《数学新学案同步实用课件选修1-1人教A全国通用：第二章 圆锥曲线与方程2.3.2 第1课时》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学新学案同步实用课件选修1-1人教A全国通用：第二章 圆锥曲线与方程2.3.2 第1课时（39页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第1课时 抛物线的简单几何性质 第二章 2 3 2 抛物线的简单几何性质 学习目标 1 了解抛物线的范围 对称性 顶点 焦点 准线等几何性质 2 会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点一 抛物线的几何性质 思考 观察下列图形 思考以下问题 观察焦点在x轴的抛物线与双曲线及椭圆的图形 分析其几何图形存在 哪些区别 答案 抛物线与另两种曲线相比较 有明显的不同 椭圆是封闭曲线 有四个顶点 有两个焦点 有中心 双曲线虽然不是封闭曲线 但是有 两支 有两个顶点 两个焦点 有中心 抛物线只有一条曲线 一个顶 点 一个焦点 无中心 梳理 标准方
2、程y2 2px p 0 y2 2px p 0 x2 2py p 0 x2 2py p 0 图象 性质 范围 对称轴 轴 轴 顶点 焦点 准线 离心率e x y 0 0 1 x 0 y Rx 0 y Rx R y 0 x R y 0 知识点二 焦点弦的性质 如图 AB是过抛物线y2 2px p 0 焦点F的一条弦 设A x1 y1 B x2 y2 AB的中点M x0 y0 相应的准线为l 1 以AB为直径的圆必与准线l相切 3 AB x1 x2 p 如当 90 时 AB叫做抛物线的通径 是所有焦点弦中最短的 思考辨析 判断正误 1 抛物线关于顶点对称 2 抛物线只有一个焦点 一条对称轴 无对称中
3、心 3 抛物线的标准方程虽然各不相同 但是其离心率都相同 题型探究 例1 已知抛物线的焦点F在x轴上 直线l过F且垂直于x轴 l与抛物线交 于A B两点 O为坐标原点 若 OAB的面积等于4 求此抛物线的标 准方程 类型一 抛物线几何性质的应用 解答 解 由题意 设抛物线方程为y2 2mx m 0 所以 AB 2 m 因为 OAB的面积为4 引申探究 等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2 2px p 0 O为抛物线的顶点 OA OB 则 AOB的面积是 A 8p2 B 4p2 C 2p2 D p2 答案解析 解析 因为抛物线的对称轴为x轴 内接 AOB为等腰直角三角形 所以 由抛物线的对称性知
4、 直线AB与抛物线的对称轴垂直 从而直线OA与x 轴的夹角为45 所以易得A B两点的坐标分别为 2p 2p 和 2p 2p 反思与感悟 把握三个要点确定抛物线简单几何性质 1 开口 由抛物线标准方程看图象开口 关键是看准二次项是x 还是y 一次项的系数是正还是负 2 关系 顶点位于焦点与准线中间 准线垂直于对称轴 3 定值 焦点到准线的距离为p 过焦点垂直于对称轴的弦 又称为通径 长为2p 离心率恒等于1 跟踪训练1 已知抛物线关于x轴对称 它的顶点在坐标原点 其上一点 P到准线及对称轴距离分别为10和6 求抛物线的方程 解答 解 设抛物线的方程为y2 2ax a 0 点P x0 y0 因为
5、点P到对称轴距离为6 所以y0 6 因为点P到准线距离为10 因为点P在抛物线上 所以36 2ax0 所以所求抛物线的方程为y2 4x或y2 36x 类型二 抛物线的焦点弦问题 例2 已知直线l经过抛物线y2 6x的焦点F 且与抛物线相交于A B两 点 若直线l的倾斜角为60 求 AB 的值 解答 解 因为直线l的倾斜角为60 设A x1 y1 B x2 y2 则x1 x2 5 x1 x2 p 所以 AB 5 3 8 引申探究 1 若本例中 直线l的倾斜角为60 改为 直线l垂直于x轴 求 AB 的值 解答 所以 AB 3 3 6 2 若本例中 直线l的倾斜角为60 改为 AB 9 求线段AB
6、的中点M 到准线的距离 解答 解 设A x1 y1 B x2 y2 由抛物线定义知 AB AF BF x1 x2 p x1 x2 3 所以x1 x2 6 于是线段AB的中点M的横坐标是3 反思与感悟 1 解决抛物线的焦点弦问题时 要注意抛物线定义在其 中的应用 通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题 从而可借助 根与系数的关系进行求解 2 设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论 解答 跟踪训练2 已知抛物线方程为y2 2px p 0 过此抛物线的焦点的直线 与抛物线交于A B两点 且 AB 求AB所在直线的方程 设A x1 y1 B x2 y2 故直线AB的斜率存在 设为k 解得k
7、 2 解答 类型三 与抛物线有关的最值问题 例3 设P是抛物线y2 4x上的一个动点 F为抛物线的焦点 1 求点P到点A 1 1 的距离与点P到直线x 1的距离之和的最小值 解 如图 易知抛物线的焦点为F 1 0 准线方程是x 1 由抛物线的定义知 点P到直线x 1的距离等于点P 到焦点F的距离 于是问题转化为在曲线上求一点P 使点P 到点A 1 1 的距离与点P到F 1 0 的距离之和最小 2 若点B的坐标为 3 2 求 PB PF 的最小值 解答 即 PB PF 的最小值为4 反思与感悟 解关于抛物线的最值 定值问题时 首先要注意抛物线上的 点到焦点的距离与点到准线的距离的转化 其次是注意
8、平面几何知识的应 用 例如两点之间线段最短 三角形中三边之间的不等关系 点与直线上 点的连线中垂线段最短等 跟踪训练3 已知直线l1 4x 3y 6 0和直线l2 x 1 抛物线y2 4x 上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是 答案解析 解析 由题意知 直线l2 x 1为抛物线y2 4x的准线 由抛物线的定 义知 点P到l2的距离等于点P到抛物线的焦点F 1 0 的距离 达标检测 1 以x轴为对称轴的抛物线的通径 过焦点且与对称轴垂直的弦 长为8 若抛物线的顶点在坐标原点 则其方程为 A y2 8x B y2 8x C y2 8x或y2 8x D x2 8y或x2 8y 答案解析
9、 12345 解析 设抛物线y2 2px或y2 2px p 0 2 y 2p 8 p 4 即抛物线方程为y2 8x 答案解析 2 抛物线y ax2 a0 的焦点作直线交抛物线于P x1 y1 Q x2 y2 两 点 若x1 x2 3p 则 PQ 等于 A 4p B 5p C 6p D 8p 解析 由焦点弦公式 PQ x1 x2 p 又x1 x2 3p PQ 4p 4 已知过抛物线y2 2px p 0 的焦点F作倾斜角为45 的直线交抛物线于 A B两点 若线段AB的长为8 则p 12345 答案解析 2 设A x1 y1 B x2 y2 x1 x2 3p AB x1 x2 p 4p 8 p 2 12345 解答 5 如图 已知边长为2的等边三角形AOB O为坐标原点 AB x轴 1 求以O为顶点且过AB的抛物线方程 设抛物线方程为y2 2px p 0 12345 解答 2 求抛物线的焦点坐标 准线方程及离心率e 1 讨论抛物线的几何性质 一定要利用抛物线的标准方程 利用几何性 质 也可以根据待定系数法求抛物线的方程 2 抛物线中的最值问题 注意抛物线上的点到焦点的距离与点到准线的 距离的转化 其次是平面几何知识的应用 规律与方法
