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1、1 高三数学理科限时训练 2014 1 5 一 选择题 本大题共12 个小题 每小题5 分 共 60 分 1 已知集合 1 1 2 1 0 1 2 28R 2 x MNxx 则MNI A 1 0 1 B 2 1 0 1 2 C 0 1 D 1 0 2 设复数z的共轭复数为z 若 3 1 2 i zi则复数z A iB i C 1i D 1i 3 若 1 e u r 2 e u r 是夹角为 3 的单位向量 且 12 2aee ru ru r 12 32bee ru ru r 则a b rr A 1 B 4 C 7 2 D 7 2 4 已知各项不为 0的等差数列 n a 满足 2 3711 22
2、0aaa 数列 n b是等比数列 且 77 ba 则 68 b b A 2 B 4 C 8 D 16 5 已知命题p 1 x 命题q 06 2 xx 则q是p成立的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要 条件 6 已知函数 Rxxf 为奇函数 2 1 2 2 ff xf xf 则 3 f 等于 A 1 2 B 1 C 3 2 D 2 7 一个几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 A 3 3 B 2 3 C 3 D 2 3 3 2 8 已知m n为两条不同的直线 为两个不同的平面 则下列命题中正确的是 A 若lm ln 且 m n 则l B 若平面内有
3、不共线的三点到平面的距离相等 则 C 若nmm 则 n D 若nnm 则m 9 如果函数 px nx y 2 1 的图象关于点A 1 2 对称 那么 A p 2 n 4 B p 2 n 4 C p 2 n 4 D p 2 n 4 10 直线l与圆 22 240 3 xyxyaa相交于 A B两点 若弦AB的中点为 2 3 则直线l的方程为 A 50 xy B 10 xy C 50 xy D 30 xy 11 已知实数 x y满足约束条件 1 1 22 xy xy xy 若函数0 0zaxby ab的最大值为 1 则 11 ab 的最小值为 A 74 3 B 72 3C 8 3 D 4 3 12
4、 已知集合M x y yf x 若对于任意 11 x y M 存在 22 x y M 使得 3 1212 0 x xy y成立 则称集合M是 垂直对点集 给出下列四个集合 M 1 x y y x M 1 x y ysin x M 2 x y ylogx M 2 x x y ye 其中是 垂直对点集 的序号是 A B C D 第 II卷 共 90 分 二 填空题 本大题共4 小题 每小题4 分 共 16 分 13 已知两条直线23210yaxxay和互相平行 则a等于 14 由直线 0 33 xxy与曲线cosyx所围成的封闭图形的面积为 15 椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的左
5、右顶点分别是A B 左 右焦点分别是F1 F2 若 AF1 F1F2 F1B 成等比数列 则此椭圆的离心率为 16 已知 lg 0 2 0 x xx f x x 则函数 2 2 3 1yfxf x的零点的个数为 个 三 解答题 本大题共有6 个小题 共 74 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 17 本小题满分12 分 已知向量 cos sin axx r 3 cos cos bxx r 若 3a bf x rr 1 求函数 f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 2 求函数 f x 在区间 5 12 12 上的值域 18 本题满分12 分 数列 n a的前n项和为 n S 1 1a
6、1 21 nn aS nN 等 差数列 n b满足 35 3 9bb 1 分别求数列 n a n b的通项公式 4 2 设 2 2 n n n b cnN a 求证 1 1 3 nn cc 19 本小题满分12 分 设命题 p关于x的二次方程 2 120 xaxa的一个根大 于零 另一根小于零 命题 q不等式 2 22xxax对 1x上恒成立 如果 命题 pq 为真命题 命题 pq 为假命题 求实数a的取值范围 20 本小题满分12 分 三棱锥PABC 底面ABC为边长为2 3的正三角形 平面 PBC平面ABC 2PBPC D为AP上一点 2ADDP O为底面三角形中心 求证 DO 面PBC
7、求证 BDAC 设M为PC中点 求二面角MBDO的余弦值 21 本小题满分13 分 已知中心在原点 焦点在x 轴上的椭圆C的离心率为 1 2 且椭圆经 过点 0 3 I 求椭圆 C的标准方程 是否存在过点P 2 1 的直线l与椭圆C 交于不同的两点A B 满足PA u uu r 5 4 PB uu u r 若存在 求出直线l的方程 若不存在 请说明理由 22 本 小 题 满 分 13 分 已 知 函 数 32 f xaxbx在 点 3 3 f处 的 切 线 方 程 为 122270 xy 且对任意的0 x ln 1 fxkx恒成立 求函数 f x的解析式 求实数k的最小值 求证 111 1ln
8、 1 2 23 n n K Nn 附加题 在实数集R上定义运算 2 2 xgxfxFxexgexfaRayaxyx xx 为常数 若 求F x 的解析式 山东中学联盟 P D C B A O 5 若F x 在 R上是减函数 求实数a的取值范围 若a 3 在 F x 的曲线上是否存在两点 使得过这两点的切线互相垂直 若存在 求出切线方程 若不存在 说明理由 高三理科数学限时练习答案 ADCDB CADAA AD 3或 1 3 5 5 5 17 解 1 3a bf x rr 2 3 cossincos3xxx 3133 cos2sin 2 222 xx 3 3 sin2 32 x 2 2 T 图象
9、的对称轴方程为 212 k xkZ 2 由于区间 5 1212 的长度为 2 为半个周期 又 fx 在 5 1212 处分别取到函数的最小值 33 1 2 最大值 3 3 1 2 所以函数 f x 在区间 5 1212 上的值域为 3 33 3 1 1 22 18 解 1 由 1 21 nn aS 得 1 21 nn aS 得 11 2 nnnn aaSS 1 3 nn aa 2 分 1 3 n n a 3分 53 26 3bbdd 4 分36 n bn 6 分 2 因为 1 22 3 3 n nn abn 8 分所以 1 3 33 nnn nn c 9 分 所以0 3 21 1 1 n nn
10、 n cc 10 分 11 1 3 nn ccc 11 分 所以 1 1 3 nn cc 12 分 19 解 令 2 12f xxaxa 因为关于x的二次方程 2 120 xaxa的 一个根大于零 另一根小于零 所以 0 0f 即 20a 解得 命题p为真时 6 2 a 3 分 因 为 1x 所 以 由 不 等 式 2 22xxax可 得 2 21ax x 令 2 21g xx x 由g x在 1上 单 调 递 增 故 1g x 又 不 等 式 2 22xxax对 1x上恒成立 所以命题 q为真时1a 7 分 因为命题 pq 为真命题 命题 pq 为假命题 所以 1 若p真q假 得1 a 9
11、分 2 若p假q真 得 2a 11 分 综上可得 1a 或 2a 12 分 20 本小题满分12 分 证明 连结 AO交BC于点E 连结PE OQ 为正三角形 ABC的中心 2AOOE 且E为BC中点 又2ADDP DO PE 2分 DOQ平面PBC PE平面PBC DO 面PBC 4分 PBPCQ 且E为BC中点 PEBC 又平面 PBC 平面ABC PE平面ABC 5分 由 知 DO PE DO平面PBC DOAC 6分 连结BO 则ACBO 又DOBOOI AC平面DOB ACBD 8分 由 知 EA EB EP两两互相垂直 且E为BC中点 所以分别以 EA EB EP 所在直线为 x
12、y z轴 建立空间直角坐标系 如图 则 23 1 3 0 0 0 3 0 0 0 1 1 0 0 3 0 0 322 ABPDCM 9 分 3 3 12 0 1 3 223 BMDB uuu ruu u r 设平面 BDM 的法向量为 nx y z u r 则 2 30 3 3 31 0 22 n DBxyz n BMyz r uu u r r uuu r 令1y 则 3 1 3 3 n r 10分 由 知AC平面DBO 33 0 AC uuu r 为平面DBO的法向量 P D C B A O E x y z M 7 3 3331 cos 31312793 n AC n AC nAC ruuu
13、 r r uuu r ruuu r 由图可知 二面角MBDO的余弦值为 31 31 12分 21 解 1 设椭圆 C的标准方程为 22 22 1 0 xy ab ab 由题意得 3b 由 1 2 c a 得2 1ac故椭圆 C的标准方程为 22 1 43 xy 2 若存在过点P 2 1 的直线l满足条件 则l的斜率存在 22 本小题满分13分 解 将3x代入直线方程得 9 2 y 9 279 2 ab 1分 2 32 3 6fxaxbx f 2766ab 2分 8 联立 解得 11 32 ab 32 11 32 f xxx 3分 2 fxxx 2 ln 1 xxkx在0 x上恒成立 即 2 l
14、n 1 0 xxkx在0 x恒成立 4分 设 2 ln 1 g xxxkx 0 0g 只需证对于任意的0 x有 0 g xg 5 分 2 21 21 0 11 kxxk g xxx xx 设 2 21h xxxk 1 当 18 1 0k 即 9 8 k时 0h x 0gx g x在0 单调递增 0 g xg 6分 2 当 18 1 0k 即 9 8 k时 设12 x x是方程 2 210 xxk的两根且12xx 由 12 1 2 xx 可 知 1 0 x 分 析 题 意 可 知 当 2 0 x时 对 任 意0 x有 0 g xg 10 1kk 9 1 8 k 7分 综上分析 实数k的最小值为
15、1 8 分 令1k 有 2 ln 1 xxx即 2 ln 1 xxx在0 x恒成立 9分 令 1 x n 得 22 1111 ln 1 ln 1 lnnn nnnn 11分 222 111111 11 ln 2ln1 ln 3ln 2 ln 1 ln 2323 nn nn KKL 222 111111 1ln 1 1ln 1 231 223 1 nn nnn KK 1 2ln 1 2ln 1 nn n 原不等式得证 13分 附加题 解 I 由题意 F x f x a g x 2 分 e x a e x 2x2 ae x 1 2x2ex 4 分 II F x ae x 2x2ex 4xex ex 2 x 2 4x a 6 分 当 x R时 F x 在减函数 F x 0 对于x R恒成立 即 9 e x 2 x 2 4x a 0 恒成立 8 分 e x 0 2x 2 4x a 0 恒成立 16 8 a 0 a 2 9 分 III 当a 3 时 F x 3e x 1 2x2ex 设 P x1 y1 Q x2 y2 是 F x 曲线上的任意两点 F x e x 2 x 2 4x 3 e x 2 x 1 2 1 0 F x1 F x2 1 不成立 12 分 F x 的曲线上不存的两点 使得过这两点的切线点互相垂直 13 分
