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1、数学参考答案第 1 页 共 10 页 扬州市 2019 2020 学年度第一学期期中调研测试试题 高三高三 数学数学 参参 考考 答答 案案 一 一 填空题 填空题 1 1 2 3 4 2 11 22 i 3 0 4 2yx 5 5 6 16 7 6 5 5 8 1 9 3 2 10 3 2 11 2 12 1515 1515 13 2 21 2 14 2 1 3e e 二 解答题 二 解答题 15 解 1 由 1 0 3 x x 得 13Axx 2 分 0m 时 由 2 40 x 得 2 2 B 4 分 1 2 AB 7 分 2 由 22 24 0 xmxm 得 22Bx mxm 9 分 1
2、3Axx 13 R C A 11 分 R BC A 23m 或21m 5m 或3m 实数m的取值范围为 35 14 分 16 解 5 3 cos 2 0 5 4 sin 4 tan 3 2 分 4 1tantan 34 tan 7 4 4 1tantan11 43 6 分 2 25 24 cossin22sin 8 分 25 7 sincos2cos 22 10 分 则sin 2 sin2 coscos2 sin 666 数学参考答案第 2 页 共 10 页 24371724 3 25225250 14 分 17 解 1 因 为 3l yk x 与 圆 C 相 切 所 以 圆 心C到 直 线
3、的 距 离 2 32 2 1 k d k 3 分 解得0k 或 12 5 k 所以斜率k为 0 或12 5 7 分 2 法一 当l的倾斜角为 45 时 3l yx 令0 x 得3y 所以 0 3B 由 2 2 3 24 yx xy 解得 17 2 37 2 x y 舍去 或 17 2 37 2 x y 所以 17 37 22 D 10 分 则 1717 3 3 22 ABBD 12 分 所以 3 71 17 2 15 分 法二 当l的倾斜角为 45 时 3l yx 令0 x 得3y 所以 0 3B 过点 C 作 AB 的垂线交 AB 于点 M 则 CM BM 22 32 2 2 11 10 分
4、 2 14 4 2 MDCM 142 22 BD 12 分 又 2 2 333 2AB 所以 3 2 71 142 2 15 分 数学参考答案第 3 页 共 10 页 法三 当l的倾斜角为 45 时 3l yx 令0 x 得3y 所以 0 3B 设 00 D xy 因为ABBD 点D在第一象限 所以 00 3 3 3xy 0 则 0 0 3 33 x y 得 0 0 3 3 3 x y 即 3 3 3D 12 分 又点 D 在圆上 所以 22 33 324 解得17 舍去 或 71 15 分 18 解 设EF中点为M 连结OM 则cos 2sinOMAD 1 当 3 时 杠铃形图案的面积 12
5、 22 sincoscos 323333 S 232 323 5 分 答 当 3 时 杠铃形图案的面积为 232 323 平方米 6 分 2 杠铃形图案的面积 2 2sincoscos 3 S S 22 2 2 1 cossin sin 3 2 2 2 2sinsin 3 9 分 因为 5 412 所以 2 21 2sinsin2sin sin 0 33 0S S 单调递增 11 分 所 以 当 4 时 S 的 最 小 值 为 2 2sincoscos 44434 S 2 2 1 23 答 杠铃形图案的面积的最小时为 2 2 1 23 平方米 15 分 数学参考答案第 4 页 共 10 页 1
6、9 解 1 设椭圆的焦距为2c 因为线段F F 12为直径的圆与椭圆交于点 3 54 5 55 P 所以 2 5c 法一 12 5 0 5 0FF 则 12 26aPFPF 3a 所以 22 952bac 则椭圆的方程为 22 1 94 xy 4 分 法二 又点 3 54 5 55 P 在椭圆上 所以 22 22 22 3 54 5 55 1 5 ab ab 解得 2 2 9 4 a b 所以椭圆的方程为 22 1 94 xy 4 分 2 因为直线ykxt 与圆相切 所以 2 5 1 t k 即 22 5 1tk 由 22 1 94 ykxt xy 消去y得 222 94189360kxktx
7、t 因为直线与椭圆相切 所以 2 22 184 936940kttk 即 22 940kt 联立 得 1 2 5 2 k t 负值舍去 10 分 取 BD 中点 M 连结 OM 则OMAB 又ABDE 所以M为 AE 中点 法一 由 1 ykxt yx k 解得 22 11 ktt M kk 所以 2 22 1 2 11 tk kt E kk 数学参考答案第 5 页 共 10 页 代入椭圆方程化简得 42 2 42 3621 929 kk t kk 2 2 42 361 929 k kk 设 2 1 1mk 则 2 2 36 11 204 2 t m 当2m 时 t取最大值 3 此时1k 又1
8、k 3t 时 15 24 0 3 1 2 2 1 3 0 13 13 ABCDE 符合题意 故t的最大值为 3 不检验扣 1 分 16 分 法二 则OMAB M为 AE 中点所以OEOAt 由 222 22 1 94 xyt xy 解得 2 2 94 5 t x 则 2 2 5 4 9 x t 又 2 9x 所以3t t的最大值为 3 此时1k 又1k 3t 时 15 24 0 3 1 2 2 1 3 0 13 13 ABCDE 符合题意 故t的最大值为 3 不检验扣 1 分 16 分 20 解 1 f x的定义域为 0 当1a 时 2 1 ln21 22 f xxxxfxx x 1 1 f
9、所以 函数 f x在1x 处的切线方程为2 1 yx 即 30 xy 2 分 2 2 ln22f xxaxaxa 2 221 0 axax fxx x 当0a 时 1 0 fx x f x 是单调减函数 符合 3 分 当0a 时 f x若是单调增函数 则 2 221 0 axax fx x 即 2 2210 0 axaxx 恒成立 这不可能 5 分 f x若是单调减函数 则 2 221 0 axax fx x 即 2 2210 0 axaxx 恒成立 令 2 h x 221axax 其开口方向向上 对称轴方程为 1 2 x h 0 10 故 2 min 111 2 210 02 222 h x
10、haaa 又 1 2 aZa 7 分 综上 满足条件的非负整数a的值是0 1 2 8 分 3 3g xf xx 数学参考答案第 6 页 共 10 页 2 ln 21 1g xxaxaxa 2 2 21 1 1 21 1 221 axaxxax g xaxa xxx 当0a 时 21 0 ax x 当01x 时 0g x g x在 0 1 上为减函数 当1x 时 g 0 x g x在 1 上为增函数 所以当 0 xb 1 be 时 min 1 0 g xgg b 不符合题意 10 分 当0a 时 1 2 1 2 g a xx a x x i 当 1 1 2a 即 1 2 a 时 当x变化时 g
11、g xx 的变化情况如下 x 1 0 2a 1 2a 1 1 2a 1 1 g x 0 0 g x 极小值 极大值 若满足题意 只需满足 1 2 gg e a 整理得 2 1 ln2 2 20 4 aee ae a 令 2 11 ln2 2 2 42 F aaee ae a a 当 1 2 a 时 2 22 1141 2 2 0 44 a F aeee e aaa 所以 F a在 1 2 上为增函数 所以 当 1 2 a 时 22 11111 2 2 2 0 22222 F aFeeee 可见 当 1 2 a 时 1 2 gg e a 恒成立 故当 1 2 a 0 xb 12 b 时 函数 g
12、 x的 最小值为 g b 所以 1 2 a 满足题意 12 分 当 1 1 2a 即 1 2 a 时 2 1 0 x g x x 当且仅当1x 时取等号 所以 g x在 0 上为减函数 从而 g x在 0 b上为减函数 符合题意 13 分 当 1 1 2a 即 1 0 2 a 时 当x变化时 g x g x 的变化情况如下表 x 0 1 1 1 1 2a 1 2a 1 2a g x 0 0 数学参考答案第 7 页 共 10 页 g x 极小值0 极大值 若满足题意 只需满足 1 g eg 且 1 2 e a 若 1 2 e a 不符合题意 即 2 2 1 e a e 且 1 2 a e 又 2
13、 22 21 1 2 0 1 22 1 ee eee e 2 22 21 2 1 0 1 22 1 ee ee 2 21 1 2 e a e 综上 2 2 1 e a e 所以实数a的取值范围是 2 2 1 e e 16 分 21 解 1 因为矩阵 1 03 a A 属于特征值 的一个特征向量为 1 1 所以 111 0311 a 即 1 3 a 所以 4 3 a 5 分 2 由 1 知 41 03 A 所以 2 4141167 030309 A 10 分 22 解 1 每次取得白球的概率是 2 5 取得红球的概率是 3 5 两次都取得白球的概率是 2 5 2 两次都取得红球的概率是 3 5
14、2 故两次取得的球颜色相同的概率为 234913 55252525 22 3 分 2 X可能的取值为 2 3 4 4 分 224 2 5525 P X 233212 3 555525 P X 339 4 5525 P X 8 分 所以X的分布列为 X 2 3 4 P 4 25 12 25 9 25 所以X的数学期望 412916 234 2525255 E X 10 分 数学参考答案第 8 页 共 10 页 23 解 在正三棱柱 111 ABCA BC 中 取 AB 中点 O 取 A1B1中点 O1 连 OC OO1 则 OO1 AA1 AB OC 又正三棱柱 111 ABCA BC 中 AA
15、1 平面 ABC AB OC 平面 ABC 所以 AA1 OC AA1 AB 所以 OO1 OC OO1 AB 以 O 为坐标原点 OA OO1 OC 所在直线分别为 x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系 Oxyz 则 O 0 0 0 A 1 0 0 C 0 0 3 C0 2 3 1 E 1 2 0 F1 22 0 1 2 3CE 1 1 2 3C F 1 若 1 2 1 1 3CE 1 1 1 3C F 1 1 1 1 131 cos 555 CE C F CE C F CEC F 故异面直 线 CE 与 1 C F所成角的余弦值为 1 5 5 分 2 由 1 可得 1 22 3CF 设
16、平面 CEF 的一个法向量 nx y z 则 230 2230 n CExyz n CFxyz 取1z 得 32 3 3 1n 取平面 AEF 的一个法向量 OC0 0 3 由二面角AEFC 的大小为 且 2 5 5 sin 得 22 2 35 cos 5 332 331 OC n OC n OCn 化简得 2 1 21 3 所以 3 6 3 10 分 24 解 1 21 11 1 11SC 2 12132 2222 1 1113 1 1 1 2 222 kk k SCCC k 3 1213243 33333 1 111313111 1 1 1 1 3 2323236 kk k SCCCC k 数学参考答案第 9 页 共 10 页 所以 21 1 2 SS 32 1 3 SS 4 分 2 猜想 1 1 0 n n k S k 即 111 1 23 n S n 5 分 证法一 下面用数学归纳法证明 1 当1n 时 由 1 知 1 1S 成立 2 假设当nm 时 1 1 1111 1 1 23 m kk mm k SC km 则当1nm 时 1 112 111 11 111 1 1 1 1
