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1、 5.4 抛物线抛物线1第一节第一节 抛物线的抛物线的标准方程标准方程和和几何性质几何性质2平面内与一个定点平面内与一个定点F和一条定直线和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做的距离相等的点的轨迹叫做抛物线抛物线。定点定点F叫做抛物线的叫做抛物线的焦点焦点。定直线定直线l 叫做抛物线的叫做抛物线的准线准线。 一、定义一、定义FMlNd的轨迹是抛物线抛物线。则点e=e=MdMF, 1=新课讲解3二、标准方程二、标准方程FMlN如何建立直角如何建立直角 坐标系坐标系？4xyoFMlNK设设KF= p则则F（ ，0），），l ：x = - p2p2设点设点M的坐标为（的坐标为（x ,y），）， 由定
2、义可由定义可 知，知，化简得化简得 y2 = 2px（p0）5 方程方程 y2 = 2px（p0）叫做抛物线的标准方程。叫做抛物线的标准方程。其中其中p为正常数，它的几何为正常数，它的几何意义是意义是焦准距焦准距 xyoFMlNK6(m,n)FMlNK若顶点在若顶点在O1(m,n)，则方程，则方程为为(y-n)2= 2p(x-m) 7图图 形形方方 程程焦焦 点点准准 线线lFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）8四种抛物线标准方程的异同四种抛物线标准方程的异同:共同点共同点: (1)原点在抛物
3、线上；原点在抛物线上； (2)对称轴为对称轴为X轴、轴、Y轴；轴； (3)准线与对称轴垂直，垂足与焦点分别对称于原点准线与对称轴垂直，垂足与焦点分别对称于原点,与与原点的距离等于一次项前面的系数的绝对值的原点的距离等于一次项前面的系数的绝对值的1/4；即；即焦点与准线的距离等于一次项系数的绝对值的一半。焦点与准线的距离等于一次项系数的绝对值的一半。不同点不同点: (1)对称轴为对称轴为x轴时，方程右端为轴时，方程右端为2px，左端为，左端为y2 ；对称轴为；对称轴为y轴时，方程右端为轴时，方程右端为2py，左端为，左端为x2 。 (2)开口方向与开口方向与x轴轴(或或y轴轴)的的正正半轴相同时
4、，焦点在半轴相同时，焦点在x轴轴(或或y轴轴)的的正正半轴上，方程的右端取半轴上，方程的右端取+号；号； 开口方向与开口方向与x轴轴(或或y轴轴)的的负负半轴相同时，焦点在半轴相同时，焦点在x轴轴(或或y轴轴)的的负负半轴上，方程的右端取半轴上，方程的右端取-号。号。9O(0,0)ABF(p/2,0)L:x= -p/2Kpy2=2pxO1(m,n)ABF(h+p/2,k)L:x=h-p/2Kp(y-n)2=2p(x-m)顶点在原点顶点在原点顶点在点顶点在点(m,n)抛物线草图画法：抛物线草图画法：10O(0,0)ABF(0,p/2)L:y= -p/2Kpx2=2py顶点在原点顶点在原点顶点在点
5、顶点在点(m,n)O1(m,n)ABF(h,k-p/2)Kp(x-m)2= -2p(y-n)L:y= k+p/211例例1 1、点、点M M与点与点F F（4 4，0 0）的距离比它到直线）的距离比它到直线l l：x x5 50 0的距离小的距离小1 1，求点，求点M M的轨迹方程的轨迹方程 如图可知原条件等价于M点到F（4，0）和到x4距离相等，由抛物线的定义，点M的轨迹是以F（4，0）为焦点，x4为准线的抛物线所求方程是y216x分析：分析： 例题讲解12例例2 2、已知抛物线方程为、已知抛物线方程为x=ayx=ay2 2（a0)a0)，讨论抛物，讨论抛物线的开口方向、焦点坐标和准线方程？
6、线的开口方向、焦点坐标和准线方程？解：抛物线的方程化为：解：抛物线的方程化为：y2= x1a即2p=1 a4a1焦点坐标是（ ，0），准线方程是： x=4a1当当a0时时, ,抛物线的开口向右抛物线的开口向右p2=14a13例例3 3、求抛物线的焦点坐标和准线方程：、求抛物线的焦点坐标和准线方程：(1) y(1) y2 2 = 6x= 6x(2) y = (2) y = 6x6x2 2(4)(4)已知抛物线的焦点坐标是已知抛物线的焦点坐标是F F（0 0，-2-2），求它的），求它的标准方程。标准方程。(3) y = x(3) y = x2 2-4x+3-4x+3(5)y(5)y2 2-mx-
7、2y+4m+1=0-mx-2y+4m+1=0的准线为的准线为x=3x=3，求，求m m。14例例4 4、抛物线、抛物线 的焦点为的焦点为F F(1)(1)若斜率为若斜率为1 1的直线经过点的直线经过点F F，与抛物线交于，与抛物线交于A A、B B两点，求线段两点，求线段ABAB的长。的长。(2)(2)抛物线上有三点抛物线上有三点A,B,CA,B,C，且，且FA+FB+FCFA+FB+FC =0=0，求，求|FA|+|FB|+|FC|FA|+|FB|+|FC|。151 1、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： （1 1）y y2 2 = -20x = -20x
8、 （2 2）y=2xy=2x2 2（3 3）2y2y2 2 +5x =0 +5x =0 （4 4）x x2 2 +8y =0 +8y =0焦点坐标焦点坐标准线方程准线方程（1）（2）（3）（4）（-5，0）x= 5（0，）18y= - 188x= 5（- ，0）58（0，-2）y=2注意：求抛物线的焦点注意：求抛物线的焦点一定要先把抛物线化为一定要先把抛物线化为标准形式标准形式跟踪练习162 2、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：（1 1）焦点是）焦点是F F（3 3，0 0）（2 2）准线方程）准线方程 是是x = x = （3 3）焦点到准线的距离是
9、）焦点到准线的距离是2 2解：解：y2 =12x解：解：y2 =x解：解：y2 =4x或或y2 = -4x 或或x2 =4y或或x2 = -4y17例例5 5、求过点、求过点A A（-3-3，2 2）的抛物线的标准方程。）的抛物线的标准方程。AOyx解：解：1）设抛物线的标准方程为）设抛物线的标准方程为 x2 =2py，把，把A（-3，2）代入，）代入， 得得p= 2）设抛物线的标准方程为）设抛物线的标准方程为 y2 = -2px，把，把A（-3，2）代入，）代入， 得得p= 抛物线的标准方程为抛物线的标准方程为x2 = y或或y2 = x 。18 1. 1.已知抛物线经过点已知抛物线经过点P
10、(4,P(4,2)2)，求抛物线，求抛物线的标准方程。的标准方程。 提示：注意到提示：注意到P为第四象限的点，所以可以设抛物为第四象限的点，所以可以设抛物线的标准方程为线的标准方程为y2=2px或或x2=-2py跟踪练习192. 求顶点在求顶点在，准线为，准线为的抛物线方程和焦点坐标。的抛物线方程和焦点坐标。20例例6 6、已知抛物线形古城门底部宽、已知抛物线形古城门底部宽12m,12m,高高6m6m，建立适当的坐标系，求出它的标准方程。，建立适当的坐标系，求出它的标准方程。引申引申:(1):(1)一辆货车宽一辆货车宽4m,4m,高高4m4m，问能否通，问能否通过此城门过此城门? ?(2)(2)若城门为双向行道，那么该货车能否若城门为双向行道，那么该货车能否通过呢？通过呢？21三、抛物线的几何性质三、抛物线的几何性质xFMlNKyO对于y2=2px(p0)1、范围：2、对称性：关于x轴对称3、顶点：O(0,0)顶准距=顶焦距=p/2，焦准距=p4、离心率e=122xFA(x1,y1)lA1KyO5、焦点弦性质：B(x2,y2)B1三个定值：一个最值：通径|AB|=2p最短二个量：23两个圆：以AB为直径的圆与A1B1相切，切点为A1B1的中点N；以A1B1为直径的圆与AB相切，切点为焦点F。xFA(x1,y1)lA1KyOB(x2,y2)B1N24
