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1、线性回归linearregression 概率与统计知识拓展部分 本章知识框架 正常状态下 由身高预测体重 kg 一 课题引入 体重预测值 cm 0 72kg cm 身高 58 5kg 1 两个变量之间的关系 函数关系 非确定关系 自变量取值一定时 因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系 二 新课讲解 2 相关关系与函数关系的异同点 一 相同点 均是指两个变量的关系 二 不同点 1 函数关系是自变量与因变量之间的关系 这种关系是两个非随机变量的关系 而相关关系是非随机变量与随机变量的关系 2 函数关系是一种因果关系 具有确定性 而相关关系不一定是因果关系 也可能是伴随关系
2、是一种非确定的关系 3 现实生活中存在着大量的相关关系 如 人的身高与年龄 产品的成本与生产数量 商品的销售额与广告费 家庭的支出与收入 等等 4 回归分析 实质 通俗地讲 回归分析是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性 定义 对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法 6 1概念的构建与引入 田地施肥量与作物产量 例1 在7块并排 形状大小相同的试验田上进行施化肥量对水稻产量影响的试验 得到如下表所示的一组数据 单位 kg 5 典型范例 第一次不点 6 散点图 1 定义 表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形 2 作用 形象反映各对数据的密切程度 7 观察散点图的特征 发现各点大致分布
3、在一条直线的附近 哪一条最能代表变量X与Y之间的关系呢 这样的直线可以画多少条呢 8 一般地 设x与y是具有相关关系的两个变量 且相应于n个观测值的n个点大致分布在一条直线的附近 我们来求在整体上与这n个点最接近的一条直线 1 设所求的直线的方程是 其中是待确定的参数 于是 当变量x取一组数值时 相应地 2 各个偏差 的符号有正有负 相加会相互抵消 的和不能代表n个点与相应直线在整体上的接近程度 用Q来表示n个点与相应直线在整体上的接近程度 即 3 各偏差的平方和 4 求出使Q为最小值时的a b的值 其中 解 由题意 列出如下所示表格 因此所求回归直线方程是 由上表所可知 5 回归直线方程的用
4、途 可以利用它求出相应于x的估计值 例如 当x 28kg时 y的估计值是多少呢 例2 2004年杭州市测验题 右表是某省20个县城2003年的一份统计资料 其中xi表示第i个县城在2003年建成的新住宅面积 千平方米 yi表示第i个县城在2003年的家具销售量 万元 如果y与x之间具有线性相关关系 求回归直线方程 解 由已知数据可以算出 即为所求的回归直线方程 9 如下图是一组观测值的散点图 按照上述方法 同样可以就这组数据求得一个回归直线方程 这显然毫无意义 任给出一组数据能否由此求出它的线形回归方程 想一想 所求得的回归直线方程 在什么情况下才能对相应的一组数据观测值具有代表意义呢 10
5、相关检验 1 样本相关系数 相关系数 2 相关系数的范围 r 1 3 相关系数的作用 衡量两变量之间的线形相关程度 若 r 越接近于1 相关程度越大 若 r 越接近于0 相关程度越小 例3 利用r的计算公式来计算例1中水稻产量与施化肥的相关系数 解 由 得到相关系数 4 显著性检验的一般步骤 在附表3中查出与显著性水平0 05与自由度n 2 n为观测值组数 相应的相关系数临界值 显著性水平0 05是一个作为发生小概率事件的临界值 0 9 0 99以及上一节中用到的0 997等也都是常用的显著性水平 设待检验的统计假设是两个变量不具有相关关系 根据公式求出相关系数r的值 检验所得结果 如果 r
6、那么可以认为y与x之间的线形关系不显著 从而接受统计假设 如果 r 表明一个发生的概率不到5 的事件在一次试验中竟发生了 这个小概率事件的发生使我们有理由认为y与x之间不具有线形相关关系的假设是不成立的 从而拒绝这一统计假设 也就是表明可以认为y与x之间具有线形相关关系 例4 按照上面的步骤 我们来检验例1中水稻产量与施化肥量之间是否存在线性相关关系 第1步 在附表3中查出与显著性水平0 05和自由度7 2相应的相关关系数临界值 第2步 刚刚我们已经算出 第3步 因为 这说明水稻产量与施化肥量之间存在着线性相关关系 从此也可以表明 前面我们求得的这两个变量之间的回归直线方程是有效 有意义的 课
7、时小结 1 本节课我们学习了线形回归的几个基本概念 两个变量之间的相关关系 回归分析 散点图 回归直线方程 回归直线 线性回归分析 2 共同探讨了已知各对数据如何求回归直线方程 其推导方法是利用配方法 3 另外通过本节课的学习 我们看到 由部分观测值得到的回归直线 可以对两个变量间的线形相关关系进行估计 4 函数关系是一种理想的关系模型 而相关关系是一种更一般的情况 5 通常 在尚未确定两个变量之间是否具有线性相关关系的情况下 应先进行相关性检验 在确认其具有线性相关关系后 再求其回归直线方程 1 阅读课本内容及后面的阅读材料 2 做课本P42习题1 6第1 2 3题及 导学 上同步训练 课外作业 3 预习本章后的 小结与复习 再见
