《知名机构高中讲义 [20170909][必修四 第3讲 平面向量基本定理及线性运算]讲义教师版 (2).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《知名机构高中讲义 [20170909][必修四 第3讲 平面向量基本定理及线性运算]讲义教师版 (2).docx（26页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第3讲 平面向量基本定理及线性运算1. 掌握向量的基本概念，包括向量的定义、向量的三要素、向量的模、零向量、平行向量、单位向量、相等向量和相反向量2. 掌握平面向量的线性运算，包括向量的加法运算、向量的减法运算和向量的数乘3. 掌握平面向量的共线，可利用向量的共线定理证明向量的共线4. 掌握平面向量的基本定理.1. 理解向量的定义是重点2. 掌握平面向量模的定义及运算是重点3. 理解零向量和单位向量的定义是重点4. 理解平行向量、相等向量和相反向量的定义是重点5. 掌握平面向量的线性运算，包括向量的加法运算、向量的减法运算和向量的数乘是重点也是难点6.利用向量的几何意义解题是难点7.掌握平面向
2、量的基本定理及其应用是难点平面向量的实际背景及基本概念一、向量的基本概念1、向量的概念把具有大小和方向的量称为向量看一个量是否是向量，就要看它是否具备了大小和方向这两个要素2、向量的模向量a的长度叫做向量的模，记作模是非负数，可以比较大小，但由于方向不能比较大小，因此向量不能比较大小3、特殊向量有两个特殊向量，分别是零向量和单位向量，特殊向量只定义了大小没有定义方向（1）零向量：长度等于零的向量叫做零向量，记作要注意零向量的方向不确定（2）单位向量：长度为1个单位的向量，记作要注意单位向量的方向不确定4、相等向量同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量如，就意味着，且与的方向相同5、相反向量
3、 与向量长度相等，方向相反的向量叫做向量的相反向量，记作：，规定6、平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量记作： 平行向量也叫做共线向量规定零向量平行于任何向量二、向量的表示方法几何表示用有向线段表示向量，有向线段的起点为向量的起点，有向线段的终点为向量的终点A B 字母表示1小写字母表示：小写英文字母上面加箭头表示为（手写体），印刷体写作：，读作：向量2大写字母表示：两个大写英文字母上面加箭头，如，A为向量的起点，B为向量的终点坐标表示分别是与x轴和y轴方向相同的单位向量，若以为基底，则这里我们把（x，y）叫做的直角坐标，记作，其中，x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，此式叫做
4、向量的坐标表示例1下列物理量：质量；速度；力；加速度；路程；密度；功其中不是向量的有()A1个 B2个 C3个 D4个【答案】D【解析】、是既有大小，又有方向的量，它们是向量；而、只有大小而没有方向，它们不是向量，故选D练习1下列说法正确的个数是()零向量的长度为0；零向量的方向是任意的；零向量与任一向量平行；长度相等的向量叫相等向量A1 B2 C3 D4【答案】C【解析】由零向量的概念知，正确，错误，相等向量是长度相等且方向相同，选C练习2如图在O中，向量、是()A有相同起点的向量 B共线向量C模相等的向量 D相等的向量【答案】C【解析】由题意可知，向量、的模相等，都等于圆的半径R，选C向量
5、的概念是考察重点，包括向量的定义、向量的模、零向量、平行向量、单位向量、相等向量和相反向量等，通常以选择题的形式出现，需要学生充分理解向量的基本概念 例2一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30方向行驶2 km到D地，然后从D地沿北偏东60方向行驶6 km到达C地，又从C地向南偏西30方向行驶2 km才到B地（1）画出、；（2）求B地相对于A地的位置向量【答案】见解析【解析】（1）如下图所示：（2）如图所示，“北偏东60，6 km”练习1一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向向西偏北50走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D
6、点（1）作出向量、；（2）求汽车从A点到D点的位移【答案】见解析【解析】（1）、如下图所示：（2）由题意，易知与方向相反，故与共线又|，在四边形ABCD中，AB CD四边形ABCD为平行四边形，|200(km)练习2飞机从A地按北偏西15的方向飞行1400 km到达B地，再从B地按南偏东75的方向飞行1400 km到达C地，那么C地在A地什么方向？C地距A地多远？【答案】C地在A地北偏东601545，距离A地1400 km【解析】由题意得下图：表示飞机从B地按南偏东75 方向飞行到C地的位移，则|1400 km为从A地到C地的位移在ABC中，|AB|BC|1 400，且ABC751560，BA
7、C60，|AC|1 400C地在A地北偏东601545，距离A地1400 km平面向量的作法及向量的模是考察重点，平面向量的作法通常以应用题的形式呈现出来，需要利用向量的实际意义解决有关向量的应用问题；向量的模考察形式多样，解题核心是把握向量的模的定义例3如图，ABC的三边均不相等，D、E、F分别是BC、AC、AB的中点（1）写出与共线的向量；（2）写出与模大小相等的向量【答案】（1）与共线的向量有：、；（2）与模相等的向量有：、【解析】（1）E、F分别是AC、AB的中点，EF BC又D是BC的中点，与共线的向量有：、（2）与模相等的向量有：、练习1如图，在菱形ABCD中，可以用同一条有向线段
8、表示的向量是()A与 B与 C与 D与【答案】B【解析】因为向量只与大小和方向有关，与起点位置无关，从而起点可以在任意位置该题只需考虑长度相等且方向相同即可，显然只有B符合要求练习2如图所示，四边形ABCD中，N、M分别是AD、BC上的点，且求证：【答案】见解析【解析】，|且ABCD四边形ABCD是平行四边形，|，且DACB又与的方向相同，同理，四边形AMCN是平行四边形|.|，|，|，DNMB，且与的方向相同.平面向量结合几何的应用考察点较为广泛，包含相等向量、平行向量、向量的模等概念，需要学生有一定的几何基础平面向量的线性运算1、 向量的加法运算1、向量加法定义向量的加法是指两个向量和的运
9、算（1）和向量仍然是向量，其大小和方向与原来的向量有关（2）对于零向量与任意向量有2、 向量求和的三角形法则利用向量加法的定义求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则在运用此法则时，要注意“首尾相接”，即求两个向量的和是以第一个向量的终点为第二个向量的起点，和向量是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量已知向量、b，在平面上任取一点A，作a，b，再作向量，则向量叫做a与b的和，记作向量求和的三角形法则运算结果是a+b=c，即，可总结为“首尾相接，从头到尾”3、向量求和的平行四边形法则已知两个不共线向量a、b，作a，b，则A、B、D三点不共线，以、为邻边作平行四边形ABCD，则对角
10、线上的向量+.这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则要注意两个向量是从同一个起点出发的不共线向量4、向量加法的运算律（1）交换律：；（2）结合律：2、 向量的减法运算1、相反向量与向量方向相反且长度相等的向量叫做的相反向量，记作，并规定零向量的相反向量仍是零向量关于相反向量有：（1）() （2）()()0（3）若、b互为相反向量，则b，b02、向量减法定义求两个向量差的运算，叫做向量的减法运算.将向量的减法定义为向量加法的逆运算如果bx，那么向量x叫做向量与b的差，记作b3、向量求差的三角形法则已知向量、b，在平面上任取一点O，作，b，再作向量，则向量叫做与b的差，记作向量求差的三角形法则运
11、算结果是，即，可总结为“共起点，指被减”3、 向量的数乘1、实数与向量积的定义一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，他的长度与方向规定如下：（1）；（2）当时，向量的方向与向量的方向相同；（3）当时，向量的方向与向量的方向相反；（4）当时，向量=02、 数乘向量的运算律设是实数，则有（1）结合律：；（2）第一分配律：；（3）第二分配律： 向量的加法运算、减法运算和数乘运算统称为向量的线性运算例1化简下列各式子（1）；（2）【答案】（1）；（2）0【解析】（1）；（2） 练习1化简的结果是（ ）A B C D 0【答案】D【解析】练习2下列各式中不能化简为的是(
12、)A() B()()C D【答案】D【解析】A中，B中，C中，故选D平面向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”例2如图所示，已知梯形ABCD，ADBC，则_【答案】【解析】练习1(2015山东临沂高一期末测试)如图，在ABC中，D为边BC的中点，则下列结论正确的是()A BC D【答案】C【解析】D为边BC的中点，练习2(2015四川德阳市第五中学高一月考)如图，D、E、F分别是ABC的边AB、BC、CA的中点，则()A0 B0C0 D0【答案】A【解析】D、E、F分别是ABC的边AB、BC、CA的中点，DEAC，DFBC四边形DECF是平行四边形又0，故选A利用平面向量的几何意义解题是重点也是难点，学生要充分理解平面向量加法运算的三角形法则和平行四边形法则以及平面向量减法运算的三角形法则，同时需要学生具有一定的几何基础例3在正六边形ABCDEF中，用a、b表示向量、和【答案】；2b ；【解析】如图，连接FC交AD于点O，连接OB，由平面几何知识得四边形ABOF、四边形ABCO均为平行四边形根据向量的平行四边形法则，有b，故有2，
