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1、2008年高考数学概率与统计预测试题 秦 永1. 口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏：甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢（1）求甲赢且编号的和为6的事件发生的概率；（2）这种游戏规则公平吗?试说明理由答案：（1）设“甲胜且两数字之和为6”为事件A，事件A包含的基本事件为（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），共5个又甲、乙二人取出的数字共有5525（个）等可能的结果， 所以， 答：编号的和为6的概率为 （2）这种游戏规则不公平设“甲胜”为事件B，“乙胜”为事件C
2、， 则甲胜即两数字之和为偶数所包含的基本事件数为13个：（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（3，1），（3，3），（3，5），（4，2） ，（4，4），（5，1） ，（5，3），（5，5）所以，甲胜的概率P（B），从而乙胜的概率P（C）1由于P（B）P（C），所以这种游戏规则不公平 2.某城市有甲、乙、丙、丁4个旅游景点，一位客人游览这4个景点的概率都是0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响设表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值（1）求的分布列及数学期望；(2) 记“函数在区间上单调递增”为事件A，求事件A的概率 答案：（1）分别设“客人游览
3、甲景点”、“客人游览乙景点”、“客人游览丙景点” 、“客人游览丁景点”为事件,由已知相互独立，且客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3，4;相应的，客人没有游览的景点数的可能取值为4，3，2，1,0.所以的可能取值为0，2,4 所以的分布列为024P0.34560.499201552（2）因为所以函数在区间上单调递增要使在上单调递增，当且仅当即从而 3. 某网站的网络服务器共有3个外网端口，据以往的安全监控分析得知，这3个网络端口各自受黑客入侵的概率为0.1，只要有一个网络端口被入侵都会导致服务器瘫痪，从而导致被迫中断工作. （1）求该服务器中断工作的概率；（2）假设网站有两台相同的服务器
4、，互相独立工作，而网站只要有一台能工作，该网站都能正常运营，求该网站能够正常运营的概率（精确到3个有效数字）. 答案：（1）该服务器继续工作的条件是三个网终络口均未被黑客入侵，其概率为,该服务器中断工作的概率为P2=1P=10.729=0.271.（2）该网站能正常运营的概率法一：P3=C1（10.271）0.271+（10.271）（10.271）=0.9265590.927.法二：只有两台网络服务器都不能工作时，该网站才不能正常运营该网站不能正常运营的概率P=0.2710.271=0.073441该网站能正常运营的概率P3=1P=10.073441=0.9265590.927.4. 甲、乙
5、二人用4张扑克牌（分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张。 （1）设（i,j）分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲乙二人抽到的牌的所有情况； （2）若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌面数字比3大的概率是多少？ （3）甲乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，否则，则乙胜。你认为此游戏是否公平，说明你的理由。 答案：（1）甲乙二人抽到的牌的所有情况（方片4用4表示）为（2，3）、（2，4）（2，4）、（3，2）、（3，4）、（3，4）、（4，2）、（4，3）、（4，4）、（4，2）、（4，3）、（4，4），共
6、12种不同情况.（2）甲抽到3，乙抽到的牌只能是2，4，4.因此乙抽到的牌的数字大3的概率为（3）由甲抽到的牌比乙大有（3，2）、（4，2）、（4，3）（4，2）、（4，3）共5种.甲胜的概率p1=，乙获胜的概率为此游戏不公平.5. 已知三个正数满足.(1)若是从中任取的三个数，求能构成三角形三边长的概率；(2)若是从中任取的三个数，求能构成三角形三边长的概率.解:(1)若能构成三角形，则.若时，.共1种；若时。.共2种；同理时，有3+1=4种；时，有4+2=6种；时，有5+3+1=9种；时，有6+4+2=12种.于是共有1+2+4+6+9+12=34种.下面求从中任取的三个数()的种数：若，
7、则，有7种；，有6种；，有5种； ，有1种.故共有7+6+5+4+3+2+1=28种.同理，时，有6+5+4+3+2+1=21种；时，有5+4+3+2+1=15种；时，有4+3+2+1=10种；时，有3+2+1=6种；时，有2+1=3种；时，有1种.这时，共有28+21+15+10+6+3+1=84种.能构成三角形的概率为.(2)能构成三角形的充要条件是.在坐标系内画出满足以上条件的区域(如右图阴影部分)，由几何概型的计算方法可知，只求阴影部分的面积与图中正方形的面积比即可.又，于是所要求的概率为6. 某电器商城迎店庆进行促销活动，促销方案是：顾客每消费1000元，可获得奖券一张.每张奖券中奖
8、的概率为，若中奖，则电器城返还顾客现金800元，某顾客购买一台价格为3150元的电视机得到3张奖券.(1)求该顾客实际支出少于标价一半的概率；(2)求该顾客实际支出数学期望. 答案：（1）该顾客实际支出少于标价一半，即三张奖券中奖2张或3张全中奖，中奖2张的概率为,中奖3张的概率为.所以实际支出少于标价一半的概率为 (2)设表示该顾客3张奖券的中奖数，表示该顾客实际支出的金额数（元），则的所有可能取值为0，1，2，3. , , .0123 的分布列为 答：该顾客实际支出数学期望为2670元. 7. 有A，B，C，D四个城市，它们都有一个著名的旅游点，依此记为a，b，c，d.把ABCD和a，b，
9、c，d分别写成左、右两列，现在一名旅游爱好者随机用4条线把左右两边的字母全部连接起来，构成“一一对应”，已知每连对一个得2分，连错得0分（1）求该爱好者得分的分布列；（2）求该爱好者得分的数期望答案：（I）设答对题的个数为y，得分为,y=0，1，2，4；所以=0，2，4，8 ， 则的分布列为：0248P （2）E=0+2+4+8=2答：该人得分的期望为2分 8. 西安万国家具城进行促销活动，促销方案是：顾客每消费1000元，便可以获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为，若中奖，则家具城返还顾客现金200元. 某顾客购买一张价格为3400元的餐桌，得到3张奖券.（1）求家具城恰好返还该顾客现金200
10、元的概率；（2）求家具城至少返还该顾客现金200元的概率 答案：（1）家具城恰好返还给该顾客现金200元，即该顾客的三张奖券有且只有一张中奖 （2）设家具城至少返还给该顾客现金200元为事件A，这位顾客的三张奖券有且只有一张中奖为事件，这位顾客有且只有两张中奖为事件，这位顾客有且只有三张中奖为事件，则，、是互斥事件 9. 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是（1）求小球落入袋中的概率；（2）在容器入口处依次放入4个小球，记为落入袋中的小球个数，试求的
11、概率和的数学期望 答案：（1）记“小球落入袋中”为事件，“小球落入袋中”为事件，则事件的对立事件为，而小球落入袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，故，从而 （2）显然，随机变量故 ，10. 在灯谜晚会上，猜谜者需猜两条谜语（谜1和谜2），猜谜者对这两条谜语可以按自己选择的先后顺序去猜，如果他决定先猜谜i(i=1,2),则只有当他猜对此谜后才被允许猜另一条谜语，否则就不允许他猜另一谜语了。若猜谜者猜对谜i（i=1,2）,则奖xi元，一中一得，设猜谜i（i=1,2）这两件事是互不影响的，试问：（1）他应先猜哪条谜语？（2）若分别为猜中谜1，2的概率），则应先猜哪条谜语？答案：（1）设猜中谜
12、i(i=1,2)的概率为Pi(i=1,2);若先猜谜1，则所得奖金的分布列为0P所获奖金的期望E=；若先猜谜2，则所得奖金的分布列为0P所获奖金的期望E=；当E E，即时，先猜谜1；当E E，即时，先猜谜2；当E= E，即=时，先猜谜1和先猜谜2一样（2）由题设可得E=168, E=176,因为E E,所以应先猜谜211. 某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券，奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如果两次兑奖活动的中奖概率都是0.05，求两次抽奖中以下事件的概率：（1）都抽到某一指定号码；（2）恰有一次抽到某一指定号码答案：（1）记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A， “第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB。由于两次抽奖结果互不影响，因此A与B相互独立。于是由独立性可得，两次抽奖都抽到某一指定号码的概率为P（AB）=P（A）P（B）=0.050.05=0.00252008051520080515(2)“两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用表示。由于事件与互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为P（）+P（）=P（A）P（）+P（）P（B）=0.05(1-0.05)+(1-0.05) 0.05=0.095.用心 爱心 专心
