLimits 知识目标 理解两个重要的极限概念 理解复利计算的最终趋势 掌握分割求和从细微到宏观的思想 能力目标 会利用两个重要的极限公式求极限 会建立复利金融公式并预测其走势 能举一反三进行极限的计算 问题一 圆的面积问题 从小学开始 老师就教我们圆的面积公式 长方形的面积 三角形的面积 为什么只有圆的面积计算的时候还要乘以一个常数 问题一 圆的面积公式问题 要想回答这个问题 我们需要知道 圆的面积公式是怎么来的 公元263年 我国数学家刘徽 法 割之弥细 所失弥小 割之又割 以至于不可割 为了精确计算圆周率 使 用了一种 割圆术 的方 则与
2、圆合体而无所失矣 问题一 圆的面积公式问题 要想回答这个问题 我们需要知道 圆的面积公式是怎么来的 公元263年 我国数学家刘徽 法 割之弥细 所失弥小 割之又割 以至于不可割 为了精确计算圆周率 使 用了一种 割圆术 的方 则与圆合体而无所失矣 问题一 圆的面积公式问题 要想回答这个问题 我们需要知道 圆的面积公式是怎么来的 公元263年 我国数学家刘徽 法 割之弥细 所失弥小 割之又割 以至于不可割 为了精确计算圆周率 使 用了一种 割圆术 的方 则与圆合体而无所失矣 问题一 圆的面积公式问题 要想回答这个问题 我们需要知道 圆的面积公式是怎么来的 公元263年 我国数学家刘徽 法 割之弥
3、细 所失弥小 割之又割 以至于不可割 为了精确计算圆周率 使 用了一种 割圆术 的方 则与圆合体而无所失矣 问题一 圆的面积公式问题 要想回答这个问题 我们需要知道 圆的面积公式是怎么来的 公元263年 我国数学家刘徽 法 割之弥细 所失弥小 割之又割 以至于不可割 为了精确计算圆周率 使 用了一种 割圆术 的方 则与圆合体而无所失矣 问题一 圆的面积公式问题 要想回答这个问题 我们需要知道 圆的面积公式是怎么来的 公元263年 我国数学家刘徽 法 割之弥细 所失弥小 割之又割 以至于不可割 为了精确计算圆周率 使 用了一种 割圆术 的方 则与圆合体而无所失矣 问题一 圆的面积公式问题 要想回
4、答这个问题 我们需要知道 圆的面积公式是怎么来的 公元263年 我国数学家刘徽 法 割之弥细 所失弥小 割之又割 以至于不可割 为了精确计算圆周率 使 用了一种 割圆术 的方 则与圆合体而无所失矣 问题一 圆的面积公式问题 要想回答这个问题 我们需要知道 圆的面积公式是怎么来的 公元263年 我国数学家刘徽 法 割之弥细 所失弥小 割之又割 以至于不可割 为了精确计算圆周率 使 用了一种 割圆术 的方 则与圆合体而无所失矣 问题一 圆的面积公式问题 要想回答这个问题 我们需要知道 圆的面积公式是怎么来的 公元263年 我国数学家刘徽 法 割之弥细 所失弥小 割之又割 以至于不可割 为了精确计算
5、圆周率 使 用了一种 割圆术 的方 则与圆合体而无所失矣 所谓的正n边行的面积 可以将其分解成n个等腰三角形 进行 问题一 圆的面积公式问题 计算 我们知道整个圆周的圆心角等于2 那么当对圆周进行n等分的时候 的顶角大小为 这样 等腰三角形的高 等腰三角形的底 从而 可以确定三角形面积 而这样的三角形有n个 所以 这个内接正n边行的面积为 问题一 圆的面积公式问题 刘徽说 割之又割 以至于不可割 则与圆合体而无所失矣 即 要解决这个问题 我们需要知道 问题一 圆的面积公式问题 如果我们将看成一个实数x 那么这个极限就相当于 第一个重要的极限 在数学里 公式 称为第一个重要的极限 注意 第一个重
6、要的极限仅仅是一个公式 如果当时 有 即此时为无穷小量 那么 我们依然有 例1求下列极限 1 2 3 4 5 6 解 1 2 求下列极限 3 解 4 5 求下列极限 6 练习 1 2 3 4 5 6 问题二 银行存贷问题 某同学大学毕业几年后 有了20万元的存款 采用连续复利的形式 进行计息 年利率为r 4 该同学打算10年后连本带息取出 那 那么10年后 该同学能够取出多少元 分析 假设本金为A 银行一年结算n次 共计存款m年 每次结算的利率应为 第一年第一次结算的本息和 第一年第二次结算的本息和 第一年第三次结算的本息和 问题二 银行存贷问题 某同学大学毕业几年后 有了20万元的存款 采用
7、连续复利的形式 进行计息 年利率为r 4 该同学打算10年后连本带息取出 那 那么10年后 该同学能够取出多少元 第一年第n次结算 第二年第一次结算 第二年第n次结算 问题二 银行存贷问题 某同学大学毕业几年后 有了20万元的存款 采用连续复利的形式 进行计息 年利率为r 4 该同学打算10年后连本带息取出 那 那么10年后 该同学能够取出多少元 第m年第n次结算的本息和 随着年数m 和每年结算次数n的不断增大 他会成为 亿万富翁吗 要想解决这个问题 需要考虑极限 随着n的不断增大 我们把这个极限归纳为 问题二 银行存贷问题 第二个重要的极限 从上面的图像中 我们看到 随着自变量x的增大函数值
8、不断接 近于常数e 这个公式还有两个等价公式 第二个重要的极限 常数e与 一样 都是自然界中比较常见的无理数 在中学时期 我们学习过 当对数函数的底是e时 称为自然对数 因此 我们常常称e为自然对数的底 这个数是1772年由欧拉 Euler 瑞士人 1707 1783 18世纪最伟大 的数学家 首先使用的 除了e外 欧拉还发现了 欧拉常数 第二个重要极限公式透析 1 极限类型为 2 必须是的形式 且底数中的 3 中间必须用 号连接 与指数上的必须是倒数关系 例2求下列极限 解 1 原式 例2求下列极限 解 2 原式 例2求下列极限 解 3 原式 4 原式 练习 无穷小等价代换 如果有 且 则有 这是因为 常见的等价无穷小代换 一般 当时 注意 等价无穷小量代换过程中 上面的公式里面的是一个函数也成立 例如 我们知道时 但是 如果当时 有 我们依然有 相当于 时 等价无穷小量代换只能在两个函数相乘或者相除的时候才能使用 当两个无穷小量相加或者相减的时候一般不能使用 例题 1 2 3 4 解1当时 所以 例题 1 2 3 4 解2当时 所以 例题 1 2 3 4 解3当时 所以 例题 1 2 3 4 解4当时 所以 作业 P603
