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1、第1讲空间几何体的三视图、表面积与体积(限时:45分钟)【选题明细表】知识点、方法题号空间几何体的三视图1,2,9,11,12几何体的表面积和体积3,6由三视图求几何体的表面积和体积4,5,7,10与球有关的接、切问题8,13,14一、选择题1.一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到的正视图可以为(A)解析:在空间直角坐标系中作出四面体OABC的直观图如图所示,作顶点A,C在zOx平面的投影是A,C,可得四面体的正视图.故选A.2.(2018合肥市第二次质检
2、)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E是棱A1B1的中点,用过点A,C,E的平面截正方体,则位于截面以下部分的几何体的侧(左)视图为(A)解析:如图,取B1C1的中点为F,连接AC,CF,EF,AE,截面AEFC以下部分为所求得的几何体,易知选项A中的图形为其侧视图.故选A.3.(2018山西省八校一联)轴截面为正方形的圆柱的外接球的体积与该圆柱的体积的比值为(C)(A)43(B)(C)423(D)2解析:设圆柱的底面半径为r,由题意可知圆柱的高h=2r.设外接球的半径为R,则r2+r2=R2,故R=r.则圆柱的体积V1=r2h=2r3,外接球的体积V2=R3=823r3,所以V2V1
3、=423.故选C.4.(2018安徽省知名示范高中联考)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(C)(A)1(B)12(C)13(D)14解析:法一该几何体的直观图为四棱锥SABCD,如图,SD平面ABCD,且SD=1,四边形ABCD是平行四边形,且AB=DC=1,连接BD,由题意知BDDC,BDAB,且BD=1,所以S四边形ABCD=1,所以=13S四边形ABCDSD=13.故选C.法二由三视图易知该几何体为锥体,所以V=13Sh,其中S指的是锥体的底面积,即俯视图中四边形的面积,易知S=1,h指的是锥体的高,从正视图和侧视图易知h=1,所以V=13Sh=13.故选C.5.(2018开
4、封市10月定位考试)某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为扇形,则该几何体的体积为(B)(A)4(B)2(C)43(D)解析:由题意知几何体的直观图如图所示,该几何体为圆柱的一部分,设底面扇形的圆心角为,由tan =3,得=,故底面面积为1222=23,则该几何体的体积为233=2.故选B.6.(2018太原市一模)已知三棱锥DABC中,CD底面ABC,ABC为正三角形,若AECD,AB=CD=AE=2,则三棱锥DABC与三棱锥EABC的公共部分构成的几何体的体积为(B)(A)(B)(C)13(D)3解析:设ADCE=F,因为CD=AE,所以F为CE的中点,则三棱锥FABC为三棱锥DABC与三
5、棱锥EABC的公共部分,如图,取AC的中点M,连接FM,则FM=1,且FM底面ABC,故FM为三棱锥FABC的高.SABC=22=3,故=1331=.故选B.7.祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.“幂”是截面积,“势”是几何体的高,意思是两个同高的几何体,如在等高处截面的面积恒相等,则体积相等.已知某不规则几何体与如图所示的几何体满足“幂势同”,则该不规则几何体的体积为(C)(A)(B)3(C)(D)6解析:三视图对应的几何体为三棱锥,其长为5,宽为,由侧视图知其高为42-(125)2=,三棱锥的体积为V=135=,所以所求不规则几何体的体积为.故选C.8.(2018惠州市第二次调研)如图,
6、某几何体的三视图是三个全等的等腰直角三角形且直角边长都等于1,则该几何体的外接球的体积为(B)(A)12 (B) (C)3 (D)43解析:还原几何体为三棱锥ABCD,将其放入棱长为1的正方体中,如图所示,则三棱锥ABCD外接球的半径R=,该几何体的外接球的体积V=43R3=.故选B.9.(2018武汉市四月调研)某几何体的三视图如图所示,则从该几何体的所有顶点中任取两个顶点,它们之间距离的最大值为(B)(A)(B)(C)23(D)26解析:由三视图可知,该几何体是一个四棱柱,记为四棱柱ABCDA1B1C1D1,将其放在如图所示的长方体中,底面ABCD是边长为1的正方形,四棱柱的高为1,连接A
7、C1,观察图形可知,几何体中两顶点间距离的最大值为AC1的长,即22+12+12=6.故选B.10.(2018郑州市一中入学测试)某工件的三视图如图所示,现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的长方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为(材料利用率=新工件的体积原工件的体积)(A)(A)89 (B)(C)(D)12(2-1)3解析:依题意知,题中的工件形状是一个底面半径为1、高为2的圆锥,设新工件的长、宽、高分别为a,b,c,截去的小圆锥的底面半径、高分别为r,h,则有a2+b2=4r2,h=2r,设长方体的体积为abc=ab(2-2r)(a2+b2)(2
8、-2r)2=4r2(1-r).设f(r)=4r2(1-r),则有f(r)=4r(2-3r),当0r0,当23r1时,f(r)0,因此f(r)=4r2(1-r)的最大值是f(23)=1627,则原工件材料的利用率为1627(13122)=89.故选A.二、填空题11.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥最长棱的棱长为.解析:三视图所表示的几何体的直观图如图所示.结合三视图知,PA平面ABC,PA=2,AB=BC=,AC=2.所以PB=PA2+AB2=4+2=,PC=PA2+AC2=22,所以该三棱锥最长棱的棱长为22.答案:2212.一个几何体的三视图如图所示,其中正(主)视图是等边三角形,俯视
9、图是半圆.现有一只蚂蚁从点A出发沿该几何体的侧面环绕一周回到A点,则蚂蚁所经过路程的最小值为.解析:如图所示,侧面展开图为一个四分之一圆与一个等边三角形,从点A出发沿该几何体的侧面环绕一周回到A点,蚂蚁所经过路程的最小值为|AA1|=22+22-222cos150=8+43=2+6.答案:+613.(2018南昌市二模)一正三棱柱的三视图如图所示,该正三棱柱的所有顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为.解析:由三视图知正三棱柱底面正三角形的高为4.5,所以底面外接圆的半径为r=4.523=3,又球心O到上、下面的距离为d=82=4,所以球O的半径为R=r2+d2=5,所以S球=4R2=100.
10、答案:10014.(2018武汉市四月调研)在四面体ABCD中,AC=CB=AB=AD=BD=1,且平面ABC平面ABD,则四面体ABCD的外接球半径R=.解析:如图,取AB的中点G,连接DG,CG,由题意,知ABC与ABD均为正三角形,则四面体ABCD的外接球球心O在过ABC的重心O1,且与平面ABC垂直的直线上,同时也在过ABD的重心O2,且与平面ABD垂直的直线上,易知四边形OO1GO2为正方形.在ABC中,O1C=23CG=23AB=,O1G=13CG=13AB=,则OO1=,连接OC,则OC=O1C2+O1O2=(33)2+(36)2=156,故四面体ABCD的外接球的半径为156.答案:1568
