《2019-2020学年高中数学课时分层作业22导数的实际应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020学年高中数学课时分层作业22导数的实际应用（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、课时分层作业课时分层作业 二十二二十二 导数的实际应用导数的实际应用 建议用时 40 分钟 基础达标练 1 以长为 10 的线段AB为直径作半圆 则它的内接矩形面积的最大值为 A 10 B 15 C 25 D 50 C C 如图 设 NOB 则矩形面积S 5sin 2 5cos 50sin cos 25sin 2 当 sin 2 1 时 函数取得最 大值 25 此时 45 故Smax 25 2 某箱子的体积与底面边长x的关系为V x x2 0 x 60 则当箱子的体积 60 x 2 最大时 箱子底面边长为 A 30 B 40 C 50 D 60 B B V x x2 60 x x x 40 3
2、 2 3 2 因为 0 x 60 所以当 0 x 40 时 V x 0 此时V x 单调递增 当 40 x 60 时 V x 0 此时V x 单调递减 所以x 40 是V x 的极大值 即当 箱子的体积最大时 箱子底面边长为 40 3 设底为正三角形的直棱柱的体积为V 那么其表面积最小时 底面边长为 A B C D 2 3 V 3 2V 3 4V 3 V C C 设底面边长为x 侧棱长为l 则V x2 sin 60 l l S表 1 2 4V 3x2 x2 sin 60 3 x l x2 S 表 x 令S 表 0 x3 4V 即x 3 2 4 3V x3 4 3V x2 又当x 0 时 S 表
3、 0 当x 时 S 表 0 当x 时 表 3 4V 3 4V 3 4V 3 4V 面积最小 4 某工厂要围建一个面积为 512 平方米的矩形堆料场 一边可以利用原有的墙壁 墙壁 足够长 其他三边需要砌新的墙壁 若使所用的材料最省 则堆料场的长和宽应分别为 A 32 米 16 米B 30 米 15 米 C 64 米 8 米D 36 米 18 米 A A 要使材料最省 则新砌的墙壁的总长度应最短 设堆料场宽为x米 则长为米 512 x 因此新墙总长L x 2x x 0 则L x 2 令L x 0 解得 512 x 512 x2 x 16 x 16 舍去 故当x 16 时 L x 取得最小值 此时长
4、为 32 米 512 16 5 某银行准备新设一种定期存款业务 经预算 存款量与存款利率的平方成正比 比 例系数为k k 0 已知贷款的利率为 0 048 6 且假设银行吸收的存款能全部放贷出去 设 存款利率为x x 0 0 048 6 若使银行获得最大收益 则x的取值为 A 0 016 2B 0 032 4 C 0 024 3D 0 048 6 B B 依题意 得存款量是kx2 银行支付的利息是kx3 获得的贷款利息是 0 048 6kx2 其中x 0 0 048 6 所以银行的收益是y 0 048 6kx2 kx3 0 x 0 048 6 则y 0 097 2kx 3kx2 0 x 0 0
5、48 6 令y 0 得x 0 032 4 或x 0 舍去 当 0 x0 当 0 032 4 x 0 048 6 时 y 0 所以当x 0 032 4 时 y取得最大值 即当存款利率为 0 032 4 时 银行获得最大收 益 6 某商品每件的成本为 30 元 在某段时间内 若以每件x元出售 可卖出 200 x 件 当每件商品的定价为 元时 利润最大 115 由题意知 利润S x x 30 200 x x2 230 x 6 000 30 x 200 所 以S x 2x 230 令S x 0 解得x 115 当 30 x0 当 115 x 200 时 S x 0 所以当x 115 时 利润S x 取
6、得极大值 也是最大值 7 用长为 18 米的钢条围成一个长方体的框架 要求长方体的长与宽之比为 2 1 则该 长方体的长 宽及高分别为 时 框架的体积最大 2 2 米 1 1 米和 米 设长方体的宽为x米 则长为 2x米 3 3 2 2 高为 3x 18 12x 4 9 2 0 x 3 2 则V x 2x 9x2 6x3 9 2 3x 令V 18x 18x2 0 解得x 1 或x 0 舍去 当 0 x0 当 1 x 时 V 0 3 2 所以x 1 时体积V取得极大值 也就是最大值 此时长方体的长为 2 米 高为 米 3 2 8 某厂生产某种产品x件的总成本C x 1 200 x3 万元 已知产
7、品单价的平方与 2 75 产品件数x成反比 生产 100 件这样的产品单价为 50 万元 则产量定为 件时 总 利润最大 2525 设产品的单价为P万元 根据已知 可设P2 其中k为比例系数 k x 因为当x 100 时 P 50 所以k 250 000 所以P2 P x 0 250 000 x 500 x 设总利润为y万元 则y x 1 200 x3 500 x 2 75 500 x3 1 200 x 2 75 求导数得 y x2 250 x 2 25 令y 0 得x 25 故当x0 当x 25 时 y 0 因此当x 25 时 函数y取得极大值 也是最大值 9 某工厂共有 10 台机器 生产
8、一种仪器元件 由于受生产能力和技术水平等因素限制 会产生一定数量的次品 根据经验知道 每台机器产生的次品数P 万件 与每台机器的日产 量x 万件 4 x 12 之间满足关系 P 0 1x2 3 2ln x 3 已知每生产 1 万件合格的元件 可以盈利 2 万元 但每产生 1 万件次品将亏损 1 万元 利润 盈利 亏损 1 试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润y 万元 表示为x的函数 2 当每台机器的日产量x 万件 为多少时所获得的利润最大 最大利润为多少 解 1 由题意得 所获得的利润为y 10 2 x P P 20 x 3x2 96ln x 90 4 x 12 2 由 1 知 y 6x2
9、20 x 96 x 2 3x 8 x 6 x 当 4 x0 函数在 4 6 上为增函数 当 6 x 12 时 y 0 函数在 6 12 上为减函数 所以当x 6 时 函数取得极大值 且为最大值 最大利润为y 20 6 3 62 96ln 6 90 96ln 6 78 万元 即当每台机器的日产量为 6 万件时所获得的利润最大 最大利润为 96ln 6 78 万元 10 如图所示 ABCD是正方形空地 边长为 30 m 电源在点P处 点P到边AD AB距 离分别为 9 m 3 m 某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕 MNEF MN NE 16 9 线段MN必须过点P 端点M N分别在
10、边AD AB上 设AN x m 液 晶广告屏幕MNEF的面积为S m2 1 用含x的代数式表示AM 2 求S关于x的函数关系式及该函数的定义域 3 当x取何值时 液晶广告屏幕MNEF的面积S最小 解 1 AM 10 x 30 3x x 9 2 MN2 AN2 AM2 x2 9x2 x 9 2 因为MN NE 16 9 所以NE MN 9 16 所以S MN NE MN2 定义域为 10 30 9 16 9 16 x2 9x2 x 9 2 3 S 9 16 2x 18x x 9 2 9x2 2x 18 x 9 4 9 8 x x 9 3 81 x 9 3 令S 0 得x 9 3或x 0 舍去 3
11、 3 当 10 x 9 3时 S 0 S为减函数 当 9 3 x 30 时 S 0 S为增函 3 3 3 3 数 所以当x 9 3时 S取得最小值 3 3 能力提升练 1 某商场从生产厂家以每件 20 元的价格购进一批商品 若该商品零售价定为P元 销 售量为Q 则销量Q 单位 件 与零售价P 单位 元 有如下关系 Q 8 300 170P P2 则 最大毛利润为 毛利润 销售收入 进支出 A 30 元 B 60 元 C 28 000 元D 23 000 元 D D 毛利润为 P 20 Q 即f P P 20 8 300 170P P2 f P 3P2 300P 11 700 3 P 130 P
12、 30 令f P 0 得P 30 或P 130 舍去 当 20 P0 当P 30 时 f P 1 当x 0 1 时 y 0 所以函数y 16 x 在 0 1 上单调递增 4 x 1 当x 1 a 时 y 0 所以函数y 16 x 在 1 a 上单调递减 4 x 1 所以当x 1 时 y取得极大值 也是最大值 即投入促销费用 1 万元时 厂家获得的利润最大 当a 1 时 因为函数y 16 x 在 0 1 上单调递增 4 x 1 所以函数y 16 x 在 0 a 上单调递增 4 x 1 所以当x a时 函数有最大值 即投入促销费用a万元时 厂家获得的利润最大 综上 当a 1 时 投入促销费用 1 万元时 厂家获得的利润最大 当a 1 时 投入促销费用a万元时 厂家获得的利润最大
