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1、雅安中学 2020 届高三 9 月考试数学试卷 文 一 选择题 1 已知集合 12 Axx 2 20 Bx xx 则ABI A 02 xxB 02 xxC 10 xxD 10 xx 2 若 2019 2 4 1 2 i zi i 则复数在复平面内对应的点位于 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 3 已知双曲线 22 21xy的一个焦点为F 则焦点F到其中一条渐近线的距离为 A 2B 1C 2 2 D 1 2 4 设函数 1 x f xxe 则 1 f A 1 B 2 C 3eD 3e 5 秦九韶是我国南宋时期的数学家 普州 现四川省安岳县 人 他在所著的 数 书九章 中提出的多项
2、式求值的秦九韶算法 至今仍是比较先进的算法 如图所 示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例 若输入xn 的值分 别为3 2则输出v的值为 A 35B 20C 18D 9 6 已知直线310 xy的倾斜角为 则 1 sin 2 2 A 3 10 B 3 5 C 3 10 D 1 10 7 如图 E F 分别是三棱锥PABC的棱 AP BC 的中点 10PC 6AB 7EF 则异 面直线 AB 与 PC 所成的角为 A 30 B 120 C 60 D 45 8 数列中 对任意且都成立 是 是等比 数列 的 A 必要不充分条件 B 充分不必要条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件
3、 9 定 义 域 为R的 奇 函 数 yf x的 图 像 关 于 直 线2x对 称 且 2 2018f 则 2018 2016 ff A 2018 B 2020 C 4034 D 2 10 函数xxxfln 1 的图象可能为 11 已知三棱锥ABCD四个顶点均在半径为R的球面上 且22ACBCAB 若该三棱 锥体积的最大值为1 则这个球的表面积为 A 81 500 B 9 100 C 9 25 D 4 12 已知椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的左 右焦点分別为 12 FF 过 2 F的直线与椭圆交于 A B两点 若 1 F AB是以A为直角项点的等腰直角三角形 则椭圆的离心率为
4、A 2 2 B 23C 52D 63 二 填空题 13 命题 R e 的否定是 14 已知 x y满足 0 2 0 y yx yx 则yxz2的最大值为 15 函数 00 cos 10 cos 70 yxx的最小值是 16 已知函数 x x xf 3 log 2 0 0 x x 且关于 x 的方程 0 axxf 有且只有一个实根 则实数 a的范围是 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第17 21 题为必考题 每个试题考生都 必须作答 第22 23 题为选考题 考生根据要求作答 17 在 ABC 中 角 A B C 的对边分别为a b c 已知 tantan 2 tantan
5、coscos AB AB BA 证明 a b 2c 求cosC的最小值 18 如图 1 在 ABC中 D E分别为AB AC的中点 O为DE的中点 2 5ABAC 4BC 将 ADE沿DE折起到 1 A DE的位置 使得平面 1 A DE平面BCED F为1 AC的 中点 如图2 求证 EF平面 1 A BD 求F到平面OBA1的距离 19 某商店为了更好地规划某种商品进货的量 该商店从某一年的销售数据中 随机抽取了8组数据 作为研究对象 如下图所示 x 吨 为该商品进货量 y 天 为销售天数 根据上表提供的数据 求出y关于x的线性回归方程yb xa 在该商品进货量x 吨 不超过6 吨 的前提
6、下任取两个值 求该商品进货量x 吨 恰有 一个值不超过3 吨 的概率 参考公式和数据 n i i n i ii xx yyxx b 1 2 1 xbya 241 356 8 1 8 1 2 i ii i i yxx 20 已知抛物线 2 2 0 Cypx p的焦点为F A为抛物线C上异于原点的任意一点 过点A的 直线l交抛物线C于另一点B 交x轴的正半轴于点D 且有 FAFD 当点A的横坐标为3 时 4FA 求抛物线C的方程 若直线 1 ll 且 1 l和抛物线C有且只有一个公共点E 试问直线AE A为抛物线C上异于 原点的任意一点 是否过定点 若过定点 求出定点坐标 若不过定点 请说明理由
7、21 设函数 2 1 1 x h xx ea x 若函数 h x在点 0 0 h处的切线方程为2ykx 求实数k与a的值 若函数 h x有两个零点 12 x x 求实数a的取值范围 二 选考题 请考生在第22 23 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计分 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 在直角坐标系中 已知曲线 M 的参数方程为 12cos 12sin x y 为参数 以原点为极点轴正半轴为极 轴建立极坐标系 直线 1 l的极坐标方程为 直线 2 l的极坐标方程为 2 写出曲线M的极坐标方程 并指出它是何种曲线 设 1 l与曲线M交于 A C两点 2 l与曲线M交于 B D两点
8、 求四边形ABCD面积的取值范围 23 选修 4 5 不等式选讲 设函数 1 f xxxaaR 当4a时 求不等式 5f x的解集 若 4f x对xR恒成立 求a的取值范围 雅安中学 2020 届高三 9 月考试数学试卷 文 参考答案 一 选择题 1 5 DCCDC 6 10 ACAAA 11 12 BD 二 填空题13 R e 14 4 15 316 a 1 三 解答题 17 解 由题意知 sinsinsinsin 2 coscoscoscoscoscos ABAB ABABAB 化简得2 sincossincossinsinABBAAB 即2sinsinsinABAB 因为ABC 所以si
9、nsinsinABCC 从而sinsin 2sinABC由正弦定理得2abc 由 知 2 ab c 所以 2 22 222 2 cos 22 ab ab abc C abab 311 842 ba ab 当且仅当ab时 等号成立故cosC的最小值为 1 2 18 解 取线段 1 A B的中点H 连接HD HF 因为在 ABC中 D E分别为AB AC的中点 所以 DEBC 1 2 DEBC 因为H F分别为 1 A B 1 AC的中点 所以 HFBC 1 2 HFBC 所以 HFDE HFDE 所以四边形DEFH为平行四边形 所以 EFHD 因为EF平面 1 A BD HD平面 1 A BD
10、所以 EF平面 1 A BD O为DE的中点 11 A DA EDEOA 1 又平面 1 A DE平面BCED DEBCEDADE面面 BCEDOA面 1 由图有 CBAOBACOBAF VVV 0 111 2 1 2 1 则 242 2 1 3 1 2 1 222 2 1 3 1 h2h 19 解析 依题意 1 2345689116 8 x 1 1233 45684 8 y 88 11 882 222 11 8 241 8 6 449 3568 668 8 iiii ii ii ii xxyyx yxy b xxxx 4911 46 6834 a回归直线方程为 4911 6834 yx 由题
11、意知 在该商品进货量不超过6 吨共有5 个 设为编码1 2 3 4 5 号 任取两个有 1 2 1 3 1 4 1 5 2 3 2 4 2 5 3 4 3 5 4 5 共10 种 该商品 进货量不超过3 吨的有编号1 2 号 超过3 吨的是编号3 4 5 号 该商品进货量恰有一次不超过 3 吨有 1 3 1 4 1 5 2 3 2 4 2 5 共 6 种 故该商品进货量恰有一次不超过3 吨的概率为 5 3 10 6 P 20 解 1 由题意知 0 2 p F 由抛物线的定义知 34 2 p 解得2p 所以抛物线C的方程为 2 4yx 2 由 1 知 1 0 F 设 000 0 A xyx 0
12、0 DD D xx 因为 FAFD 则 0 1 1 D xx 由0 D x得 0 2 D xx 故 0 2 0 D x 故直线AB的斜率为 0 2 AB y k 因为直线 1 l和直线AB平行 故可设直线 1 l的方程为 0 2 y yxb 代入抛物线方程得 2 00 88 0 b yy yy 由题意知 2 00 6432 0 b yy 得 0 2 b y 设 EE E xy 则 0 4 E y y 2 0 4 E x y 当 2 0 4y时 00 2 00 4 4 E AE E yyy k xxy 可得直线AE的方程为 0 00 2 0 4 4 y yyxx y 由 2 00 4yx 整理可
13、得 0 2 0 4 1 4 y yx y 所以直线AE恒过点 1 0 F 当 2 0 4y时 直线 AE的方程为1x 过点 1 0 F 所以直线AE恒过定点 1 0 F 21 解 1 因为 2 x h xxeax 所以 0 0kh 又因为 0 1ha 所以12a 即1a 5 分 2 因为 2 1 x x eaxa 所以 2 1 1 x x e a x 令 2 1 1 x x e fx x 则 22 2222 23 1 2 1 1 xx x xxxx fxee xx 令0fx 解得0 x 令0fx 解得0 x 则函数fx在 0 上单调递增 在 0 上单调递减 所以 max 01fxf 又当1x时
14、 0fx 当1x时 0fx 画出函数fx的图象 要使函数fx的图象与ya有两个不同的交点 则01a 即实数的 取值范围为 0 1 22 解 由 12cos 12sin x y 为参数 消去参数得 22 1 1 4xy 将曲线 M 的方程化成极坐标方程得 2 2 sincos 20 曲线 M 是以 1 1 为圆心 2为半径的圆 设 12 OAOC 由 1 l与圆 M 联立方程可得 2 2 sincos 20 1212 2 sincos 2 O A C 三点共线 则 2 121212 4124sin 2AC 用 2 代替可得 124sin 2BD 2 12 11 AC BD 144 16sin 2 22 ABCD llSQ 四边形 2 sin 2 0 1 42 6 ABCD SQ 四边形 23 解 1 1 4 5xx等价于 1 255 x x 或 14 35 x 或 4 255 x x 解得0 x或5x 故不等式 5f x的解集为 05 x xx或 2 因为 1 1 1 f xxxaxxaa 所以 min 1 f xa 由题意得 1 4a 解得3a或5a
