《数学新学案同步必修四人教A全国通用课件：第二章 平行向量2.3.2~2.3.3》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学新学案同步必修四人教A全国通用课件：第二章 平行向量2.3.2~2.3.3（40页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2 3 2 平面向量的正交分解及坐标表示 2 3 3 平面向量的坐标运算 第二章 2 3 平面向量的基本定理及坐标表示 学习目标 1 了解平面向量的正交分解 掌握向量的坐标表示 2 掌握两个向量和 差及数乘向量的坐标运算法则 3 正确理解向量坐标的概念 要把点的坐标与向量的坐标区分开来 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点一 平面向量的正交分解 思考 如果向量a与b的夹角是90 则称向量a与b垂直 记作a b 互相 垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底 答案 互相垂直的两个向量能作为平面内所有向量的一组基底 梳理 把一个向量分解为 的向量 叫做把向量正交 分解 两
2、个互相垂直 知识点二 平面向量的坐标表示 思考1 如图 向量i j是两个互相垂直的单位向量 向量a与i的夹角是 30 且 a 4 以向量i j为基底 如何表示向量a 思考2 在平面直角坐标系内 给定点A的坐标为A 1 1 则A点位置确 定了吗 给定向量a的坐标为a 1 1 则向量a的位置确定了吗 答案 对于A点 若给定坐标为A 1 1 则A点位置确定 对于向量a 给 定a的坐标为a 1 1 此时给出了a的方向和大小 但因向量的位置由 起点和终点确定 且向量可以任意平移 因此a的位置不确定 梳理 1 平面向量的坐标 在平面直角坐标系中 分别取与x轴 y轴方向相同的两个 i j作为基底 对于平面内
3、的一个向量a 由平面向量基本定理可知 有 且只有一对实数x y 使得a xi yj 平面内的任一向量a都可由x y唯 一确定 我们把有序数对 x y 叫做向量a的坐标 记作a x y 在直角坐标平面中 i 1 0 j 0 1 0 0 0 单位向量 2 点的坐标与向量坐标的区别和联系 区 别 表示形 式不同 向量a x y 中间用等号连接 而点A x y 中间没有等号 意义 不同 点A x y 的坐标 x y 表示点A在平面直角坐标系中的位置 a x y 的坐标 x y 既表示向量的大小 也表示向量的 方向 另外 x y 既可以表示点 也可以表示向量 叙述时 应指明点 x y 或向量 x y 联
4、系 当平面向量的始点在原点时 平面向量的坐标与向量终点 的坐标相同 知识点三 平面向量的坐标运算 思考 设i j是分别与x轴 y轴同向的两个单位向量 若设a x1 y1 b x2 y2 则a x1i y1j b x2i y2j 根据向量的线性运算性质 向量a b a b a R 如何分别用基底i j表示 答案 a b x1 x2 i y1 y2 j a b x1 x2 i y1 y2 j a x1i y1j 梳理 设a x1 y1 b x2 y2 数学公式文字语言表述 向量加法 a b x1 x2 y1 y2 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相 应坐标的和 向量减法 a b x1 x2 y1
5、 y2 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相 应坐标的差 向量数乘 a 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘 原来向量的相应坐标 x1 y1 已知点A x1 y1 B x2 y2 那么向量 x2 x1 y2 y1 即任意一 个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的 坐标 思考辨析 判断正误 1 相等向量的坐标相等 答案提示 3 与x轴 y轴方向相同的两个单位向量分别为 i 1 0 j 0 1 题型探究 类型一 平面向量的坐标表示 解答 1 求向量a b的坐标 解 作AM x轴于点M 则OM OA cos 45 AM OA sin 45 AOC 180 105 75 AOy 4
6、5 COy 30 又 OC AB 3 解答 3 求点B的坐标 反思与感悟 在表示点 向量的坐标时 可利用向量的相等 加减法 运算等求坐标 也可以利用向量 点的坐标定义求坐标 跟踪训练1 在平面直角坐标系xOy中 向量a b c的方向如图所示 且 a 2 b 3 c 4 分别计算出它们的坐标 解答 解 设a a1 a2 b b1 b2 c c1 c2 类型二 平面向量的坐标运算 解答 例2 已知a 1 2 b 2 1 求 1 2a 3b 解 2a 3b 2 1 2 3 2 1 2 4 6 3 4 7 2 a 3b 解 a 3b 1 2 3 2 1 1 2 6 3 7 1 解答 反思与感悟 向量坐
7、标运算的方法 1 若已知向量的坐标 则直接应用两个向量和 差及向量数乘的运算法 则进行 2 若已知有向线段两端点的坐标 则可先求出向量的坐标 然后再进行 向量的坐标运算 3 向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行 答案解析 A 7 4 B 7 4 C 1 4 D 1 4 即x 4 y 2 故选A 类型三 平面向量坐标运算的应用 解答 1 点P在第一 三象限的角平分线上 解 设点P的坐标为 x y 3 1 5 7 3 5 1 7 若点P在第一 三象限角平分线上 则5 5 4 7 解答 2 点P在第三象限内 反思与感悟 1 待定系数法是最基本的数学方法之一 实质是先将未知 量设出来 建立方程 组
8、 求出未知数的值 是待定系数法的基本形式 也是方程思想的一种基本应用 2 坐标形式下向量相等的条件 相等向量的对应坐标相等 对应坐标相 等的向量是相等向量 由此可建立相等关系求某些参数的值 解答 跟踪训练3 已知平面上三点的坐标分别为A 2 1 B 1 3 C 3 4 求点D的坐标 使这四点构成平行四边形的四个顶点 解 当平行四边形为ABCD时 设D x y 当平行四边形为ACDB时 设D x y 得D 4 6 当平行四边形为ACBD时 设D x y 得D 6 0 故D点坐标为 2 2 或 4 6 或 6 0 达标检测 A 1 2 B 1 2 C 1 2 D 1 2 答案 1234 5 解析
9、12345 答案解析 答案 1234 解析 5 12345 答案解析 12345 4 已知向量a 2 3 b 1 2 p 9 4 若p ma nb 则m n 7 解析 由于p ma nb 即 9 4 2m 3m n 2n 2m n 3m 2n 所以2m n 9且 3m 2n 4 解得m 2 n 5 所以m n 7 12345 0 2 答案解析 x 0 y 2 规律与方法 1 向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量 是向量坐 标表示的理论依据 向量的坐标表示 沟通了向量 数 与 形 的特征 使向量运算完全代数化 2 要区分向量终点的坐标与向量的坐标 由于向量的起点可以任意选取 如果一个向量的起点是坐标原点 这个向量终点的坐标就是这个向量的 坐标 若向量的起点不是原点 则向量的终点坐标不是向量的坐标 若 A xA yA B xB yB 则 3 向量和 差的坐标就是它们对应向量坐标的和 差 数乘向量的坐标 等于这个实数与原来向量坐标的积
