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1、四川大学电气信息学院 医学信号处理 第七章 功率谱估计的现代方法 现现 代代 谱谱 估估 计计 1 四川大学电气信息学院 医学信号处理 经典谱估计以傅立叶变换为基础 具有计算效 率高的优点 但是由于将未观测数据认为0和数据 加窗 而具有频率分辨率低 旁瓣泄漏等严重的缺 陷 现代谱估计与经典谱估计不同 它以参数模型 为基础 能够得到小方差和高分辨率 特别是数据 长度很短的情况 更具优势 7 1 概述 2 四川大学电气信息学院 医学信号处理 现代谱估计法的基本思想 处理步骤 1 确定或选择一个合适的模型 依赖于对所研 究随机过程进行理论分析和实验研究 2 根据观测数据估计模型参数 涉及各种算法 的
2、研究 3 由模型参数计算功率谱 关键 1 模型选择问题 AR MA ARMA 2 参数确定方法 导致产生了各种算法 3 四川大学电气信息学院 医学信号处理 7 2 自回归模型 AR 谱估计 数字系统的数学模型 有理分式传递函数的模型有理分式传递函数的模型 如下图 w n x n 式中ak为自回归系数 称为AR系数 bk为滑动平均系数 称为 MA系数 模型模型传递函数为 4 四川大学电气信息学院 医学信号处理 有理分式传递函数的模型有理分式传递函数的模型的差分方程为 令a0 1有 w n 为高斯白噪声 5 四川大学电气信息学院 医学信号处理 求功率谱的实质变为确定系统参数的问题求功率谱的实质变为
3、确定系统参数的问题 模型的功率谱密度 即系统输出功率谱和输入 功率谱之间关系为 假定h n 为实序列 6 四川大学电气信息学院 医学信号处理 如果除b0外其它的MA系数都等于0 即 AR p 模型 全极点模型 7 四川大学电气信息学院 医学信号处理 自回归模型 8 四川大学电气信息学院 医学信号处理 如果除a0外其它的AR系数都等于0 即 全零点模型 MA q 模型 9 四川大学电气信息学院 医学信号处理 如果除a0 1和b0 1外其它的AR系数和MA系数都不全 等于0 即 称为称为ARMAARMA p p q q 模型 即极点 模型 即极点 零点模型零点模型 10 四川大学电气信息学院 医学
4、信号处理 到底选择什么模型 三种模型之间关系如何到底选择什么模型 三种模型之间关系如何 WordWord分解定理分解定理 WoldWold分解分解定理定理 任何一个有限方差的平稳ARMA过 程可以分为完全随机的部分和确定的部分 推论推论 任何有限方差的ARMA或MA平稳过程可 以用一个无限阶的AR模型表示 同样 任何ARMA 或AR模型可以用一个无限阶的MA模型表示 因 此 如果在这三个模型中选了一个与信号不匹配的模 型 利用高的阶数仍然可以得到对信号的好的逼近 11 四川大学电气信息学院 医学信号处理 结论 由于对AR模型参数的估计 得到的是 线性方程 故AR模型比ARMA以及MA模型有计
5、算上的优点 即只需解一组线性方程 而ARMA 或MA模型一般需要解一组非线性方程 同时 实 际的物理系统往往是全极点系统 AR模型得到了 深入的研究和广泛的应用 12 四川大学电气信息学院 医学信号处理 已知 自相关函数 要求 AR模型的阶数p 以及p个AR 参数a i 激励源方差 Yule Walker方程 7 3 AR模型的Yule Walker方程 13 四川大学电气信息学院 医学信号处理 7 3 1 Yule Walker7 3 1 Yule Walker方程的推导方程的推导 1 对 进行求逆z变换 2 直接由模型差分方程推导 把模型的差分方程代 入x n 的自相关函数 14 四川大学
6、电气信息学院 医学信号处理 如何根据自相关函数确定系统参数 15 四川大学电气信息学院 医学信号处理 可见 AR模型输出信号的自相关函数具有递推性质 即 Yule WalkerYule Walker方程 方程 Y WY W方程 方程 16 四川大学电气信息学院 医学信号处理 选择m 0的前P个方程并写成单一正规矩阵的形式为 以上利用了自相关函数的偶对称性 Y W方程表明 只 要已知输出平稳随机信号的自相关函数 就能求出AR 模型中的参数 ak 并且需要的观测数据较少 17 四川大学电气信息学院 医学信号处理 ARAR模型谱估计模型谱估计 N个样值 x 0 x 1 x N 自相关函数 R 0 R
7、 1 R N AR模型参数和 a1 a2 ap 激励源方差 功率谱密度 Y WY W方程方程 18 四川大学电气信息学院 医学信号处理 Yule WalkerYule Walker方程的求解方程的求解 1 1 采用高斯消元法 解线性方程组常用方法 运 采用高斯消元法 解线性方程组常用方法 运 算量数量级为算量数量级为p p的三次方 的三次方 2 2 用 用Levinson DurbinLevinson Durbin算法 算法 Y WY W方程的高效解方程的高效解 法 即按阶次进行递推运算量数量级为法 即按阶次进行递推运算量数量级为p p的二次方的二次方 7 3 2 Levinson Durbi
8、n7 3 2 Levinson Durbin算法算法 19 四川大学电气信息学院 医学信号处理 Levinson Durbin递推算法 算法的关键就是要推导出由第K阶AR模型 的参数计算第k 1阶AR模型AR k 1 参数的迭 代计算公式 首先以AR 0 和AR 1 模型参数作为初始条件 计 算AR 2 模型参数 然后根据这些参数计算AR 3 模型 参数 等等 一直到计算出AR p 模型参数为止 20 四川大学电气信息学院 医学信号处理 21 四川大学电气信息学院 医学信号处理 22 四川大学电气信息学院 医学信号处理 递推公式为 其中其中a akk kk称为 称为反射系数反射系数 将所估计的
9、模型参数代入即可计算功率谱估计值 23 四川大学电气信息学院 医学信号处理 AR模型参数和 a1 a2 ap 激励源方差 功率谱密度 ARAR模型谱估计模型谱估计 24 四川大学电气信息学院 医学信号处理 给定初始值和AR模型的阶数p 可按照L D算法流程 进行估计 流程终止规则为 或 MATLAB里有专门实现L D算法的函数可估计 AR模型参数 a E aryule x p a为模型参数 E为噪声方差 分析 分析 AR AR模型的稳定性 模型的稳定性 L D L D算法的收敛性 算法的收敛性 25 四川大学电气信息学院 医学信号处理 AR模型谱估计的L D算法流程 给定N个观察数据xN n
10、n 0 1 N 1 由xN n 估计自相关函数值 m 0 1 p 利用L D递推算法 根据 计算AR模型参数的估 计值 首先令p 1 按下式计算a11和 然后 使p p 1 按下式计算app api 重复以上递推过程 直到满足p m或者 代入 计算公式估计功率谱 26 四川大学电气信息学院 医学信号处理 例7 1 已知实数据序列 的自相关为 用Levinson Durbin递推算法求AR模型的参量 解 27 四川大学电气信息学院 医学信号处理 28 四川大学电气信息学院 医学信号处理 一 AR模型的稳定性具有下面性质 H z 全部的极点在单位圆内 自相关矩阵正定 激励信号方差随阶次增加而递减
11、7 3 3 7 3 3 确定确定ARAR模型的阶模型的阶 29 四川大学电气信息学院 医学信号处理 阶太低 功率谱平滑的 太厉害 平滑后的谱分 辨不出真实谱中的两个 峰 阶太高 可以提高谱估 计的分辨率 但会出现 许多虚假谱峰 真实谱 虚假谱峰 二 有关AR模型的阶的问题 30 四川大学电气信息学院 医学信号处理 所以 估计一个AR p 过程 选取AR k 阶数 要求 k p 但k不能太大 如果估计精确的话 k p时 AR p 模型参数估计为 ARAR模型谱估计方法 既要估计模型参数 又要估计模型的模型谱估计方法 既要估计模型参数 又要估计模型的 阶 在这样复杂的情况下 如何评价各种谱估计的性
12、能 阶 在这样复杂的情况下 如何评价各种谱估计的性能 目前尚无定论 目前尚无定论 31 四川大学电气信息学院 医学信号处理 三 确定AR模型的阶的方法 一般的观 察方法 简单而直观 不断增加阶数 观察预测误差功率 下 降到最小时 对应的阶选为模型的阶 不断增加阶数 观察各阶模型预测误差 序列的周期图 最接近平坦时对应于最 佳的阶 32 四川大学电气信息学院 医学信号处理 1 FPE 最终预测误差 N为观测数据长度 为拟合残差方差 随阶增加而减小 FPE的最小值对应的 阶数为最后确定的阶 四 确定AR模型的阶的方法 根据误差准则确定 33 四川大学电气信息学院 医学信号处理 2 Akaike A
13、IC 信息准则 AIC i 最小所对应的阶 i为模型的阶 为模型误差 随着阶 的增加而减小 而式中第二项随阶次 增加而增加 AIC定义式有一个最小值 适用于AR模型 34 四川大学电气信息学院 医学信号处理 此外 还有CAT等准则 通过实验发现 在将这些准则用于估计通过实验发现 在将这些准则用于估计ARAR 模型的阶 对于实际数据 所得到的谱估计结模型的阶 对于实际数据 所得到的谱估计结 果常常无太大区别 果常常无太大区别 对于短数据 以上准则都不理想 对于短数据 以上准则都不理想 在实际应用中 应该参照实验结果对模型的在实际应用中 应该参照实验结果对模型的 阶加以适当调整 阶加以适当调整 3
14、5 四川大学电气信息学院 医学信号处理 7 4 线性预测谱估计 假设 x n 是一个N阶AR过程 现在时刻 x n 的 值 可以由过去N个时刻的取样值的加权来预测 加权系数为 ak 那么 N阶线性预测器 可看作用序列 x n N x n N 1 x n 1 激励一个冲击响应为 ak的线性时不变系 统的输出值 x n N x n N 1 x n 1 ak 36 预测误差为 预测误差功率为 37 四川大学电气信息学院 医学信号处理 确定系数ak的一个原则是使预测误差功率最小 根 据这一原则推导出的预测器系数 ak与x n 的自相关 序列Rxx m 之间的关系为 38 将两个关系式写成矩阵展开式分别
15、为 39 四川大学电气信息学院 医学信号处理 将 1 和 2 两个关系式合并为一个式子 40 四川大学电气信息学院 医学信号处理 将 3 写成矩阵展开形式为 可以看出 N阶线性预测器的系数ak与AR模型中的 AR系数相等 预测误差概率最小值Pmin与AR模型 中的输入噪声方差 相等 所以 线性预测谱估 计与AR谱估计是等效的 41 四川大学电气信息学院 医学信号处理 熵 是信息量的一种量度 也是不确定性的一种 量度 信息量与事件发生概率之间有类似于反比例的 关系 信息量与概率之间存在对数关系 复合事件的 信息量等于各独立事件信息量之和 对于事件A有 7 5 最大熵谱估计 MESE Maximu
16、m Entropy Spectral Estimation 7 5 1 7 5 1 按最大熵谱外推自相关函数按最大熵谱外推自相关函数 42 四川大学电气信息学院 医学信号处理 N个符号组成信号系统传递消息 每个符号出现的概 率为pi 接收到第i个符号的信息量为I i 消息中总的 平均信息量为 这个平均信息量称为具有符号i和概率pi的信号系统的 熵 对于随机过程 应该用联合概率密度函数来定义 熵 x0 x1 xN 为随机过程的N 1个取样值 43 四川大学电气信息学院 医学信号处理 对于零均值的高斯平稳随机过程则有 其中X x0 x1 xN 为由N 1个取样值构成行矩阵 XH为X的共轭转置矩阵 44 四川大学电气信息学院 医学信号处理 det R N 是行列式的值 于是有下列式子 45 四川大学电气信息学院 医学信号处理 均值为均值为0 0的高斯平稳随机过程的熵的表达式 它是的高斯平稳随机过程的熵的表达式 它是R N R N 的函数 的函数 46 四川大学电气信息学院 医学信号处理 最大熵谱估计 为了使得H取得最大值 应当使 det R N 取最大值 根据外推或预测方法 求出使 det
