《高三数学复习导数的应用人教.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学复习导数的应用人教.ppt（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、函数的应用 1 曲线的切线 1 导数的几何意义 函数y f x 在点x0处的导数的几何意义 就是曲线y f x 在点P x0 f x0 处的切线的斜率 即曲线y f x 在点P x0 f x0 处的切线的斜率是 故曲线y f x 在点P x0 f x0 处的切线方程是 例1 如图 已知曲线 求 1 点P处的切线的斜率 2 点P处的切线方程 1 点处的切线的斜率等于4 2 在点P处的切线方程是y 8 3 4 x 2 即12x 3y 16 0 练习1 P3433 9P3451 2 函数的应用 2 函数的单调性 f x 0 f x 0 定义 一般地 设函数y f x 在某个区间内有导数 如果在这个区
2、间内 0 那么函数y f x 为在这个区间内的增函数 如果在这个区间内 0 那么函数y f x 为在这个区间内的减函数 1用导数求函数的单调性的结论 如果在某个区间内恒有 则为常数 2 利用导数讨论函数单调的步骤 2 求导数 3 解不等式 0得f x 的单调递增区间 解不等式 0得f x 的单调递减区间 1 先求函数的定义域 故f x 在 1 和 3 内是增函数 在 1 3 内是减函数 而我们可以从右边的函数的图象看到上面的结论是正确的 例2 讨论f x x3 6x2 9x 3的单调性 解 f x 3x2 12x 9 令3x2 12x 9 0 解得x 3或x 1 因此 当或时 f x 是增函数
3、 令3x2 12x 9 0 解得1 x 3 因此 当时 f x 是减函数 解 函数的定义域是 1 f x x 2 ln 1 x 1 由即得x1 注意到函数的定义域是 1 故f x 的递增区间是 1 由解得 1 x 1 故f x 的递减区间是 1 1 说明 函数的单调区间必定是它的定义域的子区间 故求函数的单调区间一定首先要确定函数的定义域 在求出使导数的值为正或负的x的范围时 要与定义域求两者的交集 练习2 确定下面函数的单调区间 练习2P3454 5P3473 4 7 函数的应用 3 函数的极值 1 函数的极值的定义 一般地 设函数y f x 在x0及其附近有定义 如果f x0 的值比x0附
4、近所有各点的函数值都大 我们说f x0 是函数y f x 的一个极大值 如果f x0 的值比x0附近所有各点的函数值都小 我们说f x0 是函数y f x 的一个极小值 极大值与极小值统称极值 请注意以下几点 1 极值是一个局部概念 由定义 极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小 并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小 2 函数的极值不是唯一的 即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个 3 极大值与极小值之间无确定的大小关系 即一个函数的极大值未必大于极小值 如下图所示 x1是极大值点 x4是极小值点 而f x4 f x1 一般地 当函数f x 在x0处
5、连续时 判别f x0 是极大 小 值的方法是 1 如果在x0附近的左侧右侧那么 f x0 是极大值 2 如果在x0附近的左侧右侧那么 f x0 是极小值 总结 求可导函数f x 的极值的步骤如下 1 求导数 2 求方程的根 3 检查在方程根左右的值的符号 如果左正右负 那么f x 在这个根处取得极大值 如果左正右负 那么f x 在这个根处取得极大值 例3 求y x3 3 4x 4的极值 解 令 解得x1 2 x2 2 当x变化时 y的变化情况如下表 因此 当x 2时有极大值 并且 y极大值 28 3 而 当x 2时有极小值 并且 y极小值 4 3 练习3 P3481 2 P3502 4 导数的
6、应用 4 函数的最值 设函数f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 则求f x 在 a b 上的最大值与最小值的步骤如下 求y f x 在 a b 内的极值 极大值与极小值 将函数y f x 的各极值与f a f b 作比较 其中最大的一个为最大值 最小的一个为最小值 求函数的最值时 应注意以下几点 1 函数的极值是在局部范围内讨论问题 是一个局部概念 而函数的最值是对整个定义域而言 是在整体范围内讨论问题 是一个整体性的概念 2 闭区间 a b 上的连续函数一定有最值 开区间 a b 内的可导函数不一定有最值 但若有唯一的极值 则此极值必是函数的最值 例4 求函数y x4 2x2 5
7、在区间 2 2 上的最大值与最小值 解 令 解得x 1 0 1 当x变化时 的变化情况如下表 从上表可知 最大值是13 最小值是4 练习 求函数f x 2x3 3x2 12x 14在区间 3 4 上的最大值和最小值 答案 最大值为f 4 142 最小值为f 1 7 练习4P3501 6 7 8 四 小结 1 求在 a b 上连续 a b 上可导的函数f x 在 a b 上的最值的步骤 1 求f x 在 a b 内的极值 2 将f x 的各极值与f a f b 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 2 求函数的最值时 应注意以下几点 1 要正确区分极值与最值这两个概念 2 在 a b 上连续 a b 上可导的函数f x 在 a b 内未必有最大值与最小值 3 一旦给出的函数在 a b 上有个别不可导点的话 不要忘记在步骤 2 中 要把这些点的函数值与各极值和f a f b 放在一起比较
