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1、曲率 曲率圆 曲率半径 1 弧微分 设函数 f x 在 a b 上具有连续导数 光滑曲线光滑曲线 由曲线上取固 定点作为度量弧长的基点 并规定以 x 轴增大的方向作为曲 线的正方向 对曲线上的任意一点 M x y 规定有向弧段M 的值 s 简称弧 s 如下 s M 是关于 x 的函数 s s x 000 yxM 0 M 0 M 1 s表示弧长 2 当有向弧段M 的方向与曲线正向一致时 s 0 0 M 3 当有向弧段M 的方向与曲线负向一致时 s 0 0 M 弧微分公式 弧微分公式 dxyds 2 1 2 曲率及计算公式 反应曲线弯曲程度的指标 光滑曲线 光滑曲线 曲线上每一点都具有切线 且切线
2、随点的移动而连续 转动 这样的曲线称为光滑曲线 曲线上每一点都具有切线 且切线随点的移动而连续 转动 这样的曲线称为光滑曲线 我们用比值 s 即单位弧段上切线转过来的角度来表达弧 M 的平均弯曲程度 这个比值叫做弧段的平均曲率 0 M K s 平均曲率的极限称作曲线C在在M处处的曲率 记作 K s s 0 lim 2 3 2 2 1 y y 也可以表示为 K ds d 在 s s 0 lim 存在的条件下 另外 圆各处的曲率都等于半径的倒数 即 K a 1 3 曲率圆与曲率半径 设曲线 f x 在 M x y 处的曲率为 K K 0 在点 M 处的 曲线的法线上 在凹的一侧上取一点 D 使 MD K 1 以 D 为 圆心 为半径作圆 这个圆叫做曲线在 M 点处的曲率圆 曲 率圆的圆心 D 叫做曲线在点 M 处的曲率中心 曲率圆的半径 叫做曲线在点 M 处的曲率半径 K 1
