《数学新学案同步苏教必修二课件：第2章 平面解析几何初步习题课 圆的方程的应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学新学案同步苏教必修二课件：第2章 平面解析几何初步习题课 圆的方程的应用（37页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、习题课 圆的方程的应用 第2章 平面解析几何初步 学习目标 1 体会数形结合思想在求解与圆有关的最值问题中的应用 2 掌握直线与圆的方程的实际应用 3 了解圆系的方程 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点一 与圆有关的最值问题 1 与圆上的点 x y 有关的最值 常见的有以下几种类型 1 形如u 形式的最值问题 可转化为过点 x y 和 a b 的动直线 斜率的最值问题 2 形如l ax by形式的最值问题 可转化为动直线y 截距的最 值问题 3 形如m x a 2 y b 2形式的最值问题 可转化为动点 x y 到定点 a b 的距离的平方的最值问题 2 与圆的几何性质有
2、关的最值 1 记O为圆心 圆外一点A到圆上距离的最小值为AO r 最大值为AO r 2 过圆内一点的最长的弦为圆的直径 最短的弦为以该点为中点的弦 3 记圆心到直线的距离为d 若直线与圆相离 则圆上的点到直线的最大 距离为d r 最小距离为d r 4 过两定点的所有圆中 面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆 知识点二 直线与圆的方程的实际应用 直线与圆的方程在生产 生活实践以及数学中有着广泛的应用 要善于 利用其解决一些实际问题 关键是把实际问题转化为数学问题 要有意 识用坐标法解决几何问题 用坐标法解决平面几何问题的思维过程 知识点三 圆系方程 两圆相交 相切 有两个 一个 交点 经过这些
3、交点可作无穷多个圆 这 无穷多个圆具有某些共同的性质 我们把这些圆的集合称为圆系 常见 的圆系方程有以下几种 1 以 a b 为圆心的同心圆系方程为 x a 2 y b 2 k2 k 0 2 与圆x2 y2 Dx Ey F 0同圆心的圆系方程为x2 y2 Dx Ey K 0 3 过定点 a b 的圆系方程为 x a 2 y b 2 1 x a 2 y b 0 4 过直线Ax By C 0与圆x2 y2 Dx Ey F 0的交点的圆系方程 为x2 y2 Dx Ey F Ax By C 0 5 过两圆C1 x2 y2 D1x E1y F1 0和C2 x2 y2 D2x E2y F2 0 的交点的圆
4、系方程为x2 y2 D1x E1y F1 x2 y2 D2x E2y F2 0 1 其中不含圆C2 当 1时 l D1 D2 x E1 E2 y F1 F2 0 当两圆相交时 l为两圆的公共弦所在直线的方程 当两圆相切 时 l为过两圆切点的公切线的方程 题型探究 命题角度1 求目标函数的最值 例1 已知实数x y满足方程 x 2 2 y2 3 1 求 的最大值和最小值 类型一 与圆有关的最值问题 解答 当直线y kx与圆相切时 斜率k取得最大值和最小值 2 求y x的最大值和最小值 解 设y x b 即y x b 当y x b与圆相切时 纵截距b取得最大值和最小值 解答 3 求x2 y2的最大
5、值和最小值 解 x2 y2表示圆上的点与原点距离的平方 由平面几何知识知 它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最 大值和最小值 又圆心到原点的距离为2 解答 反思与感悟 与圆有关的最值问题 常见的有以下几种类型 1 形如u 形式的最值问题 可转化为过点 x y 和 a b 的动直线斜 率的最值问题 2 形如l ax by形式的最值问题 可转化为动直线y 截距的最值 问题 3 形如m x a 2 y b 2形式的最值问题 可转化为动点 x y 到定点 a b 的距离的平方的最值问题 跟踪训练1 已知圆C x 2 2 y2 1 P x y 为圆C上任一点 解答 将上式整理得kx y k 2
6、0 2 求x 2y的最大值与最小值 解答 解 令u x 2y 则u可视为一组平行线 当直线和圆C有公共点时 u的范围即可确定 且最值在直线与圆相切时取得 命题角度2 与面积有关的最值 例2 点P是直线2x y 10 0上的动点 PA PB与圆x2 y2 4分别相切 于A B两点 则四边形PAOB面积的最小值为 解析 如图所示 因为S四边形PAOB 2S POA 又OA AP 8 为使四边形PAOB的面积最小 当且仅当OP达到最小值 即为点O到直线2x y 10 0的距离 答案解析 反思与感悟 求面积的最值问题往往转化为距离的最值问题 跟踪训练2 已知点P x y 是直线kx y 4 0 k 0
7、 上一动点 PA PB是 圆C x2 y2 2y 0的两条切线 A B是切点 若四边形PACB的最小面 积是2 则k的值为 2 答案解析 解析 圆C x2 y2 2y 0的圆心为 0 1 半径r 1 由圆的性质知 S四边形PACB 2S PBC 四边形PACB的最小面积是2 又 k 0 k 2 类型二 直线与圆的方程的实际应用 例3 设有半径长为3 km的圆形村落 甲 乙两人同时从村落中心出发 甲向东前进而乙向北前进 甲离开村后不久 改变前进方向 斜着沿 切于村落边界的方向前进 后来恰好与乙相遇 设甲 乙两人的速度都一 定 且其速度比为3 1 问 甲 乙两人在何处相遇 解答 解 如图所示 以村
8、落中心为坐标原点 以东西方向为x轴 南北方向 为y轴建立平面直角坐标系 设甲向东走到点D转向到点C恰好与乙相遇 乙的速度为v 则甲的速度为3v 所以当乙向北前进3 75 km时 甲 乙两人相遇 反思与感悟 坐标法是研究与平面图形有关的实际问题的有效手段 因 此要建立适当的平面直角坐标系 用直线与圆的方程解决问题 建立平面 直角坐标系时要尽可能有利于简化运算 解答 跟踪训练3 为适应市场需要 某地准备建一个圆形生猪储备基地 如图 它的附近有一条公路 从基地中心O向正东走1 km是储备基地的边界上 的点A 接着向东再走7 km到达公路上的点B 从基地中心O向正北走8 km 到达公路的另一点C 现准
9、备在储备基地的边界上选一点D 修建一条由D 通往公路BC的专用线DE 求DE的最短距离 解 以O为坐标原点 以OB OC所在直线分别为x轴和y轴 建立平面直 角坐标系 则圆O的方程为x2 y2 1 因为点B 8 0 C 0 8 当O D E三点共线且OE BC时 DE最短 例4 求过直线x 3y 7 0与圆x2 y2 2x 2y 3 0的交点且在两坐标轴上 的四个截距之和为 8的圆的方程 类型三 过交点的圆系方程 解答 解 设过直线与圆的交点的圆的方程为 x2 y2 2x 2y 3 x 3y 7 0 即x2 y2 2 x 3 2 y 3 7 0 令y 0 得x2 2 x 3 7 0 圆在x轴上
10、的两个截距之和为 2 令x 0 得y2 3 2 y 3 7 0 圆在y轴上的两个截距之和为2 3 由题意得 2 2 3 8 解得 2 故所求圆的方程为x2 y2 4x 4y 17 0 反思与感悟 利用圆系方程求解有关圆的问题的基本思路 设所求圆的 方程为圆系方程 根据已知条件建立关于参数 的方程f 0 根据题意 解出 并代回圆系方程即可 从实质上讲这是待定系数法 利用圆系方程的 优点是避免解方程组求交点的麻烦 能简化运算 但要注意不要多解或 漏解 跟踪训练4 对于任意实数 曲线 1 x2 1 y2 6 4 x 16 6 0恒过定点 1 3 解析 将 1 x2 1 y2 6 4 x 16 6 0
11、变形为 x2 y2 4x 6 x2 y2 6x 16 0 所以定点为 1 3 答案解析 达标检测 答案解析 1 已知圆C的圆心为点C 2 3 一条直径的端点分别在x轴和y轴上 则圆的方程为 12345 x 2 2 y 3 2 13 解析 如图 结合圆的性质可知原点在圆上 故所求圆的方程为 x 2 2 y 3 2 13 答案 2 圆 x 2 2 y2 5关于y轴对称的圆的方程为 12345 x 2 2 y2 5 答案解析 解析 由题意知 圆 x 2 2 y 1 2 9的圆心为 2 1 半径r 3 12345 3 已知实数x y满足x2 y2 4x 2y 4 0 则x2 y2的最大值为 答案解析
12、4 圆x2 y2 4x 4y 7 0上的动点P到直线y x的最小距离为 12345 解析 由题意得圆心为 2 2 半径r 1 12345 5 已知圆C的方程为 x 3 2 y 4 2 1 过直线l 3x ay 5 0 a 0 上 任意一点作圆C的切线 若切线长的最小值为 则直线l的斜率为 答案解析 1 与圆有关的最值问题 1 求目标函数的最值 比如u l ax by m x a 2 y b 2的最值 应分别转化为直 线的斜率 截距与两点距离平方的最值 2 与圆的几何性质有关的最值 规律与方法 2 求直线与圆的方程的实际应用问题的解题步骤 1 认真审题 明确题意 2 建立平面直角坐标系 用坐标表示点 用方程表示曲线 从而在实际 问题中建立直线与曲线的方程 3 利用直线与圆的方程的有关知识求解问题 4 把代数结果还原为实际问题的解
