《2019-2020学年高中数学第一章集合与函数概念1.2.2函数的表示法第二课时分段函数与映射》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020学年高中数学第一章集合与函数概念1.2.2函数的表示法第二课时分段函数与映射（39页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二课时分段函数与映射 目标导航 新知导学 素养养成 1 分段函数如果函数y f x x A 根据自变量x在A中不同的取值范围 有着不同的对应关系 则称这样的函数为分段函数 思考1 怎样求分段函数的定义域 值域 答案 分段函数的定义域是各段定义域的并集 分段函数的值域是各段值域的并集 2 映射设A B是的集合 如果按某一个确定的对应关系f 使对于集合A中的元素x 在集合B中都有的元素y与之对应 那么就称对应为从集合A到集合B的一个映射 非空 任意一个 唯一确定 f A B 思考2 函数与映射的关系是什么 答案 函数是一类特殊的映射 若构成映射的两个集合是非空的数集 则该映射一定是函数 思考3
2、若映射f A B 集合A中元素在对应法则f下的元素构成集合C 则B与C相等吗 答案 B与C不一定相等 它们之间的关系是C B 名师点津 1 关于分段函数的理解 分段函数是一个函数而不是几个函数 处理分段函数问题时 首先要确定自变量的数值属于哪一个范围 从而选择相应的对应关系 写分段函数的定义域时 要注意区间端点值的取舍 区间端点应不重不漏 分段函数的定义域是各段自变量取值范围的并集 各段定义域的交集是空集 2 关于映射的理解 映射f A B中 A B必须是非空的集合 函数f A B需要A B是非空数集 映射f A B具有以下特征 a 集合A中的元素在对应关系f作用下 在集合B中有唯一的元素与之
3、对应 b 不要求集合B中的元素都被集合A中元素对应 c 在映射中 f具有方向性 从集合A到集合B的对应关系与集合B到集合A的对应关系一般是不同的 d 映射允许集合A中有不同的元素在集合B中有相同的对应元素 即映射只能是 多对一 或 一对一 不能是 一对多 课堂探究 素养提升 2 若f a 3 求实数a的值 解 2 当a 2时 a 1 3 即a 2 2 不合题意 舍去 当 2 a 2时 a2 2a 3 即a2 2a 3 0 所以 a 1 a 3 0 得a 1或a 3 因为1 2 2 3 2 2 所以a 1符合题意 当a 2时 2a 1 3 即a 2符合题意 综上可得 当f a 3时 a 1或a
4、2 一题多变 本题中若将 2 中的f a 3改为f f a 3 求a 方法技巧 1 分段函数求值问题的关键是看所给自变量的取值属于哪一段 代入该段解析式求解即可 2 已知函数值求自变量的值时 应分别代入各段解析式中求解 以免丢解 要根据每段解析式中自变量本身的限制条件进行验证取舍 3 已知f x 解关于f x 的不等式时 要先在每一段内求交集 最后求并集 4 求解形如f f a 的函数值问题 按从里到外的原则 先求f a 再求f f a 题型二分段函数的图象 例2 作出下列函数的图象 并写出函数的值域 1 y x 2 x 3 解 2 函数f x 的图象如图实线部分所示 由图可知函数值域为 0
5、4 方法技巧 1 分段函数的图象应分段 根据各段的解析式作出 作分段函数的图象时 定义域分界点处的函数取值情况决定着图象在分界点处的断开或连接 特别注意端点处是实心点还是空心点 2 由绝对值的几何意义知 x 表示数轴上的点到原点的距离 当x 0时 x x 当x 0时 x x 因此涉及与绝对值有关的函数问题 应先根据绝对值的定义去掉绝对值号 将问题转化为分段函数求解 即时训练2 1 已知函数y 2 x 1 x 2 作出函数的简图 并写出函数的值域 备用例2 1 如图是函数f x 的图象 OC段是射线 而OBA是抛物线的一部分 试写出f x 的函数表达式 函数f x 的图象如图所示 由 知 f x
6、 在 2 2 上的值域为 1 3 题型三分段函数的实际应用 例3 12分 某市 网约车 的现行计价标准是路程在2km以内 含2km 按起步价8元收取 超过2km后的路程按1 9元 km收取 但超过10km后的路程需加收50 的返空费 即单价为1 9 1 50 2 85元 1 将某乘客搭乘一次 网约车 的费用f x 单位 元 表示为行程x 0 x 60 单位 km 的分段函数 2 某乘客的行程为16km 他准备先乘一辆 网约车 行驶8km后 再换乘另一辆 网约车 完成余下行程 请问 他这样做是否比只乘一辆 网约车 完成全部行程更省钱 请说明理由 规范解答 2 是 理由 只乘一辆车的车费为f 16
7、 2 85 16 5 3 40 3 元 8分换乘两辆车的车费为2f 8 2 4 2 1 9 8 38 8 元 10分因为40 3 38 8 所以该乘客换乘比只乘一辆车更省钱 12分 方法技巧 由实际问题决定的分段函数 要写出它的解析式 就是根据实际问题需要分成几类就分成几段 求解析式时 先分段分别求出它的解析式 再把各段综合在一起写一个函数 即时训练3 1 为了节约用水 某市打算出台一项水费政策 规定每季度每人用水量不超过5吨时 每吨水的水费为1 2元 若超过5吨而不超过6吨时 超过部分的水费按原价的200 收费 若超过6吨而不超过7吨时 超过部分的水费按原价的400 收费 如果某人本季度实际
8、用水量为x x 7 吨 试计算本季度他应交的水费y 单位 元 2 当月产量为何值时 车间所获利润最大 最大利润是多少元 解 2 当0 x 200时 f x x 150 2 15000 所以f x max f 150 15000 当x 200时 f x 100 x 32500在 200 上是随x增大函数值减少 所以f x f 200 12500 而12500 15000 所以当x 150时 f x 取最大值 最大值为15000 答 当月产量为150台时 该车间所获利润最大 最大利润是15000元 题型四映射 例4 判断下列对应关系是否为集合A到集合B的映射 1 A 0 1 2 3 B 1 2 3
9、 4 对应关系f 加1 2 A N B 0 1 2 3 4 f 除以5的余数 3 A N B 1 1 2 2 f x 1 x 4 A 平面 内的圆 B 平面 内的矩形 f A中圆的内接矩形 解 1 中集合A中的每一个元素通过关系f作用后 在集合B中都有唯一的一个元素与之对应 因此对应关系f是A到B的映射 2 中集合A中的每一个元素通过关系f作用后 在集合B中都有唯一的元素与之对应 故对应关系f是从A到B的映射 3 中集合A中的每一个元素通过关系f作用后 对任意的正整数x 所得 1 x均为1或 1 在集合B中有唯一的1或 1与之对应 符合映射定义 故关系f是从A到B的映射 4 由于平面 内的圆可
10、以对应无数个平面 内的矩形 因此该对应不是映射 方法技巧 判断一个对应是否是映射 应结合定义第一个集合A中的每一个元素在对应关系下是否都有对应元素 若有 再看对应元素是否唯一 若能够至少举出一个反例说明A中的元素在B中无对应元素 则一定不能构成映射 即时训练4 1 1 设f g都是由A到A的映射 其对应关系如下表 从上到下 表1映射f的对应法则 表2映射g的对应法则 则与f g 1 相同的是 A g f 1 B g f 2 C g f 3 D g f 4 解析 1 由题意知 g 1 4 f g 1 f 4 1 对于A g f 1 g 3 1 故A正确 对于B g f 2 g 4 2 故B不正确
11、 对于C g f 3 g 2 3 故C不正确 对于D g f 4 g 1 4 故D不正确 故选A 答案 1 A 2 集合A a b B 1 0 1 从集合A到集合B的映射f A B满足f a f b 0 那么这样的映射个数有个 3 A B x y x R y R 从A到B的映射f x y x y xy A中元素 m n 与B中元素 5 14 对应 则此元素为 答案 2 3 3 7 2 或 2 7 学霸经验分享区 1 分段函数虽然在定义域不同的部分有不同的解析式 但它是一个函数而不是多个函数 处理分段函数问题时 要首先确定自变量的取值属于哪一个范围 然后选取相应的对应法则 2 分段函数的最大值是
12、各段函数中的最大值中较大的一个 分段函数的最小值是各段函数中的最小值中较小的一个 3 映射f A B 其中A B是两个 非空集合 而函数y f x x A 集合A为 非空的实数集 其值域也是实数集 于是 函数是数集到数集的映射 由此可知 映射是函数的推广 函数是一种特殊的映射 课堂达标 1 下列从集合A到集合B的对应f是映射的是 解析 A选项中集合A中元素2在集合B中有两个元素与之对应 不能构成映射 B选项中集合A中元素2 4在集合B中无对应元素 因此不能构成映射 C选项中 集合A中元素1在集合B中有两个元素与之对应 因此不能构成映射 只有D选项中的对 D A B 解析 中构成函数的两段在 2 部分解析式不同 不是分段函数 中当x 1时 由2x 3知该值为5 当x 1时 由x2知该值为1 因此也不是分段函数 选 故选B 解析 当x 0时 y 1 当x 0时 y 1 故选D D 答案 3
