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1、高等数学下册考研重点题目整理版 大纲上涉及的知识点 指定的重点题目必看 其他的题目简单看 P 代表页 T 代表题 为了区分数一 数二 数三的范围 用颜色区分 根据光的色散 使用红黄蓝 分别代表仅数一 仅数 二 仅数三 红 黄 橙 代表数一 数二 红 蓝 紫 代表数一 数三 黄 蓝 绿 代表数二 数三 红 黄 蓝 黑 代表数一二三都考 第八章向量代数与空间解析几何 这一章仅数一这一章仅数一 第一节向量及线性运算 P11 例 7 为两类曲面积分转化的知 识点做铺垫 这节理解空间直角坐标系的基本概念 向量的 概念及其表示 向量的模 特别是单位向量 以及方向角概 念 掌握坐标运算 第二节数量积 向量积
2、 混合积 公式性质必须掌握 P23 习题 1T 9T 熟悉公式 第三节平面及其方程 P25 例 1 例 2 P26 例 3 P27 例 4 P28 例 6 P29 例 7 习题 1T 2T 3T 5T 9T 第四节空间直线及其方程 P31 例 1 P33 例 4 P34 例 6 P35 例 7 P36 习题 3T 6T 8T 10T 可出选择题 12T 14T 记结论 不需要证明 16T 1 去掉 x 2 y 1 后再画图 墙角 为 三重积分 曲面积分做铺垫 第五节曲面及其方程 P39 例 3 掌握旋转曲面方程求解方 法 例 4 认识两种双曲面类型 P40 例 5 二维平面表示圆弧 线 三维空
3、间表示圆柱面 考生最容易只考虑二维平面 不 考虑三维平面 P45 习题 5T 8T 认识曲面的长相 9T 二维和三维不能混同 第六节空间曲线及其方程 P46 例 1 例 2 为第 10 章 第 11 章铺垫 P50 例 4 例 5 P51 习题 4T 8T 总习题 P51 1T 4 2T 1 2 17T 20T 21T 第九章多元函数微分学 第一节多元函数的基本概念 P61 例 4 放缩夹逼准则 P61 例 5 的上方位置考察特殊路径法说明函数在原点处极限不存 在 P65 习题 4T 做完后新增题目 已知 f x y x y x y 求 f x y 7T 特殊路径法证明 9T 放缩夹逼 第二节
4、偏导数 P67 例 1 例 4 简单函数求偏导数 P69 最上 面揭示了函数在点处偏导数存在 但不连续 P69 例 6 二阶 偏导数计算 P70 例 7 例 8 都是二阶偏导数的应用 P71 习题 1T 1 6 3T 4T 6T 1 2 第三节全微分 P73 最下面的例子揭示了偏导数存在 但不 可微 P75 例 1 例 2 全微分公式运用 P77 习题 1T 1 2 2T 5T 建立四条性质之间的关系 第四节多元复合函数求导法则 P81 例 1 具体函数链式求导 例 4 抽象函数链式求导 P84 例 6 全微分形式的不变性 P85 习题 1T 3T 8T 1 2 9T 10T 11T 12T
5、1 3 第五节隐函数求导 P87 例 1 隐函数存在定理 1 的运用 P88 例 2 可采取方法二 两边同时求导 但切记 公式法求导和 两边同时求导法不能混用 P91 习题 1T 两种方法 公式法或者两边同时求导法 3T 公 式法 4T 5T 7T 均用公式法或两边同时求导 8T 采取两 边同时求导法可以快速解题 第六节多元函数微分学的几何应用 仅数一仅数一 P97 例 4 空间 曲线切线及法平面 P102 例 6 曲面的切平面及法线 P103 习题 3T 7T 8T 10T 第七节方向导数与梯度 仅数一仅数一 P105 例 1 P109 例 6 P111 习题 1T 5T 8T 第八节多元函
6、数的极值及求法 P113 例 4 无条件极值 P118 例 7 P119 例 8 均为条件极值应用 P121 习题 1T 极值的定义 2T 极值无条件极值 7T 条件极值 11T 两个条件求极值 12T 13T 闭区域的最值问题 总习题 P132 1T 建立函数连续 可导 可微 一阶偏导数连 续的关系 2T 仅数一 4T 特殊路径 5T 问题改为判断函数 f x y 在 0 0 处是否连续 是否可导 是否可微 8T 问法改为判断函数 f x y 在 0 0 处是否连续 是 否可导 是否可微 9T 全导数 10T 变换下的偏导数 11T 12T 14T 仅数一 17T 条件极值 第十章重积分 第
7、一节二重积分的概念与性质 P140 习题 5T 比较大小 第二节二重积分的计算法 P144 例 1 直角坐标计算 两种类 型 X 型与 Y 型互化 叫直角坐标之间的交换积分次序 P145 例 2 根据被积函数特点合理使用 X 型或 Y 型 考研题设置关 于一个变量的被积函数的原函数不容易算或积不出来 采用 交换积分次序 P145 例 3 特别关注 X 型计算积分 分两块做 P150 例 5 P151 例 6 P156 习题 1T 1 4 2T 1 2 3 3T 记结论 4T 1 直角坐标 2 极坐标 5T 交换积分次序 6T 1 2 4 6 8T 9T 10T 二重积分几何意义 11T 12T
8、 13T 都 是直角坐标转化为极坐标的操作 这 3 个题的每个小题全做 必会 14T 1 15T 2 16T 把区域 D 改为心形线 1 cos 详见同济七版上册 P372 其他条件和问题都不变 第三节三重积分 仅数一仅数一 P162 例 1 三次积分 可采取先 一后二法 P163 例 2 先二后一法 P164 例 3 柱面坐标 P166 例 4 球面坐标 P166 习题 2T 先一后二或化三次积分 P167 5T 先一后二或 化三次积分 6T 先二后一或球面坐标 8T 先二后一 9T 1 2 柱面坐标 10T 1 11T 1 柱面坐标 12T 1 4 第四节重积分的应用 P170 例 4 曲
9、面面积求求的表面积 仅仅 数一数一 P173 例 3 质心 面密度为常量时 均匀薄片的质心 是形心 二重积分可以转化成定积分 P175 例 5 平面薄片 的转动惯量 P177 习题 1T 曲面面积 仅数一仅数一 P178 4T 1 2 3 都 是求形心 5T 不均匀薄片的质心 6T 建立适当的平面直角 坐标系 7T 仅数一仅数一 1 9T 1 2 平面指定转动惯量 P183 例 3 不采取答案做法 令 x tanu 再进行区间再现公 式 总习题 P185 1 逼迫交换积分次序 2 用轮换对称 2T 1 仅数一仅数一 三重积分的奇偶性结论必背 必考 2 二重积分的奇偶性结论必背 必考 3 二重积
10、分求导问 题 3T 2 不仅仅计算 必须学会交换积分次序的操作 4 二重积分的奇偶性 轮换对称性 4T 1 2 P186 6T 化为极坐标 7T 9T 2 3 三重积分 仅数一仅数一 11T 仅仅 数一数一 P187 13T 第十一章曲线积分与曲面积分 这一章仅数一这一章仅数一 第一节对弧长的曲线积分 第一类曲线积分 P192 例 1 对 弧长的曲线积分 直角坐标 例 2 曲线对 x 轴的转动惯量 P193 例 3 对弧长的曲线积分 参数方程 P193 习题 1T 曲线的转动惯量和质心 特别是线密度恒为常 数时 质心叫曲线的形心 3T 1 2 4 5 7 4T 其实求圆弧线的形心 第二节对坐标
11、的曲线积分 第二类曲线积分 P199 例 1 两 种方法都要掌握 P200 例 2 不同路径的积分值不同 例 3 不 同路径的积分值相同 详见 P209 积分与路径无关的等价条 件 P203 习题 3 1 直接代入 2 化为参数方程 注意起止点 8 P204 4T 不同路径下的积分值是否相等 第三节格林公式及其应用 P207 例 1 直接使用格林公式 上 方可采用第二类曲线积分求平面图形的面积 例 2 给的解析 是曲线积分方法 这题数一数二数三都能做这个二重积分 只是合理选择区域类型 P208 例 4 挖洞使用格林公式 P213 例 5 实际考题不这么考 它可以这样考 22 xdy aydx
12、x y 在右半平面 x 0 内是某个函数 f x y 的全微分 则 a P214 例 7 求 全微分方程形式的微分方程的操作 P216 习题 1T 1 2 格林公式 P217 3T 挖洞 6T 2 7T 3 4 都是补线格林 8T 4 P218 10T 1 11T 变 相考查全微分 第四节对面积的曲面积分 P220 例 1 P221 例 2 都是对面 积的曲面积分 P222 习题 4T 5T 6T 1 2 3 8T 第五节对坐标的曲面积分 P223 关于投影面积的 3 条结论要 记 以后做题会用 P228 例 1 P229 例 2 P231 例 3 P231 习题 3T 1 2 都是对坐标曲面
13、积分计算方法 3 两类曲面积分互化 4 学完第六节高斯公式再来做此题 4T 1 2 两类曲面积分的相互转化 第六节高斯公式 通量与散度 P234 例 1 高斯公式 柱面坐标 计算三重积分 例 2 补面高斯公式 P239 散度公式背过 例 5 考研题可以出填空题 P239 习题 1T 1 高斯 三重积分化三次积分 2 高斯 三 重积分球面坐标积分 3T 1 2 熟练运用散度公式 第七节斯托克斯公式 环流量与旋度 P243 例 1 例 2 斯托 克斯公式的运用 P247 旋度公式 7 7 和下面行列式表示 的形式背过 例 4 旋度公式的运用 P248 习题 2T 1 2 4 3T 1 2 P249
14、 7T 梯度 旋 度公式的运用 总习题 P249 1T 2 答案抄上 背过 会运用 2T 第一类 曲面积分的奇偶性 3T 1 2 3 对弧长的曲线积分 5 补线格林 6 斯托克斯公式 4T 1 第一类曲面积分计 算 2 3 补面高斯公式 7T 积分与路径无关的应用 8T 第一类曲面积分求形心 均匀的质心叫形心 第十二章无穷级数 数二不考数二不考 第一节常数项级数的概念和性质 P253 例 1 收敛的等比级数 公式必背 必须这样背 首项 1 公比 首项怎么找 代入初值 公比怎么找 第 n 1 项比第 n 项 也就是 an 1 an 习题都不用做 考研不考这些题 第二节常数项级数审敛法 P260
15、例 1 P 级数的结论熟练掌握 并掌握利用反常积分方法证明敛散性 例 2 放缩 P261 例 3 极限审敛法 等价无穷小方法 P263 例 4 例 5 比值审敛法 P264 例 4 可用比值审敛法 可用根值审敛法 例 7 例 8 极限 审敛法 P268 例 9 放缩 例 10 根值审敛法 P271 习题 1T 1 2 2T 2 3 4 4T 2 4 5T 1 4 5 第三节幂级数 P276 例 1 收敛半径和收敛域的求解 并新增 问题 求该幂级数的收敛区间 P277 例 4 缺项幂级数的收敛 半径 也可令 x t t 0 一样求出原幂级数的收敛半径 例 5 收敛区间不关于原点对称时的处理 P2
16、80 例 6 注意 x 0 时的情况和 x 0 时的情况 否则分子分母不能同乘 x 求 s 0 时先将级数写成连加和的形式后代入 这是易错点 相当重要 P281 习题 1T 2 5 7 8 求收敛区间 不必讨论端点 处的敛散性 2T 1 4 先积后导 2 3 先导后积 第四节函数展开成幂级数 P285 286 上面所有幂级数展开公 式必须背过 P286 例 3 幂级数公式 级数的恒等变形 自己 可采取拆项重组 制造同类项 合并同类项即可 例 4 写 完后的幂级数正负规律是 正正负负正正负负 如此交替 进行 同样的题目 在辅导书上的答案是这么给的 nn 1 n 2 n 0 1x 1 4 sinx x n2 很多同学看到这儿了 自 己根本想不到这是啥玩意儿 这种情况可以保留到课本上的 结果 当然 这样的题不会考的 P287 例 5 P289 习题 1T 5 5T 第七节傅里叶级数 仅数一仅数一 P311 收敛定理结论必背 P312 例 1 P313 例 2 P316 例 4 P317 例 5 P318 例 6 正弦级数 使用奇延拓 余弦级数使用偶延拓 这个考点可出选择题 P321 习题 1
