《数学江苏专用新设计大一轮课件：第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ 第5讲》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学江苏专用新设计大一轮课件：第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ 第5讲（36页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第5讲二次函数与幂函数 知识梳理 1 幂函数 1 幂函数的定义一般地 形如 的函数称为幂函数 其中x是自变量 为常数 2 常见的五种幂函数的图象 y x 3 常见的五种幂函数的性质 0 y y R 且y 0 2 二次函数 1 二次函数解析式的三种形式 一般式 f x 顶点式 f x a x m 2 n a 0 顶点坐标为 两点式 f x a x x1 x x2 a 0 ax2 bx c a 0 m n 2 二次函数的图象和性质 1 思考辨析 在括号内打 或 2 当n 0时 幂函数y xn在 0 上是增函数 3 二次函数y ax2 bx c x R 不可能是偶函数 诊断自测 3 由于当b 0时
2、y ax2 bx c ax2 c为偶函数 故 3 错误 答案 1 2 3 4 2 若幂函数y m2 3m 3 xm2 m 2的图象不经过原点 则实数m的值为 经检验m 1或2都适合 答案1或2 3 已知f x x2 px q满足f 1 f 2 0 则f 1 的值是 解析由f 1 f 2 0知方程x2 px q 0的两根分别为1 2 则p 3 q 2 f x x2 3x 2 f 1 6 答案6 答案c a b 5 2017 北京卷 已知x 0 y 0 且x y 1 则x2 y2的取值范围是 解析由题意知 y 1 x y 0 x 0 0 x 1 考点一幂函数的图象和性质 答案 1 3 5 2 规律
3、方法 1 可以借助幂函数的图象理解函数的对称性 单调性 2 的正负 当 0时 图象过原点和 1 1 在第一象限的图象上升 当 0时 图象不过原点 过 1 1 在第一象限的图象下降 3 在比较幂值的大小时 必须结合幂值的特点 选择适当的函数 借助其单调性进行比较 准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键 训练1 1 幂函数y f x 的图象过点 4 2 则幂函数y f x 的图象是 填序号 2 已知幂函数f x n2 2n 2 xn2 3n n Z 的图象关于y轴对称 且在 0 上是减函数 则n的值为 解析 1 设f x x R 则4 2 2 幂函数f x n2 2n 2 xn2 3n在 0
4、上是减函数 又n 1时 f x x 2的图象关于y轴对称 故n 1 答案 1 2 1 考点二求二次函数的解析式 例2 1 2019 南京模拟 已知二次函数f x 与x轴的两个交点坐标为 0 0 和 2 0 且有最小值 1 则f x 2 已知二次函数f x 的图象经过点 4 3 它在x轴上截得的线段长为2 并且对任意x R 都有f 2 x f 2 x 则f x 的解析式为 解析 1 设函数的解析式为f x ax x 2 a 0 所以f x ax2 2ax 得a 1 所以f x x2 2x 2 f 2 x f 2 x 对任意x R恒成立 f x 的对称轴为x 2 又 f x 的图象被x轴截得的线段
5、长为2 f x 0的两根为1和3 设f x 的解析式为f x a x 1 x 3 a 0 又f x 的图象过点 4 3 3a 3 a 1 所求f x 的解析式为f x x 1 x 3 即f x x2 4x 3 答案 1 x2 2x 2 f x x2 4x 3 规律方法求二次函数解析式的方法 训练2 1 若函数f x x a bx 2a 常数a b R 是偶函数 且它的值域为 4 则该函数的解析式f x 2 已知二次函数f x 满足f 2 1 f 1 1 且f x 的最大值是8 则该二次函数的解析式为 解析 1 由f x 是偶函数知f x 图象关于y轴对称 f x bx2 a b 2 x 2a2
6、为偶函数 则a b 2 0 当a 0时 f x bx2 此时它的值域不可能为 4 当b 2时 f x 2x2 2a2 又f x 的值域为 4 2a2 4 故f x 2x2 4 2 法一 利用 一般式 解题 设f x ax2 bx c a 0 所求二次函数为f x 4x2 4x 7 法二 利用 顶点式 解题 设f x a x m 2 n a 0 f 2 f 1 法三 利用 零点式 解题 由已知f x 1 0的两根为x1 2 x2 1 故可设f x 1 a x 2 x 1 a 0 即f x ax2 ax 2a 1 解得a 4或a 0 舍 所求函数的解析式为f x 4x2 4x 7 答案 1 2x2
7、 4 2 f x 4x2 4x 7 考点三二次函数的图象与性质角度1二次函数的单调性与最值 恒成立问题 例3 1 1 已知函数f x ax2 2x 0 x 1 求函数f x 的最小值 2 已知函数f x x2 ax 3 a 若x 2 2 时 f x 0恒成立 求a的取值范围 3 已知f x x2 2x 1 f x x k在区间 3 1 上恒成立 试求k的取值范围 解 1 当a 0时 f x 2x在 0 1 上单调递减 f x min f 1 2 当a 0时 f x ax2 2x的图象开口向上 f x ax2 2x的对称轴在 0 1 内 f x ax2 2x在 0 1 上单调递减 f x min
8、 f 1 a 2 f x 在 0 1 上单调递减 f x min f 1 a 2 当a 0时 f x ax2 2x的图象开口向下 2 要使f x 0恒成立 则函数在区间 2 2 上的最小值不小于0 设f x 的最小值为g a 又 4 a 4 故 4 a 2 得a 7 又a 4 故 7 a 4 综上a的取值范围是 7 2 3 由题意知 x2 2x 1 x k在区间 3 1 上恒成立 即k x2 x 1在区间 3 1 上恒成立 令g x x2 x 1 x 3 1 故k的取值范围是 1 则g x min g 1 1 所以k 1 角度2二次函数的图象及应用 解析由f x f 2 x 知函数f x 的图
9、象关于直线x 1对称 又y x2 2x 3 x 1 2 4 的图象也关于直线x 1对称 所以这两函数的交点也关于直线x 1对称 答案m 规律方法1 1 对于函数y ax2 bx c 要认为它是二次函数 就必须满足a 0 当题目条件中未说明a 0时 就要讨论a 0和a 0两种情况 2 二次函数的单调性与对称轴紧密相连 二次函数的最值问题要根据其图象以及所给区间与对称轴的关系确定 3 二次函数最值问题的解法 抓住 三点一轴 数形结合 三点是指区间两个端点和中点 一轴指的是对称轴 结合配方法 根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成 2 由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 1 一般有两个解题思
10、路 一是分离参数 二是不分离参数 2 两种思路都是将问题归结为求函数的最值 至于用哪种方法 关键是看参数是否已分离 这两个思路的依据是 a f x 恒成立 a f x max a f x 恒成立 a f x min 训练3 1 若关于x的不等式x2 4x 2 a 0在区间 1 4 内有解 则实数a的取值范围是 2 已知函数y x2 2x 3在闭区间 0 m 上有最大值3 最小值2 则m的取值范围为 2 如图 由图象可知m的取值范围是 1 2 解析 1 不等式x2 4x 2 a 0在区间 1 4 内有解等价于a x2 4x 2 max 令f x x2 4x 2 x 1 4 所以f x f 4 2 所以a 2 3 当 3 x 0时 f x x 恒成立等价转化为x2 2x a 2 x恒成立 即a x2 3x 2恒成立 所以a x2 3x 2 min 2
