高三复习考试第二讲函数.pdf

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1、1 第二讲函数 一 函数部分的知识点梳理 1 设 A B是非空的数集 如果按照某种确定的对应关系f 使对于集合A中的任意一个数x 在集合 B 中都有惟一确定的数xf和它对应 那么就称BAf 为集合A 到集合B 的一个 函数 记作 Axxfy 2 一个函数的构成要素为 定义域 对应关系 值域 如果两个函数的定义域相同 并且对应关系完全 一致 则称 这两个函数相等 3 函数的三种表示方法 解析法 图象法 列表法 4 注意函数单调性的证明方法 1 定义法 设 2121 xxbaxx 那么 0 21 baxfxfxf在上是增函数 0 21 baxfxfxf在上是减函数 步骤 取值 作差 变形 定号 判

2、断 格式 解 设baxx 21 且 21 xx 则 21 xfxf 2 导数法 设函数 xfy在某个区间内可导 若0 xf 则 xf为增函数 若0 xf 则 xf为减函数 5 一般地 如果对于函数xf的定义域内任意一个x 都有xfxf 那么就称函数xf为偶 函数 偶函数图象关于y轴对称 6 一般地 如果对于函数xf的定义域内任意一个x 都有xfxf 那么就称函数xf为奇 函数 奇函数图象关于原点对称 7 一般地 如果ax n 那么x叫做a的n次方根 其中Nnn 1 8 当n为奇数时 aa nn 当n为偶数时 aa nn 9 我们规定 mn m n aa1 0 mNnma 0 1 n a a n

3、 n 10 运算性质 Qsraaaa srsr 0 Qsraaa rs s r 0 Qrbabaab rrr 0 0 2 11 记住图象 1 0 aaay x 12 记住图象 1 0logaaxy a 13 性质 14 性质 15 指数与对数互化式 log x a aNxN 对数恒等式 logaN aN 基本性质 01loga 1loga a 16 运算性质 当0 0 1 0NMaa时 NMMN aaa logloglog NM N M aaa logloglog MnM a n a loglog 19 换底公式 a b b c c a log log log 0 1 0 1 0bccaa 重

4、要公式 loglog n m a a m bb n 倒数关系 a b b a log 1 log 1 0 1 0bbaa 20 几种幂函数的图象 21 方程0 xf有实根函数xfy的图象与x轴有交点函数xfy有零点 22 零点存在性定理 如果函数xfy在区间ba 上的图象是连续不断的一条曲线 并且有0bfaf 那么函数 1a10a 图 象 2 5 1 5 0 5 0 5 1 1 5 2 2 5 1 0 1 1 2 5 1 5 0 5 0 5 1 1 5 2 2 5 1 0 1 1 性 质 1 定义域 0 2 值域 R 3 过定点 1 0 即 x 1 时 y 0 4 在 0 上是增 函数 4 在

5、 0 上是减 函数 5 0log 1xx a 0log 10 xx a 5 0log 1xx a 0log 10 xx a 1a10a 图 象 1 4 2 0 1 1 4 2 0 1 性 质 1 定义域 R 2 值域 0 3 过定点 0 1 即 x 0 时 y 1 4 在 R 上是增函数 4 在 R上是减函数 5 0 1 x xa 0 01 x xa 5 0 01 x xa 0 1 x xa 0 a1 1 y ax o y x 0 a1 1 y log ax o y x 3 xfy在区间ba 内有零点 即存在bac 使得0cf 这个c也就是方程0 xf的根 23 掌握二分法 24 几类不同增长

6、的函数模型 25 函数模型的应用举例 解决问题的常规方法 先画散点图 再用适当的函数拟合 最后检验 附 1 4 A BAx ByfBAB x yx fyyxy 映射定义 设 是两个非空的集合 如果按某一个确定的对应关系 使对于集合中的任意一个元素 在集合 中都有唯一确定的元素 与之对应 那么就称对应 为从集合 到集合 的一个映射 传统定义 如果在某变化中有两个变量并且对于 在某个范围内的每一个确定的值 定义按照某个对应关系都有唯一确定的值和它对应 那么 就是 的函数 记作 函数及其表示 函数 1212 12 f x a ba xxbf xf xf xa ba b f xf xf xa bab

7、a 近代定义 函数是从一个数集到另一个数集的映射 定义域 函数的三要素值域 对应法则 解析法 函数的表示方法列表法 图象法 单调性 函数的基本性质 传统定义 在区间上 若如 则在上递增 是 递增区间 如 则在上递减 是的递减区间 导数定义 在区间 1 2 00 0 0 y f xIMx If xM xIf xMMy f x bf xf xa ba bf x f xa ba b 最大值 设函数的定义域为 如果存在实数 满足 对于任意的 都有 存在 使得 则称 是函数的最大值 最值 最 上 若 则在上递增 是递增区间 如 则在上递减 是的递减区间 1 2 00 1 2 y f xINx If xN

8、 xIf xNNy f x fxf x xDf x fxf x xDf x 小值 设函数的定义域为 如果存在实数 满足 对于任意的 都有 存在 使得 则称 是函数的最小值 定义域 则叫做奇函数 其图象关于原点对称 奇偶性定义域 则叫做偶函数 其图 0 1 11 2 y f xf x Tf x Tf xT Tf x yy xa xy f x a a 象关于 轴对称 奇偶函数的定义域关于原点对称 周期性 在函数的定义域上恒有的常数 则叫做周期函数 为周期 的最小正值叫做的最小正周期 简称周期 描点连线法 列表 描点 连线 向左平移 个单位 向右平移 个 平移变换 函数图象的画法 变换法 11 11

9、 11 101 1 1 1 1 01 1 yy x a xy f x a bxx yb yy b f x bxx yb yy b f x xww wxwxy f wx yAA 单位 向上平移 个单位 向下平移 个单位 横坐标变换 把各点的横坐标缩短 当时 或伸长 当时 到原来的倍 纵坐标不变 即 伸缩变换 纵坐标变换 把各点的纵坐标伸长 或缩短 到 1 22 1010 2 2 0000 22 1010 22 1010 2 00 11 11 2 00 22 1010 A yy Ay f x x xxxxx x yyy fxx y yyyyy x xxxxx x xy fxx y yyy x xx

10、x y yyy f yyyyyy 原来的 倍 横坐标不变 即 关于点对称 关于直线对称 对称变换 关于直线对称 1 1 1 x x x y xy fx y y 关于直线对称 5 0 0 0 0 0 yf xf xxyf x yf xa bf af b yf xa bca bf cc f x f x 零点 对于函数 我们把使的实数叫做函数的零点 定理 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线 并且有 零点与根的关系那么 函数在区间内有零点 即存在使得这个也是方 程的根 反之不成立 关系 方程 函数与方程 函数的应用 1 0 2 3 0 0 0 0 0 yf xyf xx a bf af b a

11、 bc f c f cc f af cbcxa b f cf bacx 有实数根函数有零点函数的图象与轴有交点 确定区间验证给定精确度 求区间的中点 计算 二分法求方程的近似解 若则 就是函数的零点 若则令 此时零点 若则令 此时零点 4 24 c b abab 判断是否达到精确度 即若则得到零点的近似值或否则重复 几类不同的增长函数模型 函数模型及其应用 用已知函数模型解决问题 建立实际问题的函数模型 附 2 一 函数的定义域的常用求法 1 分式的分母不等于零 2 偶次方根的被开方数大于等于零 3 对数的真数大于零 4 指数函 数和对数函数的底数大于零且不等于1 5 三角函数正切函数 tan

12、yx中 2 xkkZ 余切 函数cotyx中 6 如果函数是由实际意义确定的解析式 应依据自变量的实际意义确定其取值范围 二 函数的解析式的常用求法 1 定义法 2 换元法 3 待定系数法 4 函数方程法 5 参数法 6 配方法 三 函数的值域的常用求法 1 换元法 2 配方法 3 判别式法 4 几何法 5 不等式法 6 单调性法 7 直接法 四 函数的最值的常用求法 1 配方法 2 换元法 3 不等式法 4 几何法 5 单调性法 五 函数单调性的常用结论 1 若 f xg x均为某区间上的增 减 函数 则 f xg x在这个区间上也为增 减 函数 2 若 f x为增 减 函数 则 f x为减

13、 增 函数 3 若 f x与 g x的单调性相同 则 yf g x是增函数 若 f x与 g x的单调性不同 则 yf g x是减函数 4 奇函数在对称区间上的单调性相同 偶函数在对称区间上的单调性相反 5 常用函数的单调性解答 比较大小 求值域 求最值 解不等式 证不等式 作函数图象 六 函数奇偶性的常用结论 6 1 如果一个奇函数在0 x处有定义 则 0 0f 如果一个函数 yf x既是奇函数又是偶函 数 则 0f x 反之不成立 2 两个奇 偶 函数之和 差 为奇 偶 函数 之积 商 为偶函数 3 一个奇函数与一个偶函数的积 商 为奇函数 4 两个函数 yf u和 ug x复合而成的函数

14、 只要其中有一个是偶函数 那么该复合函数 就是偶函数 当两个函数都是奇函数时 该复合函数是奇函数 5 若函数 f x的定义域关于原点对称 则 f x可以表示为 11 22 fxf xfxf xfx 该式的特点是 右端为一个奇函数和一个偶函数的 和 七 函数的周期性 周期性 若函数 xf对定义域内任意的x满足 xfTxf 则称 T 是函数的一个周期 若 T是周期 则 0 kZkkT且也是函数的周期 注意周期性还有其它的表达形式 如 axfaxf aT2 xfaxf aT2 xfaxf aT2 1 xf axf aT2 baTbxfaxf 等等 还要注意若一个函数有对称轴和对称中心 有两条对称轴或

15、有两个对称中心则都是周期函数 二 经典题例 例 1 1 函数 y x2 3x 4 x 的定义域为 2 函数 y 1 3x 2 lg 2x 1 的定义域是 3 函数f x 2x 1 x2 则 f f f 3 2 5 4 规定记号 表示一种运算 即 ababab a bR 若 13k 则函数 fxkx的值域是 针对训练 1 函数 f x 对任何xR 恒有 1212 fxxf xf x 已知 8 3f 则 2 f 2 设函数f x 的定义域为 0 1 求下列函数的定义域 1 H x f x 2 1 2 G x f x m f x m m 0 例 2 定义在区间 1 1 上的函数f x 满足 2f x

16、 f x lg x 1 则 f x 的解析式为 针 对 训 练 已 知 函 数 xfy的 图 象 关 于 直 线1x对 称 且 当 0 x时 有 1 x xf则 当 7 2 x时 xf的解析式为 A x 1 B 2 1 x C 2 1 x D 2 1 x 例 3 已知函数f x 是 R 上的偶函数 且在 0 上有 f x 0 若 f 1 0 那么关于x 的不等式xf x 0 的解集是 针对训练 已知偶函数f x 在区间 0 上单调增加 则满足f 2x 1 1 时 f x 0 1 求 f 1 的值 2 判断 f x 的单调性 3 若 f 3 1 解不等式f x 0 上最大值是3 最小值是2 则实数 a 的取值范围是 8 A 0 a 1 B 0b c B a c bC b a cD c a b 18 已知 f x 是定义在R 上的偶函数 并满足 f x 2 1 xf 当 2 x 3 f x x 则 f 5 5 A 5 5 B 5 5 C 2 5 D 2 5 19 已知函数 2 2 1 x f x x 则 11 1 2 3 23 fffff 20 设 f x 2x 3 g x 2 f x 1