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1、江苏省无锡新领航教育咨询有限公司2014年高二数学 椭圆方程重点难点高频考点串讲一（11月22日）1已知椭圆：，过点的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为（ ）A、 B、C、 D、【答案】B【解析】试题分析：椭圆：，过点的直线与椭圆相交于A，B两点，设则（1），（2），由（1）（2）联立并相减得：点是的中点所以，所以，则直线的方程整理得.考点：点差法求直线方程.2过椭圆的一个焦点作垂直于长轴的弦，则此弦长为（ ）A、 B、 C、 D、【答案】C【解析】试题分析：椭圆的一个焦点，过焦点作垂直于长轴的弦的直线方程为，与椭圆方程联立解得，即垂直于长轴的弦与椭圆的两交点为
2、，所以弦长为.考点：椭圆的性质.3为平面上两个不同定点，,动点满足：，则动点的轨迹是（ ）A、椭圆 B、线段C、不存在 D、椭圆或线段或不存在【答案】B【解析】试题分析：因为为平面上两个不同定点，,动点满足：，动点的轨迹是 以为端点的线段，所以答案为B . 考点：轨迹方程.5设P是椭圆上的一点，F1、F2是焦点，若F1PF2=30，则PF1F2的面积为（）A. B. C. D.16【答案】B【解析】试题分析：根据椭圆方程算出椭圆的焦点坐标为F1（3，0）、F2（3，0）由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=10，PF1F2中用余弦定理得到|PF1|2+|PF2|22|PF1|PF2|cos30=
3、36，两式联解可得|PF1|PF2|=64（2），最后根据三角形面积公式即可算出PF1F2的面积解：椭圆方程为，a2=25，b2=16，得a=5且b=4，c=3，因此，椭圆的焦点坐标为F1（3，0）、F2（3，0）根据椭圆的定义，得|PF1|+|PF2|=2a=10PF1F2中，F1PF2=30，|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|22|PF1|PF2|cos30=4c2=36，可得（|PF1|+|PF2|）2=36+（2+）|PF1|PF2|=100因此，|PF1|PF2|=64（2），可得PF1F2的面积为S=|PF1|PF2|sin30=故选：B点评：本题给出椭圆上一点对两个焦点所张
4、的角为30度，求焦点三角形的面积着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题6从椭圆的短轴的一个端点看长轴的两个端点的视角为120，那么此椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：结合图形，得出a、b之间的关系，再根据a2=b2+c2推导出a、c之间的关系，根据e=求解即可解：从椭圆的短轴的一个端点看长轴的两个端点的视角为120，tan60=，a2=3b2=3（a2c2）2a2=3c2=，e=故选D点评：本题考查椭圆的离心率7已知椭圆方程，椭圆上点M到该椭圆一个焦点F1的距离是2，N是MF1的中点，O是椭圆的中心，那么线段ON的长是（）A.2 B.4 C.
5、8 D.【答案】B【解析】试题分析：根据椭圆的方程算出a=5，再由椭圆的定义，可以算出|MF2|=10|MF1|=8因此，在MF1F2中利用中位线定理，得到|ON|=|MF2|=4解：椭圆方程为，a2=25，可得a=5MF1F2中，N、O分别为MF1和MF1F2的中点|ON|=|MF2|点M在椭圆上，可得|MF1|+|MF2|=2a=10|MF2|=10|MF1|=8，由此可得|ON|=|MF2|=4故选：B点评：本题给出椭圆一条焦半径长为2，求它的中点到原点的距离，着重考查了三角形中位线定理、椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题8F1，F2是椭圆的两个焦点，A为椭圆上一点，且AF1
6、F2=45，则三角形AF1F2的面积为（ ）A.7 B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：求出F1F2的 长度，由椭圆的定义可得AF2=6AF1，由余弦定理求得AF1=，从而求得三角形AF1F2的面积解：由题意可得 a=3，b=，c=，故 ，AF1+AF2=6，AF2=6AF1，AF22=AF12+F1F222AF1F1F2cos45=AF124AF1+8，（6AF1）2=AF124AF1+8，AF1=，故三角形AF1F2的面积S=点评：本题考查椭圆的定义、标准方程，简单性质，以及余弦定理的应用，求出 AF1 的值，是解题的关键9若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的
7、取值范围是（ ）A.（0，+） B.（0，2） C.（1，+） D.（0，1）【答案】D【解析】试题分析：先把椭圆方程整理成标准方程，进而根据椭圆的定义可建立关于k的不等式，求得k的范围解：方程x2+ky2=2，即表示焦点在y轴上的椭圆故0k1故选D点评：本题主要考查了椭圆的定义，属基础题10已知是椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，若的周长为8，则椭圆方程为（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：本题是根据椭圆的性质来解答的，由,知椭圆的焦点在x轴上，且c=1，又的周长为8，知4a=8，得a=2，所以得，所以得椭圆的标准方程为.故选D.考点：椭圆标准方程的性质.11已知椭圆
8、上的一点M到焦点的距离为2，N是的中点，O为原点，则|ON|等于 （ ）（A）2 （B） 4 （C） 8 （D） 【答案】B【解析】试题分析：设椭圆的另一焦点为,因为，所以，由题意可知：为D的中位线，所以考点：椭圆的性质12已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为，且椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12，则椭圆的方程为（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：设椭圆的标准方程为，所以由题意可得：，所以椭圆的方程为.考点：函数的性质.13已知焦点在轴上的椭圆的长轴长为8，则等于 （ ）A4 B8 C16 D18 【答案】C【解析】试题分析：椭圆的焦点在轴上，长轴长得，故答
9、案为C考点：椭圆的标准方程14已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，它的长轴长等于圆的半径，则椭圆的标准方程是（ ）A BC D【答案】D【解析】试题分析：圆配方得，半径，因此，得，离心率，得，由于焦点在轴上，因此椭圆的方程是考点：椭圆的标准方程15直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：直线与两坐标轴的交点为 ，而椭圆的焦点一定在轴上，所以， ，所以 故选C.考点：椭圆的标准方程与简单几何性质.16椭圆的焦距为6，则= 【答案】3或12【解析】试题分析：椭圆的焦距为6即，椭圆的焦点可能在轴上或在轴上，当焦点在轴上时解得；当焦点在轴
10、上时，解得，综上考点：椭圆的性质17若F1、F2是的两个焦点，过F1作直线与椭圆交于A、B两点，则ABF2的周长为 【答案】8【解析】试题分析：在椭圆中，ABF2的周长考点：椭圆的定义18如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在x轴上，且 =, 那么椭圆的方程是 【答案】【解析】试题分析：由题意可设椭圆方程为： 短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在轴上又， 椭圆的方程为： 考点：椭圆的标准方程，解三角形以及解方程组的相关知识19已知是椭圆上的点，则点到椭圆的一个焦点的最短距离为_.【答案】【解析】试题分析：由椭圆的性质可得，由椭圆，得，可知焦点在x轴上，且
11、，故得最短的距离为a-c=.考点：椭圆的性质.20设分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是的中点，则P点到椭圆左焦点距离为_【答案】4【解析】试题分析：因为，所以，又因为P为椭圆上一点，M是的中点，所以,所以，所以P点到椭圆左焦点距离为4.考点：椭圆的性质 21已知椭圆C：，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则 【答案】20【解析】试题分析：如图所示，设分别是椭圆的左、右焦点，且，分别是线段的中点，则在和中，又由椭圆定义得，故考点：1、椭圆的标准方程和定义；2、三角形的中位线22（本题满分13分）设椭圆：的离心率，右焦点到直线的距离，为坐标
12、原点（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于两点，以为直径的圆过原点，求到直线的距离【答案】（1），（2）【解析】试题分析：（1）求椭圆的方程，用待定系数法求出的值；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论.试题解析：（1），右焦点到直线的距离，则，且，所以，所以椭圆的的方程是：（2）设直线：，那么：
13、，则，又因为直线与椭圆交于两点，以为直径的圆过原点，化简得，即所以到直线的距离为.考点：（1）求椭圆的标准方程;（2）直线与椭圆相交的综合问题.23椭圆过点，离心率为，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点（1）求椭圆C的方程；（2）当的面积为时，求直线的方程.【答案】（1）；（2）直线方程为：或.【解析】试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的标准方程、直线与椭圆相交问题、三角形面积公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，由于椭圆过点A，将A点坐标代入得到a和b的关系式，再利用椭圆的离心率得到a与c的关系式，从而求出a和b，得到椭圆的标准方程；第二问，过的直线有特殊情况，即当直线的倾斜角为时，先讨论，再讨论斜率不不为的情况，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得到和，代入到三角形面积公式中，解出k的值，从而得到直线方程.试题解析：（1）因为椭圆过点，所以，又因为离心率为，所以，所以，解得.所以椭圆的方程为： （4分）（2）当直线的倾斜角为时，, ，不适合题意。 （6分）当直线的倾斜角不为时，设直线方程，代入得： （7分）设，则,
