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1、有理数及其运算,负数,像10、1.2、17这样的数叫做正数，它们都比0大。,在正数前面加上“”号的数叫做负数，例如10，3 ,我们常用正数和负数表示一些相反意义的量。,0既不是正数，也不是负数,如：向东走10米记为+10米，向西走15米记为-15米。,有理数,整数与分数统称为有理数。,正整数：如 1、2、3零： 0负整数：如1、2、3,有理数,正分数: 如 1/2 、1/3、5.2、3.5,负分数：如 -1/5、-3.5、-5/6、-2.8,数轴,规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。,1、数轴的特点,（1）数轴是一条直线,（2）数轴有原点（点）,（）数轴有正方向（通常取向右为正方向）,
2、（）数轴有单位长度,、数形结合,任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。,、数轴的画法,0,1,2,3,-1,-2,-3,(1)取原点,(2)规定正方向,通常取向右为正方向,(3)选取适当的长度为单位长度,相反数,定义一：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。特别地，0的相反数是0。,定义二：和为的两个数互为相反数。,、数轴上两个点所表示的数，右边的总比左边大。正数大于0，负数小于0，正数大于负数。,越 来 越 大,、在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点的距离相等。,、利用数轴比较两个数的大小。,在数轴上用两个相应的
3、点表示两个数，通过比较这两个点在数轴上的位置关系来比较两个数的大小。,绝对值,在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值。例如：的绝对值等于，记作，的绝对值等于，记作,、一个数本身与它的绝对值的关系,正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数， 0的绝对值是0，,任何数的绝对值都是非负数。,、利用绝对值比较两个负数的大小,两个负数比较大小，绝对值大的反而小。,例、比较和的大小,解：因为-5= 5， | -8 | = 8 5 -8,3、绝对值的特性,| a 2 | + | b 3 | = 0 , 求2 a + 3 b的值。,解：依题意有 | a 2 | = 0 | b 3 |
4、= 0 , 则 a = 2 b = 3 2 a + 3 b = 13,有理数的加法,有理数加法法则：,1、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。2、异号两数相加，绝对值相等时和为0； 绝对值不相等时，取绝对值大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。3、一个数同零相加，仍得这个数。,进行有理数加法运算的步骤：,1、判断加法类型（同号相加？异号相加？和零相加？）,2、确定和的符号,3、确定和的绝对值,1、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。,（+5）+（+3）,（5）+（ 3）,= +,（ | 5 | +| 3 | ）,= +8,1、判断加法类型同号相加,2、确定和的符号取相
5、同的符号“+”,3、确定和的绝对值绝对值相加,= ,（ | 5 | + | 3 | ）,= 8,1、判断加法类型同号相加,2、确定和的符号取相同的符号“+”,3、确定和的绝对值绝对值相加,2、异号两数相加，绝对值相等时和为0； 绝对值不相等时，取绝对值大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。,（5）+（+3）,（5）+（ 3）,= ,（ | 5 | | 3 | ）,= ,1、判断加法类型异号相加,2、确定和的符号取绝对值较大的符号“+”,3、确定和的绝对值较大的绝对值减去较小的绝对值,= ,（ | 5 | | 3 | ）,= ,1、判断加法类型异号相加,2、确定和的符号取绝对值较大的符
6、号“+”,3、确定和的绝对值较大的绝对值减去较小的绝对值,（5）+（ 5）= 0,异号相加，绝对值相等，和为0,3、一个数同零相加，仍得这个数。,（ -5）+ 0 = -5,做一做,有理数的减法,减法法则,减去一个数，等于加上这个数的相反数。,a b = a + ( - b ),有理数减法运算步骤：,1、被减数不变,2、减法变加法,3、确定减数并把减数变成其相反数,4、根据加法法则进行运算,计算、 （ - 5 ）- 6,（ - 5 ）- 6,=（ - 5 ）,+,（- 6）,1、被减数不变,2、减法变加法,3、确定减数并把减数变成其相反数,= - 11,= - ( 5 + 6 ),4、根据加法
7、法则进行运算,做一做,有理数的乘法,有理数乘法法则,两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。任何数与0相乘，积仍未0。,当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正；有因数为零时，积就为零。,乘积为1的两个有理数互为倒数。,倒数的概念,乘法的交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变；乘法的结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变；乘法的分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。,乘法运算的步骤：,1、判断乘法类型（同号相乘？异号相乘？和零相乘？）,2、确定积的符号,3、确定积的绝对值,1、两数相乘，同号得正，绝对值相乘,
8、（5）x（3）,（5）x（ +3）,= +,（ | 5 | x | 3 | ）,= +15,1、判断乘法类型同号相乘,2、确定积的符号同号得正“ + ”,3、确定积的绝对值绝对值相乘,= ,（ | 5 | x | 3 | ）,= 15,1、判断乘法类型同号相乘,2、确定积的符号同号得正“+”,3、确定积的绝对值绝对值相乘,2、两数相乘，异号得负，绝对值相乘,（5）x（+ 3）,（5） x 0,= ,（ | 5 | x | 3 | ）,= 15,1、判断乘法类型异号相乘,2、确定积的符号异号得负“ ”,3、确定积的绝对值绝对值相乘,= 0,（与0相乘）,3、任何数与0相乘，积仍未0。,做一做,有
9、理数的除法,有理数除法法则一,两数相除，同号得正，异号得负，绝对值相除。0除以任何数等于0。0不能做除数。,有理数除法法则二,除以一个数等于乘以这个数的倒数。,除法运算的步骤：,1、判断除法类型（同号相除？异号相除？被零除？）,2、确定商的符号,3、确定商的绝对值,1、两数相除，同号得正，绝对值相除,（6） （3）,（6） （ +3）,= +,（ | 6 | | 3 | ）,= +2,1、判断除法类型同号相除,2、确定商的符号同号得正“ + ”,3、确定商的绝对值绝对值相除,= ,（ | 6 | | 3 | ）,= 2,1、判断除法类型同号相除,2、确定商的符号同号得正“+”,3、确定商的绝对
10、值绝对值相除,2、两数相除，异号得负，绝对值相除,（6） （+ 3）,（6） （ 3）,= ,（ | 6 | | 3 | ）,= 2,1、判断除法类型异号相除,2、确定商的符号异号得正“ ”,3、确定商的绝对值绝对值相除,= ,（ | 6 | | 3 | ）,= 2,1、判断除法类型异号相除,2、确定商的符号异号得正“+”,3、确定商的绝对值绝对值相除,3、0除以任何数等于0。,0 5 = 0,0 （-5）= 0,4、除以一个数等于乘以这个数的倒数。,除法化成乘法,换成倒数,做一做,有理数的乘方,求几个相同因数的积的运算，叫做乘方,一般的,任意多个相同的有理数相乘,我们通常记作:,幂,指数,底数,a n读作a的n次方，也可读作a的n次幂,a n表示n个a相乘,做一做,正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数,乘方运算的法则：,1、(-2)4 与 -24 相同吗？,它们的意义不相同,有理数的混合运算,有理数的运算律,加法运算律： 加法交换律:a+b=b+a 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)乘法运算律： 乘法交换律:ab=b 乘法结合律:(ab)c=a(bc) 乘法对加法的分配律：a(b+c)=ab+ac,有理数混合运算的运算顺序：,先算乘方，再算乘除，最后算加减。如果有括号，先算括号里面的。,做一做,
