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1、可编辑 1 凸优化理论与应用 第9章内点法 可编辑 2 则优化问题具有强对偶性 其对偶问题亦可解 假设存在 满足严格不等式条件 不等式约束优化问题 问题描述 为凸函数 且二次连续可微 且 假设最优值存在 可编辑 3 不具备良好的连续可微性 考虑用对数阀函数来近似替代 不等式约束的消去 示性函数消去不等式约束 可编辑 4 令 对数阀函数 对于 是的光滑逼近 且当时 有 带示性函数的优化问题可近似为 可编辑 5 对数阀函数二阶连续可微 导数为 对数阀函数 对数阀函数是凸函数 可编辑 6 中心线 对数阀近似问题的等价问题 最优解为 则最优解集称为优化问题的中心线 可编辑 7 中心线的对偶点 设 则存
2、在满足KKT条件 为对偶问题的可行解 令 则是拉格朗日函数的最小值解 可编辑 8 中心线的对偶点 设为原始问题的最优值 则有 因此 当时 有 为原始问题的次优解 可编辑 9 更新 阀方法 初始化 给定严格可行解 及 LOOP 中心步骤 以为初始点求解优化问题 迭代 终止条件 若 则终止退出 可编辑 10 收敛性分析 外层循环迭代次数 中心步骤实质为一个无约束或等式约束优化问题 其收敛性分析与相应优化问题的收敛性分析结果一致 可编辑 11 例 LP问题 初始值 可编辑 12 当时 原始问题不可解 当时 无法准确确定 第一阶段方法 对于不等式约束的优化问题 如何寻找严格可行解或验证不可解 求解优化问题 该问题最优解存在 假设最优值为 当时 存在严格可行解 可编辑 13 第一阶段方法 优化目标为逐项之和 对于固定的 可编辑 14 寻找严格可行解的方法 牛顿法求解优化问题 迭代终止条件 当前解 即终止迭代 严格可行解为
