中职数学第三章函数

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1、函数 函数 设在一个变化过程中有两个变量 x与y 如果对于x的每一个值 y都有 唯一的值与它对应 那么就说y是x 的函数 思考 1 y 1 x R 是函数吗 2 y x与y 是同一函数吗 x叫做自变量 时间t的变化范围是数集A t 0 t 26 高度h的变化范围是数集B h 0 h 845 对于数集A中的任意一个时刻t 按照对应关系h 130t 5t2 在数集B中都有唯一的高度h和它对应 二 问题情境 时间t的变化范围是数集A t 1979 t 2001 面积S的变化范围是数集B S 0 S 26 对于数集A中的每一个时刻t 按照图中的曲线 在数集B中都有唯一确定的臭氧层空洞面积S和它对应 时

2、间构成一个数集A 恩格尔系数构成一个数集B 对于数集A中的每一个时刻t 按照表中的对应值 在数集B中都有唯一确定的恩格尔系数和它对应 上述例子有什么共同点 设A B是非空数集 如果按照某种对应关系f 使对于集合A中的任意一个数x 在集合B中都有唯一确定的数f x 和它对应 那么就称f A B为从集合A到集合B的一个函数 记作y f x x A x叫做自变量 x的取值范围A叫做函数的定义域 与x的值相对应的y的值叫做函数值 函数值的集合 f x x A 叫做函数的值域 初中各类函数的对应法则 定义域 值域分别是什么 三 函数的概念 R R R R R 三 函数的概念 三 函数的概念 设a b是两

3、个实数 而且a b 我们规定 1 满足不等式a x b的实数x的集合叫做闭区间 表示为 a b 2 满足不等式a x b的实数x的集合叫做开区间 表示为 a b 1 满足不等式a x b或a x b的实数x的集合叫做半开半闭区间 表示为 a b 或 a b 实数集R可以用区间表示为 读作 无穷大 满足x a x a x b x b的实数的集合分别表示为 a a b b 四 区间的概念 集合表示 区间表示 数轴表示 xa x b a b xa x b a b xa x b a b xa x b a b xx a a xx a a xx b b xx b b xx R 数轴上所有的点 试用区间表示

4、下列实数集合 1 x 5 x 6 2 x x 9 3 x x 1 x 5 x 2 连续数集 定义域是研究任何函数的前提 函数的定义域常常由其实际背景决定 若只给出解析式时 定义域就是使这个式子有意义的实数x的集合 实数集R 使分母不等于0的实数的集合 使根号内的式子大于或等于0的实数的集合 使各部分式子都有意义的实数的集合 即各集合的交集 使实际问题有意义的实数的集合 3 如果y f x 是二次根式 则定义域是 4 如果y f x 是由几个部分的式子构成的 则定义域是 1 如果y f x 是整式 则定义域是 2 如果y f x 是分式 则定义域是 5 如果是实际问题 是 五 例题 自变量x在其

5、定义域内任取一个确定的值时 对应的函数值用符号表示 例2下列函数中哪个与函数y x是同一个函数 如何判断两个函数是否相同 五 例题 如果两个函数的定义域相同 对应关系完全一样 则称这两个函数相等 六 课后小结 函数的基本性质 教学过程 教学目标 1 理解偶函数与奇函数的概念和图像特征 会证明简单函数的奇偶性 2 函数为偶函数或奇函数的必要条件与充要条件 3 从 数 和 形 两个角度来检验函数的奇偶性 教学重点与难点 教学重点 偶函数与奇函数的概念和图像特征 会证明简单函数的奇偶性 教学难点 函数为偶函数或奇函数充要条件的证明 教学方法 启发式教学 教学手段 多媒体辅助教学 函数的奇偶性 y f

6、 1 f 1 f 2 f 2 y x2 1 1 4 4 f x0 f x0 f x f x 一 引入 若对于函数y f x 的定义域D内的任意实数x 都有f x f x 则称函数y f x 为偶函数 evenfunction 1 偶函数的定义 二 偶函数的定义与性质 2 函数是偶函数的必要条件 函数的定义域D关于原点对称 3 偶函数的几何性质 偶函数的图像关于y轴成轴对称图形 函数的图像关于y轴成轴对称图形是这个函数是偶函数的充要条件 4 函数是偶函数的充要条件 由偶函数定义知 则 若 从定义我们可以看出在定义域内任取x 必有 x 与其对应 且 x 也必须在定义域内 这样就保证了f x f x

7、 都有意义 才能判断f x 是否与f x 相等 偶函数的定义域D关于原点对称 优先考虑定义域 偶函数的图象特征及验证 从图像可以看出的图像是关于y轴对称的 问题 是不是对于所有的偶函数 其图像都是关于y轴对称的呢 证明 在定义域D内 任取实数a 则 A a f a B a f a 都是函数f x 的图像上的点 因为f x 是偶函数 所以有f a f a 所以 点B坐标可表示为 a f a 与A a f a 关于y轴对称 所以 f x 的图像上的点A与点B关于y轴成轴对称 因此 f x 的图像关于y轴成轴对称图形 若函数y f x 是偶函数 则其图像关于y轴成轴对称图形 若一个函数的图像关于y轴

8、成轴对称图形 则这个函数必是偶函数 函数的图像关于y轴成轴对称图形是这个函数为偶函数的充要条件 偶函数的几何性质 研究下面函数的图像 你能得到什么结论呢 f x f x 3 奇函数的几何性质 函数的图像关于原点成中心对称图形是这个函数是奇函数的充要条件 4 函数是奇函数的充要条件 若对于函数y f x 的定义域D内的任意实数x 都有f x f x 则称函数y f x 为奇函数 oddfunction 1 奇函数的定义 三 奇函数的定义与性质 2 函数是奇函数的必要条件 函数的定义域D关于原点对称 奇函数的图像关于原点成中心对称图形 1 偶函数的性质小结 代数性质 几何性质 对于定义域D内任一实

9、数x 都有f x f x 偶函数的图像关于y轴成轴对称图形 必要条件 定义域关于原点对称 2 奇函数的性质小结 代数性质 几何性质 对于定义域D内任一实数x 都有f x f x 奇函数的图像关于原点成中心对称图形 必要条件 定义域关于原点对称 四 例题举隅 判断函数奇偶性的方法 定义域是否关于原点对称 f x 是非奇非偶函数 f x 是偶函数 f x 是奇函数 f x 既是奇函数又是偶函数 函数y 0 定义域 a a f x 是非奇非偶函数 通过举反例 1 图像法 2 定义法 1 当 时一次函数f x ax b a 0 是奇函数 2 当 时二次函数f x ax2 bx c a 0 是偶函数 例

10、2 既不是奇函数又不是偶函数 既不是奇函数又不是偶函数 b 0 b 0 不可能是偶函数 不可能是奇函数 3 正比例函数 反比例函数的奇偶性怎样呢 都是奇函数 思考 例4 结论 奇 奇 奇 偶 偶 偶 奇 奇 偶 偶 偶 偶 奇 偶 不确定 奇 偶 奇 例5 知识内容 思想与方法 五 课堂小结 1 偶函数与奇函数的定义和图像特征 2 函数为偶函数或奇函数的必要条件与充要条件 3 从 数 和 形 两个角度检验函数的奇偶性 类比 数形结合 函数的基本性质 函数的单调性 观察下列各个函数的图象 并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律 1 观察这三个图象 你能说出图象的特征吗 2 随x的增大 y的值

11、有什么变化 画出下列函数的图象 观察其变化规律 1 从左至右图象上升还是下降 2 在区间 上 随着x的增大 f x 的值随着 f x x 增大 上升 1 在区间 上 f x 的值随着x的增大而 2 在区间 上 f x 的值随着x的增大而 f x x2 0 0 增大 减小 画出下列函数的图象 观察其变化规律 一 函数单调性定义 一般地 设函数y f x 的定义域为I 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1 x2 当x1 x2时 都有f x1 f x2 那么就说f x 在区间D上是增函数 1 增函数 一般地 设函数y f x 的定义域为I 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自

12、变量x1 x2 当x1f x2 那么就说f x 在区间D上是减函数 2 减函数 1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质 是函数的局部性质 注意 2 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1 x2 当x1f x2 分别是增函数和减函数 如果函数y f x 在某个区间上是增函数或是减函数 那么就说函数y f x 在这一区间具有 严格的 单调性 区间D叫做y f x 的单调区间 二 函数的单调性定义 在增函数在减函数 在增函数在减函数 在 是减函数 在 0 和 0 是减函数 在 是增函数 在 0 和 0 是增函数 例1 下图是定义在区间 5 5 上的函数y f x 根据图象说出函数的单调区间

13、以及在每个区间上 它是增函数还是减函数 解 函数y f x 的单调区间有 5 2 2 1 1 3 3 5 其中y f x 在区间 5 2 1 3 是减函数 在区间 2 1 3 5 上是增函数 例2 物理学中的玻意耳定律告诉我们 对于一定量的气体 当其体积V减小时 压强p将增大 试用函数的单调性证明之 证明 根据单调性的定义 设V1 V2是定义域 0 上的任意两个实数 且V1 V2 则 由V1 V2 0 且V10 V2 V1 0 又k 0 于是 所以 函数是减函数 也就是说 当体积V减少时 压强p将增大 取值 定号 结论 三 判断函数单调性的方法步骤 1任取x1 x2 D 且x1 x2 2作差f x1 f x2 3变形 通常是因式分解和配方 4定号 即判断差f x1 f x2 的正负 5下结论 即指出函数f x 在给定的区间D上的单调性 利用定义证明函数f x 在给定的区间D上的单调性的一般步骤 思考 思考 画出反比例函数的图象 1这个函数的定义域是什么 2它在定义域I上的单调性怎样 证明你的结论 证明 函数f x 1 x在 0 上是减函数 证明 设x1 x2是 0 上任意两个实数 且x1 x2 则 f x1 f x2 由于x1 x2得x1x2 0 又由x10所以f x1 f x2 0 即f x1 f x2 因此f x 1 x在 0 上是减函数 取值 定号 变形 作差 判断