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1、福建省厦门市厦门外国语学校2019届高三数学最后一模试题 文(含解析)一:选择题。1.已知集合,则的真子集共有()A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】B【解析】【分析】先求得两个集合的交集,然后计算出真子集的个数.【详解】依题意,其真子集为,只有一个真子集,故选B.【点睛】本小题主要考查两个集合交集的运算,考查真子集的个数,属于基础题.2.已知为虚数单位,则()A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法运算,对题目所给表达式进行化简.【详解】依题意,原式,故选A.【点睛】本小题主要考查复数的除法运算,考查运算求解能力,属于基础题. 求解与复数概念相关问题的技巧
2、:复数的分类、复数的相等、复数的模,共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关,所以解答与复数相关概念有关的问题时,需把所给复数化为代数形式,即的形式,再根据题意求解.3.某城市2018年12个月的PM2.5平均浓度指数如下图所示,根据图可以判断,四个季度中PM2.5的平均浓度指数方差最小的是( )A. 第一季度B. 第二季度C. 第三季度D. 第四季度【答案】B【解析】方差最小的数据最稳定,所以选B.4.已知点,若向量,则向量()A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求得,然后利用向量的减法运算求得.【详解】依题意,故选D.【点睛】本小题主要考查平面向量的减法运算,考查平面向量的坐
3、标运算,属于基础题.5.已知函数的图象如图所示,则的解析式可能是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数图像上特殊点,对选项进行排除,由此得出正确选项.【详解】对于A,B两个选项,不符合图像,排除A,B选项.对于C选项,不符合图像,排除C选项,故选D.【点睛】本小题主要考查根据函数图像选择相应的解析式,考查利用特殊值法解选择题,属于基础题.6.如图,网格纸上小正方形的边长为1(单位),粗实线画出的是某种零件的三视图,则该零件的体积(单位:)为()A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据三视图得到几何体是由一个圆柱和一个长方体构成,由此计算出几何体的体积.【
4、详解】由三视图可知,该几何体是由一个圆柱和一个长方体构成,故体积为,故选A.【点睛】本小题主要考查由三视图判断原图,考查圆柱和长方体体积的计算,属于基础题.7.“对任意的正整数,不等式都成立”的一个充分不必要条件是( )A. B. C. D. 或【答案】B【解析】【分析】原不等式等价于,当时,成立,当时,要使成立,只需成立,即,由此求得原不等式成立的充要条件,从而可以从选项中确定出原不等式成立的充分不必要条件.【详解】原不等式等价于,当时,成立,当时,要使成立,只需成立,即,由,知最小值为,所以,所以或是原不等式成立的充要条件,所以是原不等式成立的充分不必要条件,故选B.【点睛】该题考查的是有
5、关充分不必要条件的问题,涉及到的知识点有恒成立问题对应参数的取值范围的求解,充分不必要条件的定义与选取,在解题的过程中,正确求出充要条件对应参数的范围是解题的关键.8.已知公差d0的等差数列 满足a11,且a2、a42、a6成等比数列,若正整数m、n满足mn10,则aman()A. 30B. 20C. 10D. 5或40【答案】A【解析】【分析】因为a2、a42、a6成等比数列,利用等差数列的基本量可以解出公差,因为,所以可得结果.【详解】解:设等差数列的公差为,因a2、a42、a6成等比数列,所以,即,即,解得或,因为公差d0,所以,所以,故选A.【点睛】本题考查了等比中项、等差数列的基本量
6、等知识,熟练运用等差、等比的通项公式等是解题的关键.9.已知是抛物线上的任意一点,以为圆心的圆与直线相切且经过点,设斜率为1的直线与抛物线交于两点,则线段的中点的纵坐标为()A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】A【解析】【分析】根据抛物线的定义求得抛物线的方程,设出斜率为的直线的方程,联立直线的方程和抛物线方程,消去,然后利用韦达定理求得中点的纵坐标.【详解】由于为圆心的圆与直线相切且经过点,根据抛物线的定义可知为抛物线的焦点,故,所以抛物线方程为.设斜率为的直线的方程为,则,代入抛物线方程得,即,所以,.即中点的纵坐标为,故选A.【点睛】本小题主要考查抛物线的定义,考查直线和抛物线的位置
7、关系,属于中档题.10.己知函数的零点构成一个公差为的等差数列,把函数的图像沿轴向左平移个单位,得到函数的图像,关于函数,下列说法正确的是()A. 在上是增函数B. 其图像关于对称C. 函数是奇函数D. 在区间上的值域为-2,1【答案】D【解析】【分析】根据的零点构成一个公差为的等差数列可得函数的周期,从而得出函数的解析式,沿轴向左平移个单位,便可得到函数的解析式,由的解析式逐项判断选项的正确与否.【详解】解:可变形为,因为的零点构成一个公差为的等差数列,所以的周期为,故,解得,所以,函数的图像沿轴向左平移个单位后得到,选项A:,解得:,即函数的增区间为显然,故选项A错误;选项B:令,解得:,
8、即函数的对称轴为不论取何值,对称轴都取不到,所以选项B错误;选项C:的定义域为R,因为,所以函数不是奇函数,故选项C错误;选项D:当时,故,根据余弦函数图像可得,故选项D正确.故本题应选D.【点睛】本题考查了三角函数的图像与性质,考查了图像平移的规则,整体法思想是解决本题的思想方法.11.如图,平面四边形ABCD中,E、F是AD、BD中点,ABADCD2, BD2 ,BDC90,将ABD沿对角线BD折起至,使平面平面BCD,则四面体中,下列结论不正确是 ( )A. EF平面B. 异面直线CD与所成的角为90C. 异面直线EF与所成的角为60D. 直线与平面BCD所成的角为30【答案】C【解析】
9、【分析】根据线线平行判定定理、异面直线所成角、直线与平面所成角等知识对选项A、B、C、D进行逐一判断其正确与否.【详解】解:选项A:因为E、F是AD、BD中点,所以,因为平面,平面,所以EF平面,所以选项A正确;选项B:因为平面平面BCD,平面平面BCD,且BDC90,即,又因为平面BCD,故平面,故,所以异面直线CD与所成的角为90,选项B正确;选项C:由选项B可知平面,所以,因为ADCD2,即CD2,所以由勾股定理得,在中,BC,在中,故,即,因为,所以,故选项C错误;选项D:连接因为所以因为是中点,所以,因为平面平面BCD,平面平面BCD,又因为平面,故平面,所以即为直线与平面BCD所成
10、的角,在中,所以,所以,故直线与平面BCD所成角为30,故选项D正确,本题不正确的选项为C,故选C.【点睛】本题考查了直线与平面的位置关系,解题的关键是要能准确运用线面平行的判定定理给与证明,能准确分析出线线、线面所成角等.12.已知是自然对数的底数,不等于1的两正数满足,若,则的最小值为()A. -1B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用对数的运算公式,化简,求得的值,由此求得的关系式,化简,并利用导数求得最小值.【详解】依题意,即,由于,故上式解得,即.所以.构造函数(为不等于的正数).,故函数在上递减,在上递增,所以最小值为.故选D.【点睛】本小题主要考查对数运算,考查利用导数
11、求表达式的最小值的方法,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.二、填空题.13.秦九韶是我国南宋时期的数学家,他在所著数书九章中提出的求多项式值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法如图所示的程序框图,是利用秦九韶算法求一个多项式的值,若输入n、x的值分别为3、 ,则输出v的值为_【答案】【解析】【分析】此程序框图是循环结构图,模拟程序逐层判断,得出结果.【详解】解: 模拟程序:的初始值分别为第1次循环:,不满足;第2次循环:,不满足; 第3次循环:,满足;故输出.【点睛】本题考查了程序框图的循环结构,解题的关键是要读懂循环结构的流程图,根据判断框内的条件逐步解题.14.若满足约束条件,则目
12、标函数的最大值等于_【答案】2【解析】【分析】画出可行域,通过向上平移基准直线到可行域边界的位置,由此求得目标函数的最大值.【详解】画出可行域如下图所示,由图可知,目标函数在点处取得最大值,且最大值为.【点睛】本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最大值.这种类型题目的主要思路是:首先根据题目所给的约束条件,画出可行域;其次是求得线性目标函数的基准函数;接着画出基准函数对应的基准直线;然后通过平移基准直线到可行域边界的位置;最后求出所求的最值.属于基础题.15.双曲线的焦点是,若双曲线上存在点,使是有一个内角为的等腰三角形,则的离心率是_【答案】【解析】【分析】根据双曲线的对称性可知,等腰
13、三角形的腰应该为与或与,不妨设等腰三角形的腰为与,故可得到的值,再根据等腰三角形的内角为,求出的值,利用双曲线的定义可得双曲线的离心率.【详解】解:根据双曲线的对称性可知,等腰三角形的两个腰应为与或与,不妨设等腰三角形的腰为与,且点在第一象限,故,等腰有一内角为,即,由余弦定理可得,由双曲线的定义可得,即,解得:.【点睛】本题考查了双曲线的定义、性质等知识,解题的关键是要能准确判断出等腰三角形的腰所在的位置.16.已知是球的球面上的五个点,四边形为梯形,平面平面,则球的表面积为_【答案】【解析】【分析】设的中点为,证明是球的球心,由此求得球的半径,进而求得球的表面积.【详解】设中点为,设中点为
14、,作出图像如下图所示,由于,,平面平面,所以,平面,故.由于,所以,.所以,故点到的距离相等,所以为球心,且球的半径为,故表面积为.【点睛】本小题主要考查几何体外接球球心的位置的求法,考查球的表面积公式,属于中档题.三、解答题.17.在ABC中,内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且sinAsinBcosBsin2BcosA2 sinCcosB.(1)求tanB的值;(2)若ABC的外接圆半径为R,求的值【答案】(1) tanB2. (2)【解析】【分析】(1)利用两角和差公式对式子sinAsinBcosBsin2BcosA2sinCcosB进行化简,便可得到结果;(2)利用同角三角函数关系可得结果.【详解】解:(1)等式sinAsinBcosBsin2BcosA2sinCcosB化简得,sinB(sinAcosBcosAsinB)2sinCcosB,sinBsin(AB)2sinCcosB,,