《高三数学第三篇第七节解三角形课件理北师大.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学第三篇第七节解三角形课件理北师大.ppt（50页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第七节解三角形 2 在 ABC中 已知a b和A时 解的情况 3 实际问题中的常用角 1 仰角和俯角在视线和水平线所成的角中 视线在水平线上方的角叫仰角 在水平线下方的角叫俯角 如图 2 方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角 如B点的方位角为 如图 3 方向角 相对于某一正方向的水平角 如图 北偏东 即由指北方向顺时针旋转 到达目标方向 北偏西 即由指北方向逆时针旋转 到达目标方向 南偏西等其他方向角类似 4 坡度 坡面与水平面所成的二面角的度数 如图 角 为坡角 坡比 坡面的铅直高度与水平长度之比 如图 i为坡比 1 ABC的内角A B C的对边分别为a b c 若a b c成等比数
2、列 且c 2a 则cosB等于 答案 B 2 在200m高的山顶上 测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30 60 则塔高为 答案 A 解析 解析 由余弦定理得a2 b2 c2 2bccosA 即3 1 c2 c c2 c 2 0 解得c 2或c 1 舍去 答案 B 4 如图 在 ABC中 若A 120 AB 5 BC 7 则 ABC的面积S 5 甲船在A处观察乙船 乙船在它的北偏东60 的方向 两船相距a海里 乙船正向北行驶 若甲船是乙船速度的倍 则甲船应取方向 才能追上乙船 追上时甲船行驶了 海里 解析 如图 设到C点甲船追上乙船 乙到C地用了时间t 答案 北偏东30 在 ABC中 1 若b
3、c 1 B 45 求a及C的值 2 若A 60 a 7 b 5 求边c 思路点拨 1 可直接使用正弦定理求解 注意解的个数的判断 也可利用余弦定理求解 2 题目条件是已知两边及一边的对角 这种情况一般用正弦定理解 但本题不求B 并且求出sinB后发现B非特殊角 故用正弦定理不是最佳选择 而应直接用余弦定理列出关于c的方程求解 方法点评 1 已知两边和一边的对角解三角形时 可有两解 一解 无解三种情况 应根据已知条件判断解的情况 主要是根据图形或由 大边对大角 作出判断 2 应熟练掌握余弦定理及其推论 解三角形时 有时可用正弦定理 也可用余弦定理 应注意用哪一个定理更方便 简捷 3 三角形中常见
4、的结论 1 A B C 2 在三角形中大边对大角 反之亦然 3 任意两边之和大于第三边 任意两边之差小于第三边 4 三角形内的诱导公式sin A B sinC cos A B cosC 在 ABC中 a b c分别表示三个内角A B C的对边 如果 a2 b2 sin A B a2 b2 sin A B 判断三角形的形状 自主解答 方法一 由已知得a2 sin A B sin A B b2 sin A B sin A B 2a2cosAsinB 2b2cosBsinA 由正弦定理 得sin2AcosAsinB sin2BcosBsinA sinAsinB sinAcosA sinBcosB 0
5、 sin2A sin2B 由0 A B 得2A 2B或2A 2B 即 ABC是等腰三角形或直角三角形 方法二 同方法一可得2a2cosAsinB 2b2cosBsinA 由正 余弦定理 即得 a2 b2 c2 a2 b2 a2 c2 b2 即 a2 b2 c2 a2 b2 0 a b或c2 a2 b2 故 ABC为等腰三角形或直角三角形 方法点评 依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时 主要有如下两种方法 1 利用正 余弦定理把已知条件转化为边边关系 通过因式分解 配方等得出边的相应关系 从而判断三角形的形状 2 利用正 余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系 通过三角函数恒等变形
6、 得出内角的关系 从而判断出三角形的形状 此时要注意应用A B C 这个结论 2 已知方程x2 bcosA x acosB 0的两根之积等于两根之和 a b为 ABC的两边 A B为两内角 试判断这个三角形的形状 解析 方法一 设方程的两根为x1 x2 由韦达定理知 x1 x2 bcosA x1 x2 acosB 依题意 得bcosA acosB 所以b2 c2 a2 a2 c2 b2 即2b2 2a2 即a b 所以 ABC是等腰三角形 方法二 设方程的两根x1 x2 由韦达定理及题意 得b cosA a cosB 由正弦定理 得2RsinBcosA 2RsinAcosB 即sinAcosB
7、 cosA sinB 0 sin A B 0 A B为 ABC的内角 0 A 0 B A B A B 0 即A B 故 ABC是等腰三角形 在海岸A处 发现北偏东45 方向 距A处 nmile的B处有一艘走私船 在A处北偏西75 的方向 距离A处2nmile的C处的缉私船奉命以nmile h的速度追截走私船 此时 走私船正以10nmile h的速度从B处向北偏东30 方向逃窜 问缉私船沿什么方向能最快追上走私船 思路点拨 本例考查正弦 余弦定理的建模应用 如图所示 注意到最快追上走私船且两船所用时间相等 若在D处相遇 则可先在 ABC中求出BC 再在 BCD中求 BCD 自主探究 设缉私船用t
8、h在D处追上走私船 即缉私船沿东偏北30 方向能最快追上走私船 方法点评 1 测量角度 首先应明确方位角 方向角的含义 2 在解应用题时 分析题意 分清已知与所求 再根据题意正确画出示意图 通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题 解题中也要注意体会正 余弦定理 联袂 使用的优点 3 如图 某船在海上航行中不幸遇险 并发出呼救信号 我海上救生艇在A处获悉后 立即测出该船在方位角为45 与之相距10海里的C处 还测得该船正沿方位角105 的方向以每小时9海里的速度行驶 我海上救生艇立即以每小时21海里的速度前往营救 试求出该海上救生艇的航向及与呼救船相遇所需时间 解析 设所需时间为t小
9、时 在点B处相遇 在 ABC中 ACB 120 AC 10 AB 21t BC 9t 由余弦定理得 21t 2 102 9t 2 2 10 9t cos120 整理得 36t2 9t 10 0 解得 t1 t2 舍去 由正弦定理得 所以 CAB 21 47 所以该海上救生艇的航向为方位角66 47 与呼救船相遇所需时间为小时 答案 D 2 2009年全国 高考 在 ABC中 内角A B C的对边长分别为a b c 已知a2 c2 2b 且sinAcosC 3cosAsinC 求b 解析 由余弦定理得a2 c2 b2 2bccosA 又a2 c2 2b b 0 所以b 2ccosA 2 又sin
10、AcosC 3cosAsinC sinAcosC cosAsinC 4cosAsinC sin A C 4cosAsinC sinB 4sinCcosA 由正弦定理得sinB 故b 4ccosA 由 解得b 4 1 求sinC的值 2 求 ABC的面积 1 求sinC的值 2 求 ABC的面积 4 2009年宁夏 海南高考 为了测量两山顶M N间的距离 飞机沿水平方向在A B两点进行测量 A B M N在同一个铅垂平面内 如图 飞机能够测量的数据有俯角和A B间的距离 请设计一个方案 包括 指出需要测量的数据 用字母表示 并在图中标出 用文字和公式写出计算M N间的距离的步骤 解析 方法一 需
11、要测量的数据有 A点到M N点的俯角 1 1 B点到M N点的俯角 2 2 A B的距离d 如图所示 方法二 需要测量的数据有 A点到M N点的俯角 1 1 B点到M N点的俯角 2 2 A B的距离d 如图所示 第一步 计算BM 由正弦定理BM 1 解斜三角形问题往往用到正弦定理与余弦定理以及三角恒等变换 解题时角度的选取是关键 2 对于解斜三角形的实际应用问题 要理解题意 分清已知与所求 根据题意画出示意图 构造出三角形 把实际问题转化为解三角形问题 3 利用正 余弦定理可以进行边角互化 实现边角统一 有利于判断三角形的形状 4 解决三角形中的计算与证明问题 要注意以下几点 1 用正弦定理解三角形时 要注意解题的完整性 谨防丢解 2 要熟记一些常见结论 如三内角成等差数列 则必有一角为60 若三内角的正弦值成等差数列 则三边也成等差数列 内角和定理与诱导公式结合产生的结论 sinA sin B C cosA cos B C sin sin2A sin2 B C cos2A cos2 B C 等 3 对轮换对称式的化简 计算 证明 可选择其中的一部分进行运算 其他部分同理推证 其间可设大小关系 4 对三角形中的不等式 要注意利用正弦 余弦的有界性进行适当 放缩 5 合理利用 比例性质 往往可使问题简化 减少运算量 课时作业点击进入链接
