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1、量子无穷多粒子系统量子无穷多粒子系统的时间不可逆性的时间不可逆性无穷格点场力学量无穷格点场力学量 * *代数的表示理论代数的表示理论及动力学时间反演对称性的自发破缺及动力学时间反演对称性的自发破缺问题的提出问题的提出n n非平衡态统计物理非平衡态统计物理( (或热力学或热力学) )的基本问题是：充的基本问题是：充分多粒子系统的时间单向性与粒子微观远动规律分多粒子系统的时间单向性与粒子微观远动规律的时间可逆性。的时间可逆性。n n典型的讨论途径是：典型的讨论途径是：FockFock空间空间 H HF F = = n nH H1 1n n + + 二二次量子化次量子化 + + 热力学极限热力学极限
2、,(,(或再引入某些或再引入某些“统计统计假设假设”) )，但都未能根本解决问题。，但都未能根本解决问题。n n无法确切判断用各种方法求得的有限宏观耗散结无法确切判断用各种方法求得的有限宏观耗散结果果( (例如有限、非零的输运系数例如有限、非零的输运系数) )是否正确，或正是否正确，或正确解的近似。确解的近似。问题的提出问题的提出n n一般认为：复杂系统是由大量相互作用的子系统构成，但表现出的一些特性却很难由子系统的运动规律来理解。n n流体的复杂宏观现象(如流、渦流等“自组织行为”)都可从：N-S方程及外界条件得到。N-V方程的关键是有非线性流动项及耗散项(如热导、扩散等)。耗散性是由多粒子
3、系统运动破坏了时间反演不变而得到。n n理解复杂系统至少必须：了解系统的宏观运动规律，了解子系统运动的某些守恒律的“自发破缺”。Thermal convection as a prototype of Self-organization phenomena in Physicsn nBnard, Henri. 1900. Les Tourbillons Cellulaires dans une Nappe Les Tourbillons Cellulaires dans une Nappe Liquide, Liquide, Rev. General Science Pur. Appl.Rev
4、. General Science Pur. Appl. Vol. 11:1261-1271. Vol. 11:1261-1271.Plate at TPlate at T1 1 H H2 2O OPlate at TPlate at T2 2T T2 2 T Tc c T T1 19/7/20244The picture (on right) was taken over ten seconds, so the The picture (on right) was taken over ten seconds, so the aluminum flakes in the fluid look
5、 like long trails instead of aluminum flakes in the fluid look like long trails instead of small particles. This helps to visualize how the fluid is small particles. This helps to visualize how the fluid is moving: up through the center of the cell, then spreading out moving: up through the center o
6、f the cell, then spreading out and sinking at the edges of the cell.and sinking at the edges of the cell.Fig.问题的提出问题的提出n n讨沦复杂系统首要确定的是“观测者的位置”n n在系统外：将系统看成一整体，讨论整体运动。如爱因斯坦的“宇宙模型”；Fock空间+热力学极限是典型例子。n n在系统内：讨论其中任一局部的行为。这是统计物理的基本思想，也是量子场论中局或场理论的出发点。系统是由充分多“局部”构成，只知道局部尺度的运动规律，并不知“局部”之外的具体情况。无穷多自由度系统。量子无
7、穷多粒子系统量子无穷多粒子系统(QSINP)的描述的描述n n非相对论、短程二体作用。n n空间任一点上粒子密度有限，QSINP的量子场函数 (x)(x)是无穷空间C0类(而非L2类)函数。n考虑粒子应有有限大小(场论中的“正则化”或“消除紫外发散”)，应用无穷空间格点场： (I) , (I) , * * (I (I) = ) = x3I I,I,I (I) , (I) , (I(I) = 0 I=i) = 0 I=i1 1, i, i2 2, , i i3 3,量子无穷多粒子系统量子无穷多粒子系统(QSINP)(QSINP)的描述的描述n可将可将 I=i I=i1 1, i, i2 2, ,
8、 i i3 3, , 整成一维整数列整成一维整数列I,I=0,1,2,I,I=0,1,2, QSINP QSINP 则是则是“可列无穷可列无穷”多自由度系统。每亇多自由度系统。每亇自自 由度由度 上有场算子：上有场算子： * *(I),(I),(I)(I)。n量子格点场是三维格点平移不变的。量子格点场是三维格点平移不变的。n只应该是只应该是“实空间实空间”的格点场，不能是动量或其的格点场，不能是动量或其它空间。它空间。格点上的格点上的Stone-Van NeumannStone-Van Neumann定理定理n n每亇格点，以格点算子每亇格点，以格点算子： * *(I),(I),(I)(I)作
9、为生作为生成元构造格点代数成元构造格点代数R(I)R(I)。R(I)R(I)的组元为格点力学的组元为格点力学量。量。n据据Stone-von NeumannStone-von Neumann定理，定理，R(I)R(I)只有唯一的不只有唯一的不等价、不可约表示等价、不可约表示 N(I) N(I) ,H(I),H(I)。 N(I) N(I)与与R(I)R(I)同构。同构。nHilbertHilbert空间空间H(I)H(I)，由正交完备基组：，由正交完备基组： (I,n)(I,n) n n (I)(I)(I,0)= 0,(I,0)= 0, * *(I)(I)(I)(I)(I,n)= n(I,n),
10、 (I,n)= n(I,n), ( (I,n),(I,n),(I,n)= 1, n =0,1,2,(I,n)= 1, n =0,1,2, 构成构成 H(I) H(I)中任一组元，称为格点态矢中任一组元，称为格点态矢(I)(I)QSINPQSINP的力学量的力学量 * *代数代数R Rn在在QSINPQSINP中，有限个自由度构成子系统的力学量是有限中，有限个自由度构成子系统的力学量是有限的，才是可以计算的的，才是可以计算的，因此因此QSINPQSINP的的任一力学量任一力学量 都是由都是由有限个格点有限个格点上的上的格点格点力学量力学量(R(I)(R(I)的组元的组元集集合合而成。而成。这这也
11、是所有非平衔态统计理论的基本出发点。也是所有非平衔态统计理论的基本出发点。nQSINPQSINP所有力学量的集合所有力学量的集合R R中定义：中定义： 加法：加法：a(I),a(J)+b(J),b(k)=a(I),a(J)+b(J),b(k);a(I),a(J)+b(J),b(k)=a(I),a(J)+b(J),b(k); 乘法：乘法： a(I),a(J) a(I),a(J) b(J),b(k)=a(I),a(J) b(J),b(k)=a(I),a(J) b(J),b(k)b(J),b(k)。 是是“ * *代数代数”n由于由于QSINPQSINP有无穷多自由度，有无穷多自由度，R R不可度量
12、，不是不可度量，不是“ C C * *代代数数”。QSINPQSINP的态矢及态矢空间的态矢及态矢空间nQSINPQSINP的的“全纯态矢全纯态矢” : :是是无穷格点态矢列无穷格点态矢列 n n(I)(I)I I , ,其中其中n n(I)(I)是旧一化的格点态矢。是旧一化的格点态矢。n全纯态矢全纯态矢 ， 1 1只在有限个格点上的归一化格点态矢不只在有限个格点上的归一化格点态矢不同同, , 与与 1 1等价等价。无穷格点态矢列。无穷格点态矢列 f1f1只在有限个格点上只在有限个格点上与全纯态矢与全纯态矢 有不同的格点态矢（但不一定归一），则有不同的格点态矢（但不一定归一），则称为与称为与
13、等价的等价的“纯态矢纯态矢”。n所有与所有与 等价的等价的全全纯态矢构成集合纯态矢构成集合D D 。所有与。所有与 等价的纯等价的纯态矢态矢全体全体构成集合构成集合H H ( (包括包括 D D ) )。n在在 H H 中定义数乘及加法：旧一格点态矢数乘后不变，中定义数乘及加法：旧一格点态矢数乘后不变，加法中只有与加法中只有与 分量不同的分量相加。分量不同的分量相加。 H H 是线性空间。是线性空间。QSINPQSINP的态矢及态矢空间的态矢及态矢空间n n在在H H 中定义中定义 f1f1与与 f2f2的内积为所有格点分量内积的无穷的内积为所有格点分量内积的无穷乘积。只有有限亇因子不为乘积。
14、只有有限亇因子不为1 1。内积值内积值 ( ( f1f1, , f2f2) )有限有限。n n由内积可定义由内积可定义 f1f1的模。的模。nH H 是是HilbertHilbert空间，其上线性变换全体为空间，其上线性变换全体为N N n n可以证明，若可以证明，若 1 1与与 2 2分属两不等价的分属两不等价的 H H 1 1与与H H 2 2 ，则二者正交：，则二者正交： ( ( 1 1， 2 2)=0)=0n n存在无穷多个不等价的全纯态矢类，因而也存在无穷多存在无穷多个不等价的全纯态矢类，因而也存在无穷多个不等价的个不等价的HilbertHilbert空间，构成纯态矢空间空间，构成纯
15、态矢空间。R R的的GNSGNS构造构造n n根据Stone-von NeumannStone-von Neumann定理， N N 与R同构。n N N , , H H 是是R R的一亇局域不可约表示的一亇局域不可约表示(D(D 或或 H H 只只是全纯态，或纯态空间，的是全纯态，或纯态空间，的一部分一部分) )。称为。称为R R与与 相联系的相联系的GNSGNS构造。构造。nQSINPQSINP的力学量的力学量 *代数R有无穷多个不等价、不有无穷多个不等价、不可约的可约的GNSGNS构造构造 N N , , H H ，分别与无穷多不等价，分别与无穷多不等价的全纯态矢的全纯态矢 相联系。相联
16、系。QSINPQSINP的动力学的动力学n nQSINPQSINP是非相对论、二体短程相互作用的量子无穷多粒是非相对论、二体短程相互作用的量子无穷多粒子系统子系统n nQSINPQSINP的无穷格点场理论中，力学量的无穷格点场理论中，力学量 * *代数代数R R中包括在各中包括在各点上的粒子密度、动量密度、自由动能密度等算子，如点上的粒子密度、动量密度、自由动能密度等算子，如: : N(I) =N(I) =* * (I) (I) (I)(I)。 但系统总哈密顿但系统总哈密顿 H = H H = Ho o + H + H = = I I H Ho o (I) (I) x x3 3 + + I I
17、 | J | J I | I | r0)，其时间逆向过程由全纯态全纯态矢矢 T T出发，在与 N N , , H H 不等价的另一GNS构造 N N T T, , H H T T 中。n n由于没有动力学手段(R中的组元)，能使 N N , , H H 中的动力学过程超出 N N , , H H ，因此在 N N , , H H 中的动力学过程是时间不可逆的。n N N , , H H 与与 N N T T, , H H T T 合构成时间反演变换群合构成时间反演变换群的二维表示。的二维表示。GNS构造中动力行为的渐近分析，构造中动力行为的渐近分析，Master方程方程n n在由 出发的GNS
18、构造 N N , , H H 中分析QSINP的动力行为(与Van-Hove等在Fock空间分析不同) 1)时间定向，可讨论长时间渐近行为； 2)刘维算子谱在复平面实轴上真正连续。 3)如何将 N N , , H H 中时间不可逆性变为可运行的 操作(半群)？n n采用算子代数及发散级数形式求和方法。刘维方程形式解： T(t) = T(t) = k=0k=0 (-iLt) (-iLt)k k /k!) = Exp/k!) = Exp(-iLt) (-iLt) GNS构造中动力行为的渐近分析构造中动力行为的渐近分析Master方程方程n n刘维方程的Resolvent： R(z) = 1/(z-
19、L)= z z-1-1k k 0 0 (L/z) (L/z)k k ，并有，并有 T(t) = C+i0 Exp(-izt) R(z)dz 积分迴路积分迴路C+i0：GNS构造中动力行为的渐近分析构造中动力行为的渐近分析Master方程方程n n在在R R内有关宏观观测力学量构成的子空间，引入投影算内有关宏观观测力学量构成的子空间，引入投影算子：子：P P 及及 Q=I-P Q=I-P， P P2 2=P=P。n n主要关心主要关心P P部分的变动：部分的变动： PR(z)P = (1/(z - PLP - E(z)P PR(z)P = (1/(z - PLP - E(z)P E(z) = P
20、LQ( 1/(z-QLQ) )QLP E(z) = PLQ( 1/(z-QLQ) )QLPn计算计算P P T(t)P: T(t)P: P PT(t)P = T(t)P = C+i0C+i0 Exp(-izt)P (Exp(-izt)P (1/(z-L)1/(z-L)Pdz,Pdz,n由于由于 N N 也是也是HilbertHilbert空间空间, , 作为发散级数，作为发散级数， ( (1/(z-L) 1/(z-L) 对所有非零实对所有非零实z z值，都是无界算子，因而值，都是无界算子，因而L L的谱在实轴上的谱在实轴上连续连续，z=0z=0是分枝点。是分枝点。 GNS构造中动力行为的渐近分
21、析构造中动力行为的渐近分析Master方程方程n n实轴是被积函数的割线，解析开拓到第二黎曼面，积分实轴是被积函数的割线，解析开拓到第二黎曼面，积分实轴是被积函数的割线，解析开拓到第二黎曼面，积分实轴是被积函数的割线，解析开拓到第二黎曼面，积分迴路补上下半大园，则积分结果由迴路补上下半大园，则积分结果由迴路补上下半大园，则积分结果由迴路补上下半大园，则积分结果由第二黎曼面下半平面第二黎曼面下半平面第二黎曼面下半平面第二黎曼面下半平面极点的残数贡献极点的残数贡献极点的残数贡献极点的残数贡献。n n考虑考虑考虑考虑t0t0t0t0的长时间渐近行为的长时间渐近行为的长时间渐近行为的长时间渐近行为，则
22、只需取最靠近，则只需取最靠近，则只需取最靠近，则只需取最靠近z=0z=0z=0z=0极点极点极点极点z z z z0 0 0 0的贡献。的贡献。的贡献。的贡献。在弱耦合情况下在弱耦合情况下： z z0 0= PLP+E(PLP-i0)= PLP+PLQ(-i0-(QLQ)= PLP+E(PLP-i0)= PLP+PLQ(-i0-(QLQ)-1-1QLPQLP T TP P (t)= PT(t)P = Exp( -iz (t)= PT(t)P = Exp( -iz0 0 t) t) n最终：最终：T TP P (t)= PT(t)P = Exp( (t)= PT(t)P = Exp(-i(-i
23、- -) )t)t) ， = PLP+PLQ = PLP+PLQ P (1/(QLQ)QLP P (1/(QLQ)QLP = PLQ = PLQ (QLQ)QLP (QLQ)QLP Master方程方程n nMaster方程: dTdTP P(t)/dt = (-i(t)/dt = (-i - -) )T TP P(t)(t) 是个正定非负算子，它的零本征矢应该就是个正定非负算子，它的零本征矢应该就是平是平 衡态。衡态。 被称为耗散算子，表征了被称为耗散算子，表征了GNSGNS构造构造 N N , , H H 的的 时间不可逆性。时间不可逆性。n nMaster方程形式上已与初始态矢 及GNS
24、构造 N N , , H H 无关，可看成对每亇GNS构造都成立。也可认为它在R(当然是在它可度量的局成表示 )上成立。讨论讨论(1)(1)n n通常量子多体理论是：1)、求解有限多粒子系统的运动(或认为Fock空间是Hilbert空间)；2)、取其小的确定部分的行为；3)、取热力学极限。从Fock空间出发的做法只是将上述三步合并。n n从无穷多粒子系统出发的作法是：求解系统中有限部分的运动，其周围仍是无穷多相同的部分，从而得到带耗散项的、局域运动的方程。系统整体运动还需考虑整体的初、边条件。n n与自洽场方法的区别是：有限部分周围不是平均场。讨论讨论(2)(2)n n从微观运动讨论宏观行为：
25、由于微观部分应该是可度量的，因而不可能确切知道整个系统及其外情况，系统应看成是无穷大。n n对理解大系统而言，观测者的位置是至关重要的。因为观测者只能了解能够得到确切验证的“微观运动规律”，并不应该确信能把这些规律无限外推到更大尺度范围内。n n其实, 从物理角度，研究无穷系统与其有限部分的联系可统称为统计物理，是应该受到重视的。讨论讨论(3)(3)n n“宏观与微观”也可看成是“整体与局域”的关系。因此“绝对时空”(也可以是“闵可夫斯基时空”) 的存在是必要的，亦即物质系统存在在时空中n n由此理解量子力学与量子场论的基本问题可能乜是一条可能的出路n n量子力学中测量的波包收缩至少也包含不同局域描述之间的关系问题。量子力学Hilbert空间就是空间无穷量子场(协変)的一亇局域描述。
