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1、第二章函数 第7课时函数的图象 要点 疑点 考点 1 函数的图象在平面直角坐标系中 以函数y f x 中的x为横坐标 函数值y为纵坐标的点 x y 的集合 就是函数y f x 的图象 图象上每一点的坐标 x y 均满足函数关系y f x 反过来 满足y f x 的每一组对应值x y为坐标的点 x y 均在其图象上 2 函数图象的画法函数图象的画法有两种常见的方法 一是描点法 二是图象变换法 描点法 描点法作函数图象是根据函数解析式 列出函数中x y的一些对应值表 在坐标系内描出点 最后用平滑的曲线将这些点连接起来 利用这种方法作图时 要与研究函数的性质结合起来 图象变换法 常用变换方法有三种
2、即平移变换 伸缩变换和对称变换 1 平移变换 由y f x 的图象变换获得y f x a b的图象 其步骤是 a 0 左移a个单位 a 0 右移 a 个单位 b 0 上移b个单位 b 0 下移 b 个单位 平移变换 y f x y f x a y f x y f x b 规律 左加右减 规律 上加下减 练习 若y f 2x 的图象如何变化得到y f 2x 2 的图象 向左移一个单位 若y f 2x 2 的图象如何变化得到y f 2x 的图象 向右移一个单位 2 伸缩变换 由y f x 的图象变换获得y Af x A 0 A 1 0 1 的图象 其步骤是 y f x 关于y轴对称 y f x y
3、 f x y f x y f x 关于x轴对称 y f x 关于原点对称 y f x 关于直线y x对称 y f 1 x 3 对称变换 对称变换演示 关于原点 x O y f x x2 2x g x x2 2x o 4 翻折变换 y f x 的图象可将y f x 的图象在x轴上方的部分保留不动 在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方 即 上不动 下上翻 y f x 的图象可将y f x 的图象在y轴右侧的部分保留不动 去掉左侧的部分 将右侧部分作关于y轴对称 即 右不动 左对称 y f x y f x 去掉y轴左边图象 保留y轴右边图象 再作其关于y轴对称图象 y f x y f x 保
4、留x轴上方图象 将x轴下方图象翻折上去 翻折变换 y x2 1 翻折变换演示 下翻上 y x2 1 翻折变换演示 右翻左 y x2 2 x 1 基础题例题 例1 要得到函数y log2 x 1 的图象 可将y 2x的图象作如下变换 例2 将函数y log 1 2 x的图象沿x轴方向向右平移一个单位 得到图象C 图象C1与C关于原点对称 图象C2与C1关于直线y x对称 那么C2对应的函数解析式 沿y轴方向向上平移一个单位 再作关于直线y x的对称变换 y 1 2x 例3 2004年高考 全国 函数y ex的图象 A 与y ex图象关于y轴对称 B 与y ex图象关于坐标原点对称 C 与y e
5、x图象关于y轴对称 D 与y e x图象关于坐标原点对称 D 例4 2005年高考 北京春 函数f x log2x 的图象是 A B C D A 基础题例题 例5 将函数y f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的1 3 纵坐标不变 再将此图象沿x轴方向向左平移2个单位 则与所得图象所对应的函数是 A y f 3x 6 B y f 3x 2 C y f x 3 2 3 D y f x 3 2 A 基础题例题 能力 思维 方法 例6 设f x ax3 bx2 cx d的图象如下图 则b属于 A 0 B 0 1 C 1 2 D 2 解题分析 函数图象告诉我们 f x 在X 0 1 2时的函数值为零
6、 或方程ax3 bx2 cx d 0有解x 0 1 2 据此找出解题的突破口 能力 思维 方法 例6 设f x ax3 bx2 cx d的图象如下图 则b属于 A 0 B 0 1 C 1 2 D 2 能力 思维 方法 例6 设f x ax3 bx2 cx d的图象如下图 则b属于 A 0 B 0 1 C 1 2 D 2 解题回顾 虽然我们没有研究过函数f x ax3 bx2 cx d a 0 的图象和性质 但通过图象提供的信息 运用函数与方程的思想方法还是能够正确地解答该题 解图象题要 用其图 察其形 抓其本 舍其次 本题是数学三种语言 即文字语言 符号语言 图形语言 互译的最佳例证 例7 作
7、出下列各个函数的示意图 1 y 2 2x 2 y log 1 3 3 x 2 3 y log 1 2 x 解题分析 本题显然不是要求我们用描点法作函数的图象 而是要求用图象变换来作各个函数的图象 所以要搞清各个函数与基本函数之间的变换关系即可 有时也将含有绝对值的函数转化为分段函数 解 1 作函数y 2x的图象关于x轴对称的图象 得到y 2x的图象 再将图象向上平移2个单位 可得y 2 2x的图象 解 2 因为 所以可以先将函数y log3x的图象向左平移2个单位 可得y log3 x 2 的图象 再作图象关于x轴对称图象 得y log3 x 2 的图象 最后将图象向下平移1个单位 得y lo
8、g3 x 2 1的图象 例7 作出下列各个函数的示意图 1 y 2 2x 2 y log 1 3 3 x 2 3 y log 1 2 x 3 作的图象关于y轴对称的图象 得的图象 再把x轴下方的部分翻折到x轴上方 可得到的图象 例7 作出下列各个函数的示意图 1 y 2 2x 2 y log 1 3 3 x 2 3 y log 1 2 x 例7 作出下列各个函数的示意图 1 y 2 2x 2 y log 1 3 3 x 2 3 y log 1 2 x 解题回顾 变换后的函数图象要标出特殊的线 如渐近线 和特殊的点 以显示图象的主要特征 处理这类问题的关键是找出基本函数 将函数的解析式分解为只有
9、单一变换的函数链 然后依次进行单一变换 最终得到所要的函数图象 例8 设方程x 2x 4的根为m 方程x log2x 4的根为n 求m n的值 解题分析 求出m与n的准确值 不大可能 怎么办 画出图形 利用数形结合的思想进行求解 注意到函数y 2x与函数y log2x互为反函数 故可在同一坐标系内作出y 2x y log2x及y 4 x的图象 研究它们交点的横坐标的关系 并求得其值 例8 设方程x 2x 4的根为m 方程x log2x 4的根为n 求m n的值 解 在同一坐标系内作出y 2x y log2x及y 4 x的图象 如图 则 m为曲线y 2x与直线y 4 x的交点P的横坐标 n为曲线
10、y log2x与直线y 4 x的交点Q的横坐标 因为函数y 2x与函数y log2x互为反函数 故它们的图象关于直线y x对称 于是点P与点Q关于点A 2 2 对称 从而m n 4 y log2x n m y 2x P Q 例8 设方程x 2x 4的根为m 方程x log2x 4的根为n 求m n的值 y log2x n m y 2x 解题回顾 1 函数图象在研究方程解 大小的估根 根的个数以及根的分布等 中的作用是较大的 利用图象研究方程解的情况 就是将方程根的情况转化为图象交点的横坐标间的关系 这样使得抽象的数的问题变成了直观的形的判断 2 m n满足关系n 2m 变式题 1 作出下列函数
11、的图象 2 方程log2 x 4 3x的实数解的个数是 B A 3B 2C 1D 0 解题回顾 运用函数图象变换及数形结合的思想方法求解 1 2 两题较简便直观 用图象法解题时 图象间的交点坐标应通过方程组求解 用图象法求变量的取值范围时 要特别注意端点值的取舍和特殊情形 3 1 已知0 a 1 方程a x logax 的实根个数是 A 1个 B 2个 C 3个 D 1个或2个或3个 B 误解分析 2 在运用数形结合解答主观性问题时 要将图形的位置关系 尤其是反映数的特征的地方要说明清楚 3 注意平移 伸缩变换的先后次序对变换的影响 可结合具体问题阐述如何进行平移 伸缩变换 1 化简函数解析式时一定要注意的是等价变形 尤其是将函数式转化为解析几何中曲线标准方程时 要注意x或y的范围变化 这一点要特别引起注意 如将y 2mx x2变形为 x m 2 y2 m2 y 0 很容易将y 0丢掉
