6 2 向量基本定理与向量的坐标 6 2 1 向量基本定理 第六章 平面向量初步 学习目标 1 理解共线向量基本定理及其应用 2 了解平面向量基本定理及其含义 重点 1 共线向量基本定理 2 平面向量基本定理 难点 平面向量基本定理的应用 知识梳理 一 共线向量基本定理 如果a 0且b a 则存在唯一的实数 使得 b a 在共线向量基本定理中 1 b a时 通常称为b能用a表示 2 其中的 唯一 指的是 如果还有b a 则有 由 a a可知 a 0 如果 0 则 a 0 与已知矛盾 所以 0 即 二 平面向量基本定理 如果平面内两个向量a与b不共线 则对该平面内任意一个向量c 存在唯一的实 数对 x y 使得 c xa yb 如果c xa yb ua vb 那么x u且y v 当a与b不共线时 xa yb 0的充要条件是x与y中至少有一个不为0 平面内不共线的两个向量a与b组成的集合 a b 常称为该平面上向量的一组基 底 此时如果c xa yb 则称xa yb为c在基底 a b 下的分解式 例1 一 共线向量基本定理 判定向量共线 常考题型 解题提示 关键看向量a b是否存在倍数关系 判定向量共线的方法 分别将要判断的向量表示出来 并观察能否找到实数 使b a 若能 找到 则a b共线 若不能找到 则a b不共线 解题归纳解题归纳 2019 山东日照高一检测 下列各组向量 a 2e1 b 2e1 a e1 e2 b 2e1 2e2 a 4e1 e2 b e1 e2 a e1 e2 b 2e1 2e2 若e1 e2不共线 则其中a b共线的有 填序号 1 变式训练变式训练 2019 江苏宿迁高一检测 下列命题中正确的是 填序号 5 6a 30a 7 a b 6b 7a 13b 若a m n b 3 m n 则a b共线 若 a 5b a 5b 2a 则a b共线 2 变式训练变式训练 例2 利用基本定理求参数 2019 湖北省黄梅一中高一检测 已知向量a b是两个不共线的向量 且 向量ma 3b与a 2 m b共线 则实数m的值为 解题提示 利用共线向量的性质列出方程 组 由此求出m的值 答案 1或3 利用基本定理求参数的方法 若向量a b a 0 共线 则由基本定理可得 存在一个实数 使得 向量b能用非零向量a来表示 即若b与a a 0 是共线向量 那么有且 只有一个实数 使b a 再利用对应系数相等这一条件 列出方程组 从而求解 解题归纳解题归纳 已知e1 e2是两个不共线的向量 且a e1 me2与b 3e1 e2共线 则m 2 已知e1和e2不共线 a e1 e2 b 4e1 2e2 并且a b共线 则 的值是 2 变式训练变式训练 1 2 利用共线向量基本定理解决几何问题 例3 解题归纳解题归纳 解题归纳解题归纳 1 变式训练变式训练 3 2 解题归纳解题归纳 二 平面向量基本定理 基底的判断 例4 如果e1 e2是平面 内两个不共线的向量 那么下列说法中不正确的是 e1 e2 R 可以表示平面 内的所有向量 对于平面 内任一向量a 使a e1 e2的实数对 有无穷多个 若向量 1e1 1e2与 2e1 2e2共线 则有且只有一个实数 使得 1e1 1e2 2e1 2e2 若存在实数 使得 e1 e2 0 则 0 解析 由平面向量基本定理可知 是正确的 对于 由平面向量基本定理可知 一旦一个平面的基底确定 那么任意 一个向量在此基底下的实数对是唯一的 对于 当 1 2 1 2 0时 这样的 有无数个 答案 注意 1 基底不唯一 只要是同一平面内的两个不共线向量a b组成的集合 a b 都可以作为基底 2 基底给定时 分解形式唯一 即x y是被c a b唯一确定的数值 3 平面内的任意向量c都可在给出的基底下进行分解 同一非零向量在不同基 底下的分解式不同 4 若 a b 是同一平面内所有向量的一组基底 则当c与a共线时 y 0 当c 与b共线时 x 0 当c 0时 x y 0 解题归纳解题归纳 变式训练变式训练 用基底表示向量 例5 用基底表示向量的方法 平面内任何一个向量都可以用一组基底进行表示 转化时一定要看清转化的 目标 要充分利用向量加法的三角形法则和平行四边形法则 同时结合数乘 向量的定义 牢记转化方向 把未知向量逐步往基底方向进行组合或分解 具体表示方法有两种 1 利用向量的线性运算法则对所求向量不断转化 直至能用基底表示为止 2 列向量方程或方程组 利用基底表示向量的唯一性求解 解题归纳解题归纳 1 变式训练变式训练 2019 安徽滁州高一期末 已知向量a b不共线 设向量m 2a 3b n 4a 2b p 3a 2b 若用基底 m n 表示p 则p 变式训练变式训练 2 a b 2a c 利用平面向量基本定理求参数 例6 变式训练变式训练 小结 共线向量基本定理 如果平面内两个向量a与b不共线 则对该平面内任意一个向量c 存在唯一 的实数对 x y 使得c xa yb 平面向量基本定理中 当a与b不共线时 唯一的实数对 指的是c用a b表 示时 表达式唯一 即如果c xa yb ua vb 那么x u且y v 平面向量基本定理 特别地 当a与b不共线时 因为0 0a 0b 所以对于xa yb来说 当x 0或 y 0时 必定有xa yb 0 也就是说 当a与b不共线时 xa yb 0的充要条件 是x与y中至少有一个不为0 平面内不共线的两个向量a与b组成的集合 a b 常称为该平面上向量的 一组基底 此时如果c xa yb 则称xa yb为c在基底 a b 下的分解式 平面向量基本定理 。
