等比数列 等比数列的前n项和 人教版

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1、1 等比数列等比数列 等比数列的前等比数列的前 n n 项和项和 重点难点解析 这两节的主要知识点是 等比数列的定义 通项公式 等比数列的性质 前 n 项和的公式及导出该公式所使用的方法 1 等比数列的定义 等比数列实质上是 比相等 的数列 由于除法没有交换律 因此 要说清楚被除数和除数 等比数列的 定义就在于要说清楚这一点 当 n N 且 n 2 时 总有 q a a 1n n q 是常数 成立 那么数列 a n 叫做等比数列 常数 q 称为公比 根据这个定义 只要已知 1 a 和 q 那么逐次 乘 q 就可得到等比数列的各个项 3 1 2 111 qaqaqaa 2 通项公式 通项公式是定

2、义的自然延伸 由定义知 qaa 12 2 123 qaqaa 3 134 qaqaa 1n 1n qaa 这就是通项公式 或者 q a a q a a q a a q a a 1n n 3 4 2 3 1 2 把这 n 1 个等式相乘 得 1n 1 n q a a 所以 1n 1n qaa 对等比数列的通项公式可以从以下几个方面去认识 从已知数和未知数的角度看 通项公式中 含有 1 a q n n a 四个量 其中已知任意三个量的值 那么 第四个量的值就是未知数 通项公式就是方程 解之 可得第四个量的具体数值 从常量和变量的角度看 对于一个确定的等比数列 1 a 和 q 是常量 n 和 n a

3、 是变量 n a 是 n 的函数 这 个函数由一次函数 uaa 1n 和指数函数 1n qu 复合而成 2 从变形的角度看 从通项公式中 解出 1 a 得 1n n1 q 1 aa 与通项公式相比较 可以认为 n a 是第一项 1 a 是第 n 项 此时公比是 q 1 即沿 n1 aa 的方向与 1n aa 的方向 公比恰好互为倒数 又 1n 1n qaa 1m 1m qaa 相除 mn m n q a a 所以 mn mn qaa 这个公式是广义的通项公式 从发展的角度看 若 a n 是等比数列 则 1p 1p qaa 1r 1r qaa 所以 2rp2 1rp qaaa 同理 2nm2 1

4、nm qaaa 因此有如下命题 在等比数列 a n 中 如果 p r m n p r m n N 那么 nmrp aaaa 3 前 n 项和的公式 由于等比数列的任意一项乘以 q 后 变为下一项 因此 得到如下求和方法 错位相减法 n1n321n aaaaaS 1nn1n32n aaaaaSq 相减得 n 111n1n qaaaaS q1 若 q 1 则 q1 q1 a S n 1 n 若 q 1 则 1n anS 于是 1q q1 q1 a 1qan S n 1 1 n 对于等比数列的前 n 项和的公式可以从以下几个方面去认识 3 不能忽略公式 q1 q1 a S n 1 n 成立的条件 q

5、 1 特别是公比用字母表出时 要注意分类讨论 公式建立过程中 所使用的 错位相减 法 可以用在减后所得的式子能够求和的情形 设 a n 是等差数列 n n 3 3 2 21n xaxaxaxaS 则 1n n n 1n 4 3 3 2 2 1n xaxaxaxaxaSx 相减 得 1n n n32 1n xadxdxdxxa x1 S 1n n n32 1 xa xxx dxa x 1 时 1n n 1n2 1n xa x1 x1 dx xa x1 S 2 1n21n n1 n x1 x1 dx x1 xaxa S x 1 时 d 1n n 2 1 naaaaS 1n21n 从已知数和未知数的

6、角度看 前 n 项和公式中有 n S 1 a q n 四个量 因此 其中三个是已知数时 第四个就是未知数 公式变为这个未知元的方程 从常数和变数的角度看 n S 是 n 的函数 此时 q 和 1 a 是常数 这个函数是广义的指数函数 考点 证明一个数列是等比数列 2 1 a n a n d n S 的互求 3 等比数列性质的应用 4 等比数列求和方法 错位相减 的灵活运用及裂项求和法 5 等比数列综合题 6 等比数列应用题 典型热点考题 例 1 已知 a n 是等差数列 公差 d 0 且 931 aaa 成等比数列 则 1042 931 aaa aaa 等于 解 a n 是等差数列 d8aad

7、2aa 1913 4 931 aaa 成等比数列 2 391 aaa 2 111 d2a d8a a 整理 得 da1 于是 16 13 d10d4d2 d9d3d aaa aaa 1042 931 例 2 已知正数组成的等比数列 a n 的前 m 项的和 45Sm 前 2m 项的和 765S m2 在前 m 项中 最大 的一项是 24 求 公比 q 和项数 m 解 45 q1 q1 a S m 1 m 765 q1 q1 a S m2 1 m2 17q1 S S m m m2 16qm 依题意 q 0 q 1 于是前 m 项中 最大项是 m a 故 24am 数列 m a 1m a 2 a

8、1 a 是以 24 为首项 以 q 1 为公比的等比数列 45 q 1 1 q 1 1 24 m 45 q 1 1 16 1 1 24 解之 q 2 由 16qm 知 162m m 4 例 3 等比数列 a n 中 0a1 q 2 如果 30 30321 2aaaa 那么 30963 aaaa 解 用 1 a 和 q 2 表示 3032 aaa 得 30292130 1 22a 5 30 2 2930 30 1 22a 271530 1 2a 而 31510 130963 aaaaaa 20315275 30963 222aaaa 例 4 求下列的和 1 n 5550555055050 2 2

9、 n n2 2 22 a 1 a a 1 a a 1 a a 0 解 1 9999099090 9 5 n 原式 101 101 101 5 9 n2 101 101 10 n 9 5 n 81 101 5 9 n5 n 2 a 1 2a a 1 2a a 1 2a n2 n2 4 4 2 2 原式 n2 a 1 a 1 a 1 aaa n242 n242 当 1a 2 时 原式 4n 当 1a 2 时 n2 1 a 1 1 a 1 a 1 1a 1 a a 2 n 22 2 n22 原式 n2 1a a 1a 1a 2n2 2n2n2 6 例 5 设 等 差 数 列 a n 与 等 比 数

10、列 b n 中 0ba 11 0ba 22 且 两 个 数 列 满 足 n1nn1n b baa n 1 2 3 求证 当 n 2 时 nn ba 证明 设 a n 的公差为 d b n 的公比为 q 则 1 a a b b q 1 2 1 2 0 1q aaqaaad 11112 所以 q 1 当 n 2 时 d 1n aa 1n 1q 1n 1 a1 qqq1 1q 1 a 2n2 1 1q 1 a 1n 1 n b 例 6 已知数列 a n 的通项公式为 8 1 1 2 n 4 n a n2 n 求证 对任意正整数 n 均有 1n2n21n2 aaa 是等比数列 而 2n21n2n2 a

11、aa 是等差数列 证明 2 22 1n2 n 4 1n2 4 1n4 4 1 2 1n2 4 1n2 a nnn 4 n2 a 2 2 n2 2 22 1n2 1n 4 4n8n4 4 1 2 1n2 4 1n2 a 显然 2 n21n21n2 aaa 1n2n21n2 aaa 成等比数列 7 而 2n3n 2 2n2 4 2n2 a 2 2 2n2 1n2 22 2n2n2 a2 1n 22n4n2aa 2n21n2n2 aaa 成等差数列 例 7 已知 0zlog ba ylog ac xlog cb mmm 1 若 a b c 成等差数列且公差不为零 求证 x y z 成等比数列 2 若

12、 x y z 成等比数列 且公比不为 1 求证 a b c 成等差数列 证明 1 a b c 成等差数列 公差不为零 b c d c a 2d a b d 0zlogdylogd2xlogd mmm ylog2zlogxlog mmm 2 yzx x y z 成等比数列 2 x y z 成等比数列 公比 q 1 y xq 2 xqz 0 xqlog ba xqlog ac xlog cb 2 mmm 0 ba 2 ac q log ba ac cb x log mm 即 0 b2ac q logm 0qlogm c a 2b a b c 成等差数列 例 8 设二次方程 01xaxa 1n 2

13、n n N 有两根 满足 6 2 6 3 1 试用 n a 表示 1n a 2 求证 3 2 a n 是等比数列 3 当 6 7 a1 时 求数列 a n 的通项公式 解 8 1 n n 1n a 1 a a 代入已知中 3 a 2 a a6 nn 1n 3 1 a 2 1 a n1n n N 2 证明 3 1 a 2 1 3 2 a n1n 2 1 3 2 a 3 2 a n 1n 3 2 a n 是等比数列 3 1n 1n 2 1 3 2 a 3 2 a 2 1 2 1 1n n 2 1 3 2 2 1 a n n 同步达纲练习 一 选择题 1 cab2 是 a b c 成等比数列 的 A

14、 充分非必要的条件 B 必要非充分的条件 C 充分且必要的条件 D 既非充分又非必要的条件 2 在等比数列 a n 中 aaa 109 a 0 baa 2019 则 10099 aa 等于 A 8 9 a b B 9 a b C 9 10 a b D 10 a b 3 a n 是等比数列 Ran 公比为 2 若 30 3021 2aaa 则 30963 aaaa 等于 9 A 10 2 B 15 2 C 20 2 D 25 2 4 公比为 q q 1 的等比数列的前 n 项和为 mqS n n 那么 m 等于 A 2 B 1 C 0 D 1 5 a n 是公差不为零的等差数列 且 15107

15、aaa 是等比数列 b n 的连续三项 若 3b1 则 n b 等于 A 1n 3 5 3 B 1n 8 5 3 C 1n 3 5 3 D 1n 3 2 3 6 各项都是正数的等比数列 a n 的公比 q 1 且 1 3 2 a 2 a a 成等差数列 则 54 43 aa aa 的值是 A 2 15 B 2 15 C 2 51 D 2 15 或 2 15 7 等比数列 a n 的各项都是正数 且 81aa 65 则 1032313 alogalogalog 的值是 A 20 B 10 C 5 D 40 8 数列 a n 对于任意自然数 n 有 4a2aaaa 734nn 2 2n 则 15

16、a 等于 A 16 B 8 C 32 D 不确定 9 各项都是正数的等比数列 a n 的公比 q 1 且 653 aaa 成等差数列 则 64 53 aa aa 的值为 A 2 15 B 2 15 C 2 13 D 52 10 在等比数列 a n 中 若 12aaa n n21 则 2 n 2 2 2 1 aaa 等于 A 14n B 2n 12 C 3 14n D 3 12 2n 二 填空题 1 a n 是等比数列 9a6a 96 则 3 a 2 a n 是等比数列 公比 q 2 3 16 a5 则前 5 项的和 5 S 3 a n 是等比数列 33 a7S 则公比 q 4 等比数列 a n 中 48aaaa 5756 则前 10 项和 10 S 5 公差不为零的等差数列的第4 7 16项恰好是某等比数列的第4 6 8项 则该数列的公比是 10 6 等比数列 a n 中 108aa 3 2 a 431 则 n21 a 1 a 1 a 1 7 若等比数列 a n 的前 n 项和 2a aS n n 则 7 S 的具体数值等于 8 等比数列的前三项依次为 a 2a 2 3a 3 则 2